小明在天文網站上看到以下的資訊「可利用北斗七星斗杓的天璇與天樞這兩顆星來尋找北極星：由天璇起始向天樞的方向延伸便可找到北極星,其中天樞與北極星的距離為天樞與天璇距離的 5 倍。」今小明將所見的星空想像成一個坐標平面,其中天璇的坐標為 \((9,8)\) 及天樞的坐標為 \((7,11)\)。依上述資訊可以推得北極星的坐標為__________。
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答案
距離計算
103學測數學考科-02
令 \(A(5,0,12)\)、\(B(-5,0,12)\) 為坐標空間中之兩點,且令 \(P\) 為 \(xy\) 平面上滿足 \(PA = PB = 13\) 的點。請問下列哪一個選項中的點可能為 \(P\)？
(1) \((5,0,0)\)
(2) \((5,5,0)\)
(3) \((0,12,0)\)
(4) \((0,0,0)\)
(5) \((0,0,24)\)
答案
103學測數學考科-15
小鎮 \(A\) 距離一筆直道路 6 公里,並與道路上的小鎮 \(B\) 相距 12 公里。今欲在此道路上蓋一家超級市場使其與 \(A, B\) 等距,則此超級市場與 \(A\) 的距離須為__________ 公里。
[選填]
答案
設超級市場位置為 \( P \)，滿足 \( PA = PB = x \)（公里），如圖所示。
\( H \) 為 \( AB \) 中點，則 \( AH = HB = \frac{12}{2} = 6 \)。
在 \(\triangle ABH\) 中，由畢氏定理得：
\[
HB = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{12^2 - 6^2} = \sqrt{144 - 36} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}。
\]
設 \( HP = y \)，則 \( HB = HP + PB \) 即：
\[
6\sqrt{3} = y + x \quad \Rightarrow \quad y = 6\sqrt{3} - x。
\]
在 \(\triangle AHP\) 中，再由畢氏定理得：
\[
AP^2 = AH^2 + HP^2，
\]
\[
x^2 = 6^2 + \left(6\sqrt{3} - x\right)^2。
\]
展開：
\[
x^2 = 36 + \left(108 - 12\sqrt{3}x + x^2\right)。
\]
兩邊消去 \( x^2 \)：
\[
0 = 36 + 108 - 12\sqrt{3}x。
\]
\[
12\sqrt{3}x = 144。
\]
\[
x = \frac{144}{12\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}。
\]
故超市與 \( A \) 點的距離為 \( 4\sqrt{3} \) 公里。
107學測自然試題-28
太陽表面在 2017 年 9 月接連發生一起被稱作「太陽閃焰」的大型爆發，規模為 10 年來最大。
科學家預計爆發所噴出的帶電粒子團兩天後抵達地球，撞擊大氣層後產生電磁波，以致影響通
訊品質。已知太陽與地球距離約為 \(1.5 \times 10^{11}\) 公尺，光速約為 \(3.0 \times 10^{8}\) 公尺/秒。下列敘述哪些正確？
（應選 2 項）
(A)電磁波並無繞射與干涉的現象
(B)電磁波在空間傳播須以帶電粒子為介質
(C)電磁波具有隨時間作週期性變動的電場與磁場
(D)帶電粒子團脫離太陽時的速率約為 \(8.7 \times 10^{5}\) 公尺/秒
(E)帶電粒子團撞擊地球大氣層之後約8分鐘，地球上才能觀測到大陽閃焰影像
答案
107學測自然試題-59
57-59為題組
假設光譜紅移量z 與遠方星系到地球距離d 的關係如圖21 所示，若該雙黑洞系統所屬星系的z 約為0.1，則其所產生的重力波輻射訊號到達地球約需多少年？
106學測自然試題-61
60-61為題組
此汽車在 \( 0 \leq t \leq 85 \) 秒期間，共行駛多長的距離？
(A) 625 m
(B) 525 m
(C) 485 m
(D) 300 m
(E) 100 m
答案
111學測自然科試題_01
題組(1-2題)圖1為某颱風中心在21～26日的行進及預測路徑。假設颱風可視為固定質量的質點，地球轉動對颱風行進路徑的影響可忽略不計，颱風行進路徑在同一水平面上，且颱風沿預測路徑持續前進不折返。已知此颱風在21日14時的暴風半徑為180公里，如白色圓圈所示。試以預測路徑估算自21日14時至22日02時之間，颱風移動的平均時速量值約多少公里？
(A)5 (B)10 (C)20 (D)30 (E)40
答案