〈雙曲線〉彙整頁面

平面上兩點 $F_1, F_2$ 滿足 $F_1F_2 = 4$。設 $d$ 為一實數,令 $\Gamma$ 表示平面上滿足 $|PF_1 – PF_2| = d$ 的所有 $P$ 點所成的圖形,又令 $C$ 為平面上以 $F_1$ 為圓心、6 為半徑的圓。請問下列哪些選項是正確的？
(1) 當 $d = 0$ 時,$\Gamma$ 為直線
(2) 當 $d = 1$ 時,$\Gamma$ 為雙曲線
(3) 當 $d = 2$ 時,$\Gamma$ 與圓 $C$ 交於兩點
(4) 當 $d = 4$ 時,$\Gamma$ 與圓 $C$ 交於四點
(5) 當 $d = 8$ 時,$\Gamma$ 不存在

[多選]

答案

\[
\boxed{\text{已知：} F_1F_2 = 4,\quad \Gamma = \{P \mid |PF_1 - PF_2| = d\}}
\]

\[
\begin{array}{c|c|c}
d \text{ 值} & |PF_1 - PF_2| \text{ 與 } 4 \text{ 比較} & \Gamma \text{ 的圖形與交點數} \\ \hline
d = 0 & 0 < 4 & F_1F_2 \text{ 的中垂線} \quad (\bigcirc) \\ d = 1 & 1 < 4 & \text{以 } F_1, F_2 \text{ 為焦點的雙曲線} \quad (\bigcirc) \\ d = 2 & 2 < 4 & \text{雙曲線，與圓 C 交於 4 點} \quad (\times) \\ d = 4 & = 4 & \text{從 } F_1, F_2 \text{ 出發的兩條射線，交圓 C 於 2 點} \quad (\times) \\ d = 8 & 8 > 4 & \text{軌跡不存在} \quad (\bigcirc) \\
\end{array}
\]

\[
\boxed{\text{幾何原理說明}}
\]

\[
\begin{aligned}
\text{雙曲線定義：} & |PF_1 - PF_2| = 2a \ (< F_1F_2 = 2c) \\ \text{特殊情況：} & \\ & d = 0 \Rightarrow \text{中垂線} \\ & d = F_1F_2 = 4 \Rightarrow \text{兩條射線} \\ & d > F_1F_2 = 4 \Rightarrow \text{無軌跡}
\end{aligned}
\]
$\boxed{\text{答案：} (1)\ (2)\ (5)}$

加最愛

坐標平面上有一雙曲線,其漸近線為 $x – y = 0$ 和 $x + y = 0$。關於此雙曲線的性質,請選出正確的選項。
(1) 此雙曲線的方程式為 $\frac{x^2}{r^2} – \frac{y^2}{r^2} = 1$ 或 $\frac{x^2}{r^2} – \frac{y^2}{r^2} = -1$,其中 $r$ 為非零實數
(2) 此雙曲線的實軸長等於共軛軸長
(3) 若點 $(a, b)$ 為此雙曲線在第一象限上一點,則當 $a > 1000$ 時,$|a – b| < 1$
(4) 若點 $(a, b)$、$(a’, b’)$ 為此雙曲線在第一象限上兩點且 $a < a'$,則 $b < b'$
(5) 此雙曲線同時對稱於 $x$ 軸與 $y$ 軸

[多選]

答案

根據雙曲線的性質：
(1) 雙曲線的方程式為 $\frac{x^2}{r^2} - \frac{y^2}{r^2} = 1$ 或 $\frac{x^2}{r^2} - \frac{y^2}{r^2} = -1$,正確。
(2) 實軸長等於共軛軸長,正確。
(3) 當 $a > 1000$ 時,$|a - b| < 1$,選項錯誤($\because a^2-b^2=\pm r^2可令r=999999則b\to0$)。
(4) 若 $a < a'$,則 $b < b'$,選項錯誤。
(5) 雙曲線對稱於 $x$ 軸與 $y$ 軸,正確。
因此,正確答案是 (1)(2)(4)(5)。

加最愛

雙曲線

101學測數學考科-13

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