設\(z\)為複數。在複數平面上，一個正六邊形依順時針方向的連續三個頂點為\(z\)、\(0\)、\(z + 5 – 2\sqrt{3}i\)（其中\(i=\sqrt{-1}\)），則\(z\)的實部為 （化成最簡分數）。
[選填題]複數運算與幾何意義
109指考數學甲(補考)試題-05
下列選項中，試選出與\(\cos\frac{\pi}{7}+i\sin\frac{\pi}{7}\)相乘之後會得到實數的選項。(註：\(i=\sqrt{-1}\))
(1)\(\cos\frac{\pi}{7}+i\sin\frac{\pi}{7}\)
(2)\(\cos\frac{\pi}{7}-i\sin\frac{\pi}{7}\)
(3)\(-\sin\frac{5\pi}{14}+i\cos\frac{5\pi}{14}\)
(4)\(\sin\frac{\pi}{7}+i\cos\frac{\pi}{7}\)
(5)\(\sin\frac{\pi}{7}-i\cos\frac{\pi}{7}\)
110指考數學甲試題-08
已知\(z_{1}\)、\(z_{2}\)、\(z_{3}\)、\(z_{4}\)為四個相異複數，且其在複數平面上所對應的點，依序可連成一個平行四邊形，試問下列哪些選項必為實數？
(1)\((z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{4})\)
(2)\(z_{1}-z_{2}+z_{3}-z_{4}\)
(3)\(z_{1}+z_{2}+z_{3}+z_{4}\)
(4)\(\frac{z_{1}-z_{2}}{z_{3}-z_{4}}\)
(5)\((\frac{z_{2}-z_{4}}{z_{1}-z_{3}})^{2}\)
答案
在複數平面上，若\(z_{1}\)、\(z_{2}\)、\(z_{3}\)、\(z_{4}\)對應點構成平行四邊形，則\(z_{1}+z_{3}=z_{2}+z_{4}\) ，即\(z_{1}-z_{2}+z_{3}-z_{4}=0\)，\(0\)是實數，(2)正確。
對於(1)，在平行四邊形中，\((z_{1}-z_{3})\)與\((z_{2}-z_{4})\)是平行四邊形的兩條對角線向量，它們的乘積不一定是實數；
對於(3)，\(z_{1}+z_{2}+z_{3}+z_{4}=2(z_{2}+z_{4})\)不一定是實數；
對於(4)，\(\frac{z_{1}-z_{2}}{z_{3}-z_{4}}\)由平行兩向量成係數積關係,一定是實數；
對於(5)，由\(z_{1}-z_{3}\)與\(z_{2}-z_{4}\)是平行四邊形的對角線向量，\((\frac{z_{2}-z_{4}}{z_{1}-z_{3}})^{2}\)不一定是實數。
答案為(2)(4)。
112分科測驗數學甲考科試題-05
考慮實係數多項式 \(f(x)=x^4-4x^3-2x^2+ax+b\)。已知方程式 \(f(x)=0\) 有虛根 \(1+2i\) （其中 \(i=\sqrt{-1}\)），試選出正確的選項。
(1) \(1-2i\) 也是 \(f(x)=0\) 的根
(2) \(a, b\) 皆為正數
(3) \(f'(2.1)<0\)
(4) 函數 \(y=f(x)\) 在 \(x=1\) 有局部極小值
(5) \(y=f(x)\) 圖形反曲點的 \(x\) 坐標皆大於0
答案
選項（1）：
實係數多項式虛根成共軛對，\(1 + 2i\)是根，則\(1 - 2i\)必為根，正確。
選項（2）：
由\((x - (1 + 2i))(x - (1 - 2i)) = x^2 - 2x + 5\)，對\(f(x)\)作多項式長除法得餘式0，可得\(a = -26\)，\(b = -60\)，非正數，錯誤。
選項（3）：\(f'(x) = 4x^3 - 12x^2 - 4x - 26\)，計算\(f'(2.1)\)：\(4(2.1)^3 - 12(2.1)^2 - 4(2.1) - 26 < 0\)，正確。
選項（4）：\(f'(1) = 4 - 12 - 4 - 26 = -38 \neq 0\)，\(x = 1\)非極值點，錯誤。
選項（5）：\(f''(x) = 12x^2 - 24x - 4\)，令\(f''(x) = 0\)，解\(x = \frac{24 \pm \sqrt{768}}{24} 未必大於 0\)，錯誤。
112分科測驗數學甲考科試題-08
複數平面上，設 $\overline{z}$ 代表複數 z 的共軛複數，且 i = \(\sqrt{-1}\)。試選出正確的選項。
(1) 若 z = 2i ，則 \(z^3 = 4i\overline{z}\)
(2) 若非零複數 α 滿足 \(α^3 = 4i\overline{\alpha}\) ，則 \(|α| = 2\)
(3) 若非零複數 α 滿足 \(α^3 = 4i\overline{\alpha}\) 且令 β = iα ，則 β\(^3\) = 4i$\overline{\beta}$
(4) 滿足 \(z^3 = 4i\overline{z}\) 的所有非零複數 z 中，其主輻角的最小可能值為 \(\frac{\pi}{6}\)
(5) 恰有 3 個相異非零複數 z 滿足 \(z^3 = 4i\overline{z}\)
答案
選項（1）：\(z = 2i\)，\(z^3 = (2i)^3 = -8i\)；\(4i\overline{z} = 4i(-2i) = 8\)，\(-8i \neq 8\)，錯誤。選項（2）：
設\(\alpha = r(\cos\theta + i\sin\theta)\)，代入\(\alpha^3 = 4i\overline{\alpha}\)，取模得\(r^3 = 4r\)（\(r \neq 0\)），解得\(r = 2\)，即\(|\alpha| = 2\)，正確。選項（3）：\(\beta = i\alpha\)，則\(\beta^3 = (i\alpha)^3 = -i\alpha^3\)。由\(\alpha^3 = 4i\overline{\alpha}\)，得\(\beta^3 = -i \cdot 4i\overline{\alpha} = 4\overline{\alpha}\)。又\(4i\overline{\beta} = 4i\overline{i\alpha} = 4\overline{\alpha}\)，故\(\beta^3 = 4i\overline{\beta}\)，正確。選項（4）：
由\(\alpha^3 = 4i\overline{\alpha}\)，\(|\alpha| = 2\)，代入三角形式解得主輻角最小為\(\frac{\pi}{8}\)（非\(\frac{\pi}{6}\)），錯誤。選項（5）：
方程\(z^3 = 4i\overline{z}\)兩邊乘z得\(z^4 = 16i\)，16i的四次方根有4個，錯誤。
最終答案：\(\boxed{(2)(3)}\)
113分科測驗數學甲試題05
設 \( f (x) \) 為 三次 實 係 數 多 項 式。已知 \( f (−2 − 3i) = 0\)（其中 \( i=\sqrt{-1} \)）,且 \( f (x) \) 除以 \( x^{2}+x – 2\) 的餘式為 18 。試選出正確 的 選項。
(1) \( f (2 + 3i) = 0\)
(2) \( f (−2) = 18\)
(3) \( f (x) \) 的三次項係數為負
(4) \( f (x) = 0\) 恰有 一 正實根
(5) \( y = f (x) \) 圖形的對稱中心在第 一 象 限
答案
(1) 實系數多項式的虛根成對出現,所以 \(f (-2 + 3i) = 0\),(1) 錯
(2) \(x^{2}+x - 2=(x + 2)(x - 1)\),令 \(f(x)=(x^{2}+x - 2)q(x)+18\),則 \(f(-2)=18\),(2) 對；
(3) $令f(x)=[x-(-2-3i)][x-(-2+3i)](ax+b)=(x^2+4x+13)(px+q)\\
\because f(-2)=18=f(1)~~x=-2,1代入上式\\
解得p=-\frac{1}{3},q=\frac{4}{3}$,(3) 對；
(4) $by(3),可令px+q=0,解得第三根x=4$,(4) 對；
(5) 代對稱中心公式 \((-\frac{b}{3a},f(-\frac{b}{3a}))\),即可判定,(5) 錯。
答案是(2)(3)(4)。
113分科測驗數學甲試題08
設z為非零複數，且設\(\alpha = |z|\)、\(\beta\)為z的輻角，其中\(0 \leq \beta \lt 2\pi\)（其中\(\pi\)為圓周率）。
對任一正整數n，設實數\(x_{n}\)與\(y_{n}\)分別為\(z^{n}\)的實部與虛部。試選出正確選項。
(1) 若\(\alpha = 1\)且\(\beta = \frac{3\pi}{7}\)，則\(x_{10} = x_{3}\)
(2) 若\(y_{3} = 0\)，則\(y_{6} = 0\)
(3) 若\(x_{3} = 1\)，則\(x_{6} = 1\)
(4) 若數列\(\{y_{n}\}\)收斂，則\(\alpha \leq 1\)
(5) 若數列\(\{x_{n}\}\)收斂，則數列\(\{y_{n}\}\)也收斂
答案
選項（1）
由棣美弗定理，\(z = \cos\frac{3\pi}{7} + i\sin\frac{3\pi}{7}\)，則\(x_{10} = \cos\left(10 \times \frac{3\pi}{7}\right) = \cos\frac{2\pi}{7}\)，\(x_3 = \cos\left(3 \times \frac{3\pi}{7}\right) = \cos\frac{9\pi}{7}\)。
因\(\cos\frac{2\pi}{7} \neq \cos\frac{9\pi}{7}\)，故\(x_{10} \neq x_3\)，（1）錯誤。
選項（2）\(z^3 = \alpha^3(\cos3\beta + i\sin3\beta)\)，\(y_3 = 0 \implies \sin3\beta = 0\)，即\(3\beta = k\pi\)（\(k \in \mathbb{Z}\)），\(\beta = \frac{k\pi}{3}\)。
代入\(z^6 = \alpha^6(\cos6\beta + i\sin6\beta)\)，得\(6\beta = 2k\pi\)，此時\(\sin6\beta = 0\)，故\(y_6 = 0\)，（2）正確。
選項（3）\(z^3 = \alpha^3(\cos3\beta + i\sin3\beta)\)，\(x_3 = 1 \implies \alpha^3\cos3\beta = 1\)。
但\(z^6 = \alpha^6(\cos6\beta + i\sin6\beta)\)中，\(\alpha^6\cos6\beta\)未必等於1。例如，取\(\alpha = \sqrt[3]{2}\)，\(\cos3\beta = \frac{1}{\sqrt[3]{4}}\)，此時\(\cos6\beta\)無法保證\(\alpha^6\cos6\beta = 1\)，（3）錯誤。
選項（4）\(y_n = \alpha^n\sin(n\beta)\)。若\(\alpha > 1\)，\(\alpha^n\)趨向無窮，\(y_n\)因\(\sin(n\beta)\)振盪而不收斂；若\(\alpha \leq 1\)，\(\alpha^n \to 0\)（\(\alpha < 1\)）或穩定（\(\alpha = 1\)），此時\(y_n\)收斂。
因此，\(\{y_n\}\)收斂 \(\implies \alpha \lt 1\)，（4）錯誤。
選項（5）$\because \alpha\lt1\therefore \{y_n\}收斂$（5）正確。
答案是(2)(5)
111分科數學甲試題-11
在複數平面上，複數\(z\)在第一象限且滿足\(\vert z\vert = 1\)以及\(\vert\frac{-3 + 4i}{5}-z^{3}\vert=\vert\frac{-3 + 4i}{5}-z\vert\)，其中\(i = \sqrt{-1}\)，\(z\)的實部為\(a\)、虛部為\(b\)，則\(a=\)__________ ，\(b=\)__________ (化為最簡根式)
[選填]
答案
因為\(|z| = 1\)，
令\(z = \cos\theta + i\sin\theta = a + bi\)，\(0^\circ < \theta < 90^\circ\)， 所以\(z^3 = \cos3\theta + i\sin3\theta\)。 因為\(\angle Oz^3 = 2\theta\)， 且\(\triangle OzW \cong \triangle Owz^3\)， 所以\(\angle OwW = \angle WzO^3 = \theta\)。 因為\(\left| \dfrac{-3 + 4i}{5} - z^3 \right| = \left| \dfrac{-3 + 4i}{5} - z \right|\)， 表示點\(W\left( -\dfrac{3}{5}, \dfrac{4}{5} \right)\)到\(z^3\)點和到\(z\)點的距離相等， 所以\(\cos2\theta = -\dfrac{3}{5}\)，\(\sin2\theta = \dfrac{4}{5}\)。 故\(\cos\theta = \sqrt{\dfrac{1 + \cos2\theta}{2}} = \sqrt{\dfrac{2}{5}} = \dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}\)， \(\sin\theta = \sqrt{\dfrac{1 - \cos2\theta}{2}} = \sqrt{\dfrac{8}{5}} = \dfrac{2}{\sqrt{5}} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}\)。 得\(a = \dfrac{\sqrt{5}}{5}\)，\(b = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}\)。