餘弦定理

已知三角形 \(ABC\) 中：
\[
\angle A = 91^\circ, \quad \angle C = 29^\circ, \quad \angle B = 60^\circ
\]
（因為 \(180^\circ - 91^\circ - 29^\circ = 60^\circ\)）

邊長：
\[
BC = a, \quad CA = b, \quad AB = c
\]
（即 \(a\) 對 \(\angle A\)，\(b\) 對 \(\angle B\)，\(c\) 對 \(\angle C\)）

---

**(1) \( a^2 > b^2 + c^2 \)**

由餘弦定理：
\[
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A
\]
\(\cos 91^\circ < 0\)，所以 \(-2bc\cos A > 0\)，因此
\[
a^2 > b^2 + c^2
\]
✅ 正確。

---

**(2) \( \frac{c}{a} > \sin 29^\circ \)**

正弦定理：
\[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R
\]
所以
\[
\frac{c}{a} = \frac{\sin C}{\sin A} = \frac{\sin 29^\circ}{\sin 91^\circ}
\]
\(\sin 91^\circ \approx \sin 90^\circ = 1\)，實際略大於 1（\(\sin 91^\circ \approx 0.99985\)），所以
\[
\frac{c}{a} \approx 0.99985^{-1} \times \sin 29^\circ \approx 1.00015 \times 0.4848 \approx 0.48487
\]
而 \(\sin 29^\circ \approx 0.4848\)，比較：
\[
\frac{c}{a} \approx 0.48487 > 0.4848
\]
✅ 正確（雖然很接近，但確實大於）。

---

**(3) \( \frac{b}{a} > \cos 29^\circ \)**

\[
\frac{b}{a} = \frac{\sin B}{\sin A} = \frac{\sin 60^\circ}{\sin 91^\circ} \approx \frac{0.866025}{0.99985} \approx 0.86615
\]
\(\cos 29^\circ \approx 0.87462\)，比較：
\[
0.86615 < 0.87462 \] ❌ 錯誤。 --- **(4) \( \frac{a^2 + b^2 - c^2}{ab} < \sqrt{3} \)** 由餘弦定理： \[ \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \] 所以 \[ \frac{a^2 + b^2 - c^2}{ab} = 2\cos C = 2\cos 29^\circ \approx 2 \times 0.87462 \approx 1.74924 \] \(\sqrt{3} \approx 1.732\)，比較： \[ 1.74924 > 1.732
\]
❌ 錯誤。

---

**(5) 外接圓半徑小於 \(c\)**

外接圓半徑 \(R = \frac{a}{2\sin A} \approx \frac{a}{2 \times 0.99985} \approx 0.500075 \times a\)
由正弦定理：
\[
c = 2R \sin C \implies R = \frac{c}{2\sin C} = \frac{c}{2 \times 0.4848} \approx \frac{c}{0.9696} \approx 1.0314 \times c
\]
等等，這裡要小心：題目給的 \(a,b,c\) 是邊長，\(R\) 是固定值。
用 \(a = 2R\sin A\)，\(c = 2R\sin C\)。
比較 \(R\) 與 \(c\)：
\[
c = 2R\sin C \implies \frac{R}{c} = \frac{1}{2\sin C} \approx \frac{1}{0.9696} \approx 1.0314
\]
所以 \(R \approx 1.0314 \times c > c\)，因此 \(R < c\) 不成立。 ❌ 錯誤。 --- **正確選項：** (1)、(2) \[ \boxed{12} \] 報錯
ChatGPT    DeepSeek

根據向量內積公式\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow{b}\vert\cos\theta\)（\(\theta\)為\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow{b}\)的夾角）。
由餘弦定理\(\cos A=\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2AB\cdot AC}=\frac{25 + 36 - 64}{2\times5\times6}=-\frac{1}{20}\)；
\(\cos B=\frac{AB^{2}+BC^{2}-AC^{2}}{2AB\cdot BC}=\frac{25 + 64 - 36}{2\times5\times8}=\frac{53}{80}\)；
\(\cos C=\frac{AC^{2}+BC^{2}-AB^{2}}{2AC\cdot BC}=\frac{36 + 64 - 25}{2\times6\times8}=\frac{75}{96}=\frac{25}{32}\)。
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\vert\overrightarrow{AB}\vert\vert\overrightarrow{AC}\vert\cos A=5\times6\times(-\frac{1}{20})=-\frac{3}{2}\)；
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\frac{3}{2}\)；
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=\vert\overrightarrow{AB}\vert\vert\overrightarrow{BC}\vert\cos(\pi - B)=-5\times8\times\frac{53}{80}=-\frac{53}{2}\)；
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=\frac{53}{2}\)；
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}=\vert\overrightarrow{AB}\vert^{2}=25\)。
比較可得\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CB}\)最大。
答案為(4)。 報錯
ChatGPT    DeepSeek

• 試題內容
• 試題內容
• 選擇(填)題答案
• 非選擇題參考答案

從6、8、10、12中任取三個相異數字構成三角形，根據大邊對大角，要使\(\cos\theta\)最小，則最大邊所對的角最大。
由餘弦定理\(\cos\theta=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\)（\(c\)為最大邊）。
分別討論：
若取6、8、10，\(\cos\theta=\frac{6^{2}+8^{2}-10^{2}}{2\times6\times8}=0\)；
若取6、8、12，\(\cos\theta=\frac{6^{2}+8^{2}-12^{2}}{2\times6\times8}=-\frac{11}{24}\)；
若取6、10、12，\(\cos\theta=\frac{6^{2}+10^{2}-12^{2}}{2\times6\times10}=-\frac{5}{15}=-\frac{1}{3}\)；
若取8、10、12，\(\cos\theta=\frac{8^{2}+10^{2}-12^{2}}{2\times8\times10}=\frac{64 + 100 - 144}{160}=\frac{1}{8}\)。
所以\(\cos\theta\)的最小值為\(-\frac{11}{24}\) 。 報錯
ChatGPT    DeepSeek

• 試題內容
• 試題內容
• 選擇(填)題答案
• 非選擇題參考答案