在空間中,一個斜面的「坡度」定義為斜面與水平面夾角 \(\theta\) 的正切值 \(\tan\theta\) 。若一金字塔（底部為一正方形,四個斜面為等腰三角形）的每一個斜面的坡度皆為 \(\frac{2}{5}\) ,如圖。則相鄰斜面的夾角的餘弦函數的絕對值為 ________。（化為最簡分數）
角度計算
108學測數學考科-E
如圖（此為示意圖），在\(\triangle ABC\)中，\(\overline{AD}\)交\(\overline{BC}\)於\(D\)點，\(\overline{BE}\)交\(\overline{AD}\)於\(E\)點，且\(\angle ACB = 30^\circ\)，\(\angle EDB = 60^\circ\)，\(\angle AEB = 120^\circ\)。若\(\overline{CD} = 15\)，\(\overline{ED} = 7\)，則\(\overline{AB} = \) __________。
答案
由角度關係可推\(\triangle BDE\)為正三角形，\(\overline{BE}=7\)；\(\triangle ACD\)中，\(\angle ACD=30^\circ\)，\(\angle ADC=120^\circ\)，推得\(\overline{AD}=15\)，故\(\overline{AE}=8\)。在\(\triangle ABE\)中，\(\angle AEB=120^\circ\)，由餘弦定理：\(\overline{AB}^2 = 8^2+7^2-2\cdot8\cdot7\cdot\cos120^\circ = 64+49+56=169\)，故\(\overline{AB}=13\)。答案：13 報錯
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114學測數學A考科_20
18-20 題為題組
20. 設 \(L\) 為過點 \(P\) 且與直線 \(OQ\) 平行的直線，點 \(S\) 為 \(L\) 和直線 \(OR\) 的交點，試求 \(\angle OSP\)，並求點 \(S\) 的坐標。（非選擇題，6分）
答案
03-113分科測驗數學甲試題06
坐 標 空 間 中,考 慮 滿足 內積 \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \sqrt{15}\) 與外積 \(\vec{u} \times \vec{v} = (−1,0,3)\) 的 兩 向 量 \(\vec{u} \)、\(\vec{v} \) 。試 選出正確的選項。
(1) \(\vec{u} \) 與 \(\vec{v} \) 的夾角 \( \theta \)（其中 \( 0\leq\theta\leq\pi \),\( \pi \) 為圓周率） 大於 \( \frac{\pi}{4}\)
(2) \(\vec{u} \) 可能為 \((1,0,−1)\)
(3) \(\vert\vec{u}|+|\vec{v}\vert\ge 2\sqrt{5}\)
(4) 若 已知 \(\vec{v} \),則 \(\vec{u} \) 可以 被 唯 一 決定
(5) 若 已知 \(\vert\vec{u}\vert+\vert\vec{v}\vert\),則 \(\vert\vec{v}\vert\) 可以 被 唯 一 決定
答案
(1) \(\vert\vec{u}\times\vec{v}\vert=\vert\vec{u}\vert\vert\vec{v}\vert\sin\theta=\sqrt{10}\cdots(a)\),\(\vec{u} \cdot \vec{v} =\vert\vec{u}\vert\vert\vec{v}\vert\cos\theta=\sqrt{15}\cdots(b)\),$\frac{(a)}{(b)}$可得 \(\tan\theta = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\le1\),所以 \( \theta\lt\frac{\pi}{4}\),(1) 錯；
(2) $\because (1,0,-1)\cdot(-1,0,3)=-4\ne0,不滿足外積為公垂向量,內稽等於0之要求$,(2) 錯；
(3) $by(1)~~(a)^2+(b)^2=|\vec{u}|^2|\vec{v}|^2=25\therefore |\vec{u}||\vec{v}|=5$
$算幾不等式~~\frac{|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2}{2}\ge\sqrt{|\vec{u}|^2|\vec{v}|^2}=5\\ |\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2\ge2|\vec{u}||\vec{v}|=10 \\(|\vec{u}|+|\vec{v}|)^2=|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2+2|\vec{u}||\vec{v}|\ge2|\vec{u}||\vec{v}|+2|\vec{u}||\vec{v}|\ge10+2\times5=20\\|\vec{u}|+|\vec{v}|\ge\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
(4)$若\vec{u}確定則|\vec{u}|,|\vec{v}|都確定\\又\vec{v}//\vec{u}\times(-1,0,3)\therefore \vec{v}有兩個方向\\若加上第(1)選項可知夾角\\就能確定方向只有一種可能~~所以\vec{v}的大小與方向都能確定,只有一種可能$ ,(4) 對；
(5) 由$令\overset{確定}{\square^2}=(|\vec{u}|+|\vec{v}|)^2=|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2+2\overset{可確定}{|\vec{u}||\vec{v}|}\\知|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2可確定,\\只知道夾角但是|\vec{v}|無法確定$
,(5) 錯。
答案是(3)(4)。 報錯
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