數列和級數

設等差數列公差為 \(d\),\(b = a + d\),\(c = a + 2d\)。因為 \(1\leqslant a\lt b\lt c\leqslant20\),\(c=a + 2d\leqslant20\),\(a\geqslant1\),\(d\geqslant1\)。當 \(d = 1\) 時,\(a\) 最小為 \(1\),\(c=a + 2\leqslant20\),\(a\) 最大為 \(18\),有 \(18\) 種；當 \(d = 2\) 時,\(a\) 最小為 \(1\),\(c=a + 4\leqslant20\),\(a\) 最大為 \(16\),有 \(16\) 種；\(\cdots\)；當 \(d = 9\) 時,\(a\) 最小為 \(1\),\(c=a + 18\leqslant20\),\(a\) 最大為 \(2\),有 \(2\) 種。總取法為 \(2 + 4+\cdots+18=\frac{9\times(2 + 18)}{2}=90\) 種。即 \(\underline{○14 - 1}=90\),\(\underline{○14 - 2}=0\)。

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$\begin{align*}
&分類計算含0的5位數（數字為0、1、2）：\\
&- 5個0：\underline{00000}，共4次；\\
&- 4個0：\\
&\quad ① x\underline{0000}（或\underline{0000}x）：x取1/2，共3×2×2=12次；\\
&\quad ② 0x\underline{000}（或\underline{000}x0）：x取1/2，共2×2×2=8次；\\
&\quad ③ 00x00：x取1/2，共2×2×1=4次；\\
&- 3個0：\\
&\quad ① \underline{000}xx（或xx\underline{000}、x\underline{000}x）：x取1/2，共2×2^2×3=24次；\\
&\quad ② 00x0x（及對稱形式）：x取1/2，共1×2^2×6=24次；\\
&- 2個0：\\
&\quad 00xxx（及對稱形式）：x取1/2，共1×2^3×4=32次；\\
\\
&總數：4+12+8+4+24+24+32=108，即a(5)=108。
\end{align*}$

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$\begin{align*}
&求直線L與M的交點P：\\
&\begin{cases} x+3y=0 \\ 2x-3y+9=0 \end{cases} \implies P(-3,1)。\\
\\
&由\overrightarrow{PB_1}=\frac{1}{2}\overrightarrow{PB_3}，設B_3(x,y)，已知B_1(3,2)，得：\\
&(3,2)-(-3,1)=\frac{1}{2}\left[(x,y)-(-3,1)\right] \\
&\implies (6,1)=\frac{1}{2}(x+3,y-1) \implies (x,y)=(3,5)。\\
\\
&故B_3坐標為(3,5)。
\end{align*}$

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$\begin{align*}
&由\overrightarrow{PA_1}=\frac{1}{2}\overrightarrow{PA_3}，設A_3(x,y)，已知P(-3,1)、A_1(3,-1)，得：\\
&(3,-1)-(-3,1)=\frac{1}{2}\left[(x,y)-(-3,1)\right] \implies A_3(3,-1)。\\
\\
&設\overrightarrow{A_1B_3}與\overrightarrow{B_1A_3}交於R，由比例關係得\frac{A_1A_2}{A_2A_3}=\frac{B_1B_2}{B_2B_3}=\frac{1}{2}。\\
\\
&用分點公式求A_2、B_2：\\
&A_2\left(\frac{1×3+2×0}{3},\frac{1×(-1)+2×0}{3}\right)=\left(1,-\frac{1}{3}\right)，\\
&B_2\left(\frac{1×3+2×0}{3},\frac{1×5+2×3}{3}\right)=\left(1,\frac{11}{3}\right)。\\
\\
&再由分點公式求Q：\\
&Q\left(\frac{2×1+1×1}{3},\frac{2×\left(-\frac{1}{3}\right)+1×\frac{11}{3}}{3}\right)=(1,1)。
\end{align*}$

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$\begin{align*}
&(1) ○：過(0,0)、(1,a)的直線斜率m=\frac{a-0}{1-0}=a；\\
\\
&(2) ○：當a=\frac{3}{2}時，直線y=\frac{3}{2}x過(4,6)；\\
\\
&(5) ○：設L:y=ax為圓C_3的切線，由距離條件d(C_3,L)\leq1：\\
&\frac{|8a-1|}{\sqrt{a^2+1}}\leq1 \implies 63a^2-16a\leq0 \implies 00）；\\
\\
&(3)(4) ×：由圖及共線、切線性質，至少需2道雷射光；\\
\\
&故選(1)(2)(5)。
\end{align*}$

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