平面上兩點 \(F_1, F_2\) 滿足 \(F_1F_2 = 4\)。設 \(d\) 為一實數,令 \(\Gamma\) 表示平面上滿足 \(|PF_1 – PF_2| = d\) 的所有 \(P\) 點所成的圖形,又令 \(C\) 為平面上以 \(F_1\) 為圓心、6 為半徑的圓。請問下列哪些選項是正確的？
(1) 當 \(d = 0\) 時,\(\Gamma\) 為直線
(2) 當 \(d = 1\) 時,\(\Gamma\) 為雙曲線
(3) 當 \(d = 2\) 時,\(\Gamma\) 與圓 \(C\) 交於兩點
(4) 當 \(d = 4\) 時,\(\Gamma\) 與圓 \(C\) 交於四點
(5) 當 \(d = 8\) 時,\(\Gamma\) 不存在
坐標平面上有一雙曲線,其漸近線為 \(x – y = 0\) 和 \(x + y = 0\)。關於此雙曲線的性質,請選出正確的選項。
(1) 此雙曲線的方程式為 \(\frac{x^2}{r^2} – \frac{y^2}{r^2} = 1\) 或 \(\frac{x^2}{r^2} – \frac{y^2}{r^2} = -1\),其中 \(r\) 為非零實數
(2) 此雙曲線的實軸長等於共軛軸長
(3) 若點 \((a, b)\) 為此雙曲線在第一象限上一點,則當 \(a > 1000\) 時,\(|a – b| < 1\)
(4) 若點 \((a, b)\)、\((a’, b’)\) 為此雙曲線在第一象限上兩點且 \(a < a'\),則 \(b < b'\)
(5) 此雙曲線同時對稱於 \(x\) 軸與 \(y\) 軸
