坐標平面上O為原點，設 \(u=(1,2)\)，\(v=(3,4)\)。令Ω為滿足 \(OP=x u + y v\) 的所有點P所形成的區域，其中 \(1\leq x\leq 1\)，\(-3\leq y\leq \frac{1}{2}\)，則Ω的面積為 __________ 平方單位。（化成最簡分數）
答案
行列式的性質與計算
105學測數學考科–F
投擲一公正骰子三次，所得的點數依序為 a、b、c。在 b 為奇數的條件下，行列式 \(\left| \begin{array}{cc} a & b \\ b & c \end{array} \right| > 0\) 的機率為 __________。（化成最簡分數）
答案
109學測數學考科-04
令 \(I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\), \(A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\), \(B = I + A + A^{-1}\)，試選出代表 \(BA\) 的選項。
(1) \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)
(2) \(\begin{bmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 6 \end{bmatrix}\)
(3) \(\begin{bmatrix} 4 & -1 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}\)
(4) \(\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)
(5) \(\begin{bmatrix} 6 & 6 \\ 18 & 24 \end{bmatrix}\)
答案
110學測數學考科_04
設 \( a \) 與 \( b \) 都是平面上不為零的向量。若 \( 2\overset{\rightharpoonup}{a} + \overset{\rightharpoonup}{b} \) 與 \( \overset{\rightharpoonup}{a} + 2\overset{\rightharpoonup}{b} \) 所張成的三角形面積為 \( 6 \)，則 \( 3\overset{\rightharpoonup}{a} + \overset{\rightharpoonup}{b} \) 與 \( \overset{\rightharpoonup}{a} + 3\overset{\rightharpoonup}{b} \) 所張成的三角形面積為下列哪一個選項？
(1) 8
(2) 9
(3) 12
(4) 13.5
(5) 16
答案
設 \( a, b \) 所張成的平行四邊形面積為 \( \Delta \)，則 \( 2a+b \) 與 \( a+2b \) 所張成的平行四邊形面積為 \( \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} \Delta = 3\Delta \)，三角形面積為 \( \frac{1}{2} \times 3\Delta = 6 \)，得 \( \Delta = 4 \)。\( 3a+b \) 與 \( a+3b \) 所張成的平行四邊形面積為 \( \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} \Delta = 8 \times 4 = 32 \)，三角形面積為 \( \frac{1}{2} \times 32 = 16 \)。(5) 報錯
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112學測數學A考科-05
已知坐標空間中 \( P \cdot Q \cdot R \) 為平面 \( 2x-3y+5z=\sqrt{7} \) 上不共線三點。
令 \( \overrightarrow{PQ}=(a_1, b_1, c_1) \)，\( \overrightarrow{PR}=(a_2, b_2, c_2) \)。試選出下列行列式中絕對值為最大的選項。
(1)
\[\begin{vmatrix}
-1 & 1 & 1 \\
a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2
\end{vmatrix}\]
(2)
\[\begin{vmatrix}
1 & -1 & 1 \\
a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2
\end{vmatrix}\]
(3)
\[\begin{vmatrix}
1 & 1 & -1 \\
a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2
\end{vmatrix}\]
(4)
\[\begin{vmatrix}
-1 & -1 & 1 \\
a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2
\end{vmatrix}\]
(5)
\[\begin{vmatrix}
-1 & -1 & -1 \\
a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2
\end{vmatrix}\]
答案
行列式絕對值代表由 \( \overrightarrow{PQ} \)、\( \overrightarrow{PR} \)、\( \overset{\rightharpoonup}{u} \) 所張平行六面體體積，與 \( |\overset{\rightharpoonup}{u} \cdot \overset{\rightharpoonup}{n}| \) 成正比，其中 \( \overset{\rightharpoonup}{n} = (2, -3, 5) \) 為法向量
計算各選項 \( |\overset{\rightharpoonup}{u} \cdot \overset{\rightharpoonup}{n}| \)：(1)0 (2)10 (3)6 (4)6 (5)4，最大值為10
故選(2) 報錯
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107指考數學乙試題-稿A
地方上張安與李平兩位角逐鄉長，結果張安得票率55%，李平得票率45%，由張安勝選。民調機構預測，如果下任鄉長仍由張安與李平兩人競選，選民相同且每一張票都是有效票，則本屆支持張安的選民將有25%倒向支持李平，而本屆支持李平的選民將有10%倒向支持張安。若描述上述現象的轉移矩陣為 \( A \)，則行列式 \( detA \) 的絕對值為 \(\frac{\underline{\qquad\qquad}}{\underline{\qquad\qquad}}\)。（請化為最簡分數）
答案
105指考數學乙試題-稿B
設 \( x, c \) 為實數，方陣 \( A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -2 & x \end{bmatrix} \)、\( B = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 2 & x \end{bmatrix} \)。已知 \( A \) 的反方陣恰好是 \( B \) 的 \( c \) 倍（其中 \( c \neq 0 \)），則數對 \((x, c) = (\underline{\qquad},\underline{\qquad})\)。（請化為最簡分數）
答案
\( A^{-1} = cB \) ⇒ \( A \cdot cB = I \) ⇒ \( c AB = I \) ⇒ \( AB = \frac{1}{c} I \)。
計算 \( AB = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -2 & x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 2 & x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9+4 & -6+2x \\ -6+2x & 4+x^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13 & 2x-6 \\ 2x-6 & x^2+4 \end{bmatrix} \)。
要等於 \( k I \)，則 \( 2x-6=0 \) ⇒ \( x=3 \)。
代入得 \( AB = \begin{bmatrix} 13 & 0 \\ 0 & 13 \end{bmatrix} = 13I \)，所以 \( \frac{1}{c} = 13 \) ⇒ \( c = \frac{1}{13} \)。
答案為 \((3, \frac{1}{13})\)。 報錯
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108指考數學乙試題-2)
(2) 若 \(\overset{\rightharpoonup}{OA} = (1, 2)\)，試利用二階行列式與面積的關係，求 \(\Delta OCD\) 的面積。
答案
由 \(\overset{\rightharpoonup}{OC} = 3\overset{\rightharpoonup}{OA} = (3, 6)\)，\(\overset{\rightharpoonup}{OD} = 3\overset{\rightharpoonup}{OB}\)。
由 \(\overset{\rightharpoonup}{AB} = \overset{\rightharpoonup}{OB} - \overset{\rightharpoonup}{OA} = (3, -4)\)，得 \(\overset{\rightharpoonup}{OB} = \overset{\rightharpoonup}{OA} + (3, -4) = (1, 2) + (3, -4) = (4, -2)\)。
所以 \(\overset{\rightharpoonup}{OD} = 3\overset{\rightharpoonup}{OB} = (12, -6)\)。
\(\overset{\rightharpoonup}{OC} = (3, 6)\)，\(\overset{\rightharpoonup}{OD} = (12, -6)\)。
\(\Delta OCD\) 面積 = \(\frac{1}{2}|\det(\overset{\rightharpoonup}{OC}, \overset{\rightharpoonup}{OD})| = \frac{1}{2}|3 \times (-6) - 6 \times 12| = \frac{1}{2}|-18 - 72| = \frac{1}{2} \times 90 = 45\)。
答案為 45。 報錯
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114分科測驗數學乙考科試卷-07
設二階方陣 \(A=\begin{bmatrix}1&0\\1&0\end{bmatrix}\)，\(B=\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}\)，試選出正確的選項？
(1) \(A^2=A\)
(2) \(A+B=B+A\)
(3) \(AB=BA\)
(4) \((A-B)^2=A^2-2AB+B^2\)
(5) \((A+B)^2=2(A+B)\)
答案
1. (1) \(A^2=\begin{bmatrix}1&0\\1&0\end{bmatrix}=A\)，對；
2. (2) 矩陣加法交換律，\(A+B=B+A\)，對；
3. (3) \(AB=\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}\)，\(BA=\begin{bmatrix}1&0\\1&0\end{bmatrix}\)，不相等，錯；
4. (4) 左\(=\begin{bmatrix}1&-1\\1&-1\end{bmatrix}\)，右\(=\begin{bmatrix}1&-2\\1&-2\end{bmatrix}\)，錯；
5. (5) \((A+B)^2=2(A+B)\)，對。答案：(1)(2)(5) 報錯
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114分科測驗數學甲試卷-09
令 \(A\) 為以原點為中心逆時針旋轉 \(\theta\) 角的旋轉矩陣，且令 \(B\) 為以 \(x\) 軸為鏡射軸（對稱軸）的鏡射矩陣。令 \(A=\begin{bmatrix}a_1&a_2\\a_3&a_4\end{bmatrix}\)、\(BA=\begin{bmatrix}c_1&c_2\\c_3&c_4\end{bmatrix}\)。已知 \(a_1+a_2+a_3+a_4=2(c_1+c_2+c_3+c_4)\)，則 \(tan\theta=\)__________（化為最簡分數）。
答案
\( A = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \)，\( B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \)
\( BA = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ -\sin\theta & -\cos\theta \end{bmatrix} \)
左式：\( a_1+a_2+a_3+a_4 = 2\cos\theta \)
右式：\( 2(c_1+c_2+c_3+c_4) = 2(\cos\theta - \sin\theta - \sin\theta - \cos\theta) = -4\sin\theta \)
得 \( 2\cos\theta = -4\sin\theta \Rightarrow \tan\theta = -\frac{1}{2} \)？檢查：\( 2\cos\theta = -4\sin\theta \Rightarrow \cos\theta = -2\sin\theta \Rightarrow \tan\theta = -\frac{1}{2} \)
但原解答給 \( \frac{1}{2} \) 報錯
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選擇(填)題答案
非選擇題評分原則
