設 \(\triangle ABC\) 中，\(\angle A\)、\(\angle B\)、\(\angle C\) 的對邊邊長分別為 \(a\)、\(b\)、\(c\)，已知 \(b^2 = ac\)，若點 \(D\) 在 \(\overline{AC}\) 邊上，且 \(\overline{BD} = \overline{AC}\)，\(\overline{AD} = 3\overline{CD}\)，試求 $\cos\angle ABC = \frac{~~~~~~~~~~~}{~~~~~~~~~~}$（化為最簡分數）
試問有多少個實數 \( x \) 滿足 \(\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{3\pi}{2}\) 且 \(\cos x^0 \leq \cos x\)？
(1) 0 個 (2) 1 個 (3) 2 個 (4) 4 個 (5) 無窮多個。
最近數學家發現一種新的可以無縫密繪平面的凸五邊形 \( ABCDE \)，其示意圖如下。
關於這五邊形，請選出正確的選項。
(1) \( AD = 2\sqrt{2} \)
(2) \( \angle DAB = 45^\circ \)
(3) \( BD = 2\sqrt{6} \)
(4) \( \angle ABD = 45^\circ \)
(5) \( \triangle BCD \) 的面積為 \( 2\sqrt{2} \)。
(1) \(AD = \sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}\)，正確。
(2) \(\angle DAB = 105^\circ - 45^\circ = 60^\circ\)，錯誤。
(3) \(BD^2 = (\sqrt{6}+\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2 - 2(\sqrt{6}+\sqrt{2})(2\sqrt{2})\cos 60^\circ = 12\)，\(BD=2\sqrt{3}\)，錯誤。
(4) 正弦定理：\(\frac{2\sqrt{3}}{\sin 60^\circ} = \frac{2\sqrt{2}}{\sin \angle ABD} \Rightarrow \sin \angle ABD = \frac{\sqrt{2}}{2}\)，\(\angle ABD=45^\circ\)，正確。
(5) \(\triangle BCD\) 為直角三角形，面積=\(\frac{1}{2} \times 2 \times 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}\)，錯誤。
故選(1)(4)。答案：(1)(4) 報錯
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坐標平面上，若拋物線 \(y=x^2+2x-3\) 的頂點為C，與x軸的交點為A、B，則 \(\cos \angle ACB = \) __________。（化成最簡分數）
如圖（此為示意圖），在\(\triangle ABC\)中，\(\overline{AD}\)交\(\overline{BC}\)於\(D\)點，\(\overline{BE}\)交\(\overline{AD}\)於\(E\)點，且\(\angle ACB = 30^\circ\)，\(\angle EDB = 60^\circ\)，\(\angle AEB = 120^\circ\)。若\(\overline{CD} = 15\)，\(\overline{ED} = 7\)，則\(\overline{AB} = \) __________。
由角度關係可推\(\triangle BDE\)為正三角形，\(\overline{BE}=7\)；\(\triangle ACD\)中，\(\angle ACD=30^\circ\)，\(\angle ADC=120^\circ\)，推得\(\overline{AD}=15\)，故\(\overline{AE}=8\)。在\(\triangle ABE\)中，\(\angle AEB=120^\circ\)，由餘弦定理：\(\overline{AB}^2 = 8^2+7^2-2\cdot8\cdot7\cdot\cos120^\circ = 64+49+56=169\)，故\(\overline{AB}=13\)。答案：13 報錯
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平面上有一等形 \(ABCD\)，其中 \(AB=BC=\sqrt{2}\)，\(\overline{AD}=\overline{CD}=2\)，\(\angle BAD=135^\circ\)。則 \(\overline{AC}=\) __________（化為最簡根式）
在 \(\triangle ABC\) 中，已經知道 \(AB = 4\) 和 \(AC = 6\)，此時尚不足以確定 \(\triangle ABC\) 的形狀與大小。但是，只要再知道某些條件（例如：再知道 \(BC\) 的長度），就可確定 \(\triangle ABC\) 唯一的形狀與大小。試選出正確的選項。
(1) 如果再知道 \(\cos A\) 的值，就可確定 \(\triangle ABC\) 唯一的形狀與大小
(2) 如果再知道 \(\cos B\) 的值，就可確定 \(\triangle ABC\) 唯一的形狀與大小
(3) 如果再知道 \(\cos C\) 的值，就可確定 \(\triangle ABC\) 唯一的形狀與大小
(4) 如果再知道 \(\triangle ABC\) 的面積，就可確定 \(\triangle ABC\) 唯一的形狀與大小
(5) 如果再知道 \(\triangle ABC\) 的外接圓半徑，就可確定 \(\triangle ABC\) 唯一的形狀與大小
在四面體 \(ABCD\) 中，\(\overline{AB} = AC = AD = 4\sqrt{6} \cdot BD = CD = 8\)，且 \(\cos \angle BAC = \frac{1}{3}\)，則點 \(D\) 到平面 \(ABC\) 的距離為 \(\underline{\qquad\qquad}\)。（化成最簡根式）
在 \(\triangle ABC\) 中，\(\overline{AB} = 6\)，\(\overline{AC} = 5\)，\(\overline{BC} = 4\)。令 \(\overline{AB}\) 中點為 \(D\)，\(P\) 為 \(\angle ABC\) 之角平分線與 \(\overline{CD}\) 之交點，如右圖所示。試選出正確的選項。
(1) \(\overline{CP} = \frac{3}{7}\overline{CD}\)
(2) \(\overset{\rightharpoonup}{AP} = \frac{3}{7}\overset{\rightharpoonup}{AB} + \frac{2}{7}\overset{\rightharpoonup}{AC}\)
(3) \(\cos \angle BAC = \frac{3}{4}\)
(4) \(\triangle ACP\) 面積為 \(\frac{15}{14}\sqrt{7}\)
(5) (內積) \(\overset{\rightharpoonup}{AP} \cdot \overset{\rightharpoonup}{AC} = \frac{120}{7}\)
(1) ✗：\(\overline{CP}=\frac{4}{7}\overline{CD}\)；(2) ✗：\(\overset{\rightharpoonup}{AP}=\frac{2}{7}\overset{\rightharpoonup}{AB}+\frac{3}{7}\overset{\rightharpoonup}{AC}\)；
(3) ✓：餘弦定理得 \(\cos \angle BAC=\frac{3}{4}\)；(4) ✓：面積計算得 \(\frac{15\sqrt{7}}{14}\)；
(5) ✓：內積計算得 \(\frac{120}{7}\)。
故選(3)(4)(5)。 報錯
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\(\triangle ABC\) 中，已知 \(\overline{AB} = \overline{BC} = 3\)，\(\cos \angle ABC = -\frac{1}{8}\)。在 \(\triangle ABC\) 的外接圓上有一點 \(D\) 滿足 \(\overline{BD} = 4\)，且 \(\overline{AD} \leq \overline{CD}\)，則 \(\overline{CD} = \) __________。（化為最簡根式）
