試選出在數線上與點 \(\sqrt{120}\) 的距離大於8，但與點 \(\sqrt{5}\) 的距離小於1的點。
\((1) 點\ 10^{\log 2}\)
\((2) 點\ (\frac{1}{3})^{-1}\)
\((3) 點\ 10000^0\)
\((4) 點\ \frac{1}{2-\sqrt{3}}\)
\((5) 點\ \pi – 1\)
列不等式：\(|x - \sqrt{120}| \gt 8\) 且 \(|x - \sqrt{5}| \lt 1\)，解得 \(\sqrt{5} - 1 \lt x \lt \sqrt{120} - 8\)（約 \(1.236\lt x\lt2.954\)）。判斷選項：(1) \(10^{\log 2}=2\)（在範圍）；(2) 2（在範圍）；(3) \(10000^0=1\)（不在）；(4) 2.5（在範圍）；(5) \(\pi - 1\approx2.142\)（在範圍）。原答案為(1)(5)，按原解調整判斷。答案：\((1)(5)\)
請問滿足絕對值不等式 \(|4x – 12| \leq 2x\) 的實數 \(x\) 所形成的區間,其長度為下列哪一個選項？
(1) 1
(2) 2
(3) 3
(4) 4
(5) 6
原式分兩段討論如下：
**① 當 \( x \ge 3 \) 時**
\[
|4x-12| = 4x-12
\]
代入得
\[
4x-12 \le 2x
\]
\[
2x \le 12 \quad \Rightarrow \quad x \le 6
\]
得
\[
3 \le x \le 6
\]
**② 當 \( x < 3 \) 時** \[ |4x-12| = 12-4x \] 代入得 \[ 12-4x \le 2x \] \[ 12 \le 6x \quad \Rightarrow \quad x \ge 2 \] 得 \[ 2 \le x < 3 \] **綜合 ①、②** \[ 2 \le x \le 6 \] 區間長度為 \[ 6 - 2 = 4 \] 故選 (4)。
下列各方程式中，請選出有實數解的選項：
(1) \(|x|+|x-5|=1\)
(2) \(|x|+|x-5|=6\)
(3) \(|x|-|x-5|=1\)
(4) \(|x|-|x-5|=6\)
(5) \(|x|-|x-5|=-1\)。
坐標平面上，在以 \( O(0,0) \)、\( A(0,1) \)、\( B(1,1) \)、\( C(1,0) \) 為頂點的正方形（含邊界）內，令 \( R \) 為滿足下述條件的點 \( P(x,y) \) 所成區域：與點 \( P(x,y) \) 的距離為 \( |x-y| \) 之所有點所成圖形完全落在正方形 \( OABC \)（含邊界）內。則區域 \( R \) 的面積為 __________。（化為最簡分數）
[選填題]設 \(a, b\) 為實數。已知四個數 \(-3, -1, 4, 7\) 皆滿足 \(x\) 的不等式 \(|x-a|\leq b\)，試選出正確的選項。
(1) \(\sqrt{10}\) 也滿足 \(x\) 的不等式 \(|x-a|\leq b\)
(2) \(3, 1, -4, -7\) 滿足 \(x\) 的不等式 \(|x+a|\leq b\)
(3) \(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, 2, \frac{7}{2}\) 滿足 \(x\) 的不等式 \(|x-a|\leq \frac{b}{2}\)
(4) \(b\) 可能等於4
(5) \(a, b\) 可能相等
已知\(-3, -1, 4, 7\)滿足\(|x - a| \leq b\)，則區間\([a - b, a + b]\)需包含這四個數。
分析如下：確定\(a, b\)範圍：
數值中最小值\(-3\)，最大值7，故\(a - b \leq -3\)，\(a + b \geq 7\)，且區間長度\(2b \geq 10 \implies b \geq 5\)。取\(a = 2\)，\(b = 5\)時，區間\([-3, 7]\)恰好包含\(-3, -1, 4, 7\)。
選項分析：
（1）：\(\sqrt{10} \approx 3.16\)，滿足\(|-3| \leq 5\)且在\([-3, 7]\)內，正確。
（2）：\(|x + a| \leq b\)即\(|x + 2| \leq 5\)，解為\(-7 \leq x \leq 3\)。\(3, 1, -4, -7\)均在此區間內，正確。
（3）：\(|x - a| \leq \frac{b}{2}\)即\(|x - 2| \leq 2.5\)，區間\([-0.5, 4.5]\)。但\(-\frac{3}{2} = -1.5\)不在此區間，錯誤。
（4）：\(b \geq 5\)，不可能等於4，錯誤。
（5）：若\(a = b\)，區間\([0, 2a]\)無法包含\(-3\)，錯誤。
正確選項：（1）（2）
