甲、乙兩計時器原來置於地球表面計時，甲計時器以在鉛垂面作小角度左右擺動的單擺週期，作為計時基準；乙計時器利用彈簧讓重物在光滑水平面上振動，以其週期作為計時基準。現將兩計時器移至另一星球表面，該星球表面的重力加速度量值為地球表面的4倍，則下列有關甲計時器擺動週期 \( T_{\text{甲}} \) 和乙計時器振動週期 \( T_{\text{乙}} \) 的敘述何者正確？（忽略空氣阻力）
(A) \( T_{\text{甲}} \cdot T_{\text{乙}} \) 均變為原來的4倍
(B) \( T_{\text{甲}} \cdot T_{\text{乙}} \) 均變為原來的1/2
(C) \( T_{\text{甲}} \) 變為原來的2倍，\( T_{\text{乙}} \) 不變
(D) \( T_{\text{甲}} \) 變為原來的1/2，\( T_{\text{乙}} \) 不變
(E) \( T_{\text{甲}} \cdot T_{\text{乙}} \) 均不變。
[題組:第19題到第21題] ◎2021年12月發射的James Webb太空望遠鏡（JWST）主要用於紅外線天文學的研究，是目前太空中最強大的望遠鏡，它的溫度必須保持低於50K，才可在不受其他熱輻射源的干擾下觀察微弱的紅外線信號。JWST的位置靠近日一地系統的拉格朗日點\(L_2\)，此為日一地連心線上的定點，位於地球公轉軌道外側，如圖10所示，其中實線的圓弧與圓分別代表地球與月球的公轉軌道。已知在\(L_2\)點的小物體，受到日一地系統的重力，可與地球同步繞日一地系統的質心公轉。假設只考慮來自日、地的重力，日一地的距離近似為定值\(R\)，日、地的質量分別為\(M \cdot m\)，地心到\(L_2\)的距離為\(r\)，重力常數為\(G\)，日一地系統繞其質心\(C\)轉動的角速度為\(\omega\)。注意：只有日一地系統的質心\(C\)可視為靜止，日、地與\(L_2\)處的小物體均繞\(C\)以角速度\(\omega\)做圓周運動。
已知地心到\(C\)的距離為\(\frac{MR}{(M+m)}\)，則角速度率的平方\(\omega^2\)為下列何者？（單選）
(A) \(\omega^2 = G\frac{M+m}{r^3}\)
(B) \(\omega^2 = G\frac{M+m}{R^3}\)
(C) \(\omega^2 = G\frac{m}{r^3}\)
(D) \(\omega^2 = G\frac{m}{R^3}\)
(E) \(\omega^2 = G\frac{M}{r^3}\)
[題組:第19題到第21題] 承第19題，地心到 \( L_2 \) 的距離 r 滿足下列何者？（單選）
(A) \( G \left[ \frac{M}{(R+r)^2} + \frac{m}{r^2} \right] = \left( \frac{MR}{M+m} + r \right) \omega^2 \)
(B) \( G \left[ \frac{M}{(R+r)^2} + \frac{m}{r^2} \right] = R \omega^2 \)
(C) \( G \left[ \frac{M}{(R+r)^2} + \frac{m}{r^2} \right] = (R+r) \omega^2 \)
(D) \( G \left[ \frac{M}{(R+r)^2} + \frac{m}{r^2} \right] = r \omega^2 \)
(E) \( G \left[ \frac{M}{(R+r)^2} + \frac{m}{r^2} \right] = \left( \frac{MR}{M+m} + r \right) \omega^2 \)
[題組:第22題到第23題] 今將水銀槽上方的外界空氣始終保持在1個標準大氣壓，初始時 \( H = 70 \)，接著改變外力上拉試管，使 \( H \) 增加為80。計算外力在上拉試管10cm的前後，水銀的位能變化為何？假設試管的截面積為5cm\(^2\)，試管的重量可忽略，水銀槽液面的高度變化可忽略，水銀密度為13.6g/cm\(^3\)，重力加速度為10m/s\(^2\)。(6分)
初始 \( H = 70 \) cm，\( h = 76 \) cm。上拉後 \( H = 80 \) cm，\( h \) 仍為 76 cm。水銀柱長度增加 \( \Delta h = 6 \) cm。體積 \( V = A \times \Delta h = 5 \times 6 = 30 \) cm³。質量 \( m = V \times \rho = 30 \times 13.6 = 408 \) g = 0.408 kg。新增水銀質心高度約 73 cm = 0.73 m。位能變化 \( \Delta U = mgh = 0.408 \times 10 \times 0.73 \approx 2.98 \) J ≈ 3 J。答案：約增加 3 J 報錯
ChatGPT DeepSeek
在俄烏戰爭爆發後，太空服務公司SpaceX透過在距離地表500到600公里間運行之低軌衛星群所組成的「星鏈」 (Starlink)，補足了地面網路覆蓋性、移動性不足或遭受破壞的問題，為烏克蘭提供不受地理條件限制的網路服務，讓全世界看見低軌衛星通訊的重要性。下列有關低軌衛星與距地表約36000公里的同步衛星之性質比較，何者錯誤？
(A)低軌衛星受地球重力產生的加速度較大
(B)低軌衛星的通訊傳輸時間較短
(C)在正常運作條件下，每顆低軌衛星覆蓋的地表通訊面積較小
(D)低軌衛星每天可繞地球運行多次
(E)低軌衛星對地球的脫離速度較小
某生比較太陽系中行星與其最大衛星的資料，相關資料如表一，表中的衛星皆可視為繞其行星作等速圓周運動。
| 行星 | 行星質量 (kg) | 最大衛星 | 衛星質量 (kg) | 衛星繞行星週期 (day) | 衛星與行星平均距離 (km) |
| 地球 | \( 6.0 \times 10^{24} \) | 月球 | \( 7.4 \times 10^{22} \) | 約為28 | \( 3.6 \times 10^{5} \) |
| 土星 | ? | 泰坦衛星 | \( 1.3 \times 10^{23} \) | 約為14 | \( 1.2 \times 10^{6} \) |
試估算土星的質量約為多少 kg？
(A) \( 10^{23} \) (B) \( 10^{25} \) (C) \( 10^{27} \) (D) \( 10^{29} \) (E) \( 10^{31} \)
[題組:第20題到第21題]
烏山頭水庫有效蓄水量約為\(8.0\times10^{7}\)m\(^3\)，玉山高度約4000 m。若將全球比特幣運作一年所消耗的電能完全轉換為力學能，且忽略水庫深度的影響，則約可將多少座烏山頭水庫的有效蓄水量從海平面抬升至玉山頂？（水的密度為1000 kg/m\(^3\)，重力加速度為10 m/s\(^2\)）
(A) \(10^{2}\)
(B) \(10^{5}\)
(C) \(10^{8}\)
(D) \(10^{11}\)
(E) \(10^{14}\)
