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106指考數學乙試題-1)

某縣縣政府每週五對全縣居民發放甲、乙兩種彩券，每位居民均可憑身分證免費選擇領取甲券一張或乙券一張。根據長期統計，上週選擇甲券的民眾會有85%在本週維持選擇甲券、15%改選乙券；而選擇乙券的民眾會有35%在本週改選甲券、65%維持乙券。所謂穩定狀態，係指領取甲券及乙券的民眾比例在每週均保持不變。
(1)試寫出描述上述現象的轉移矩陣。

[非選擇題]

答案

設狀態1:甲券，狀態2:乙券。
轉移矩陣 \( P = \begin{bmatrix} 0.85 & 0.35 \\ 0.15 & 0.65 \end{bmatrix} \)。
答案為 \( \begin{bmatrix} 0.85 & 0.35 \\ 0.15 & 0.65 \end{bmatrix} \)。報錯
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106指考數學乙試題-2)

(2)試問領取甲券和乙券民眾各占全縣居民百分比多少時，會形成穩定狀態？

[非選擇題]

答案

設穩定狀態向量 \( [x \quad y] \) 滿足 \( x+y=1 \) 且 \( [x \quad y]P = [x \quad y] \)。
得 \( 0.85x + 0.35y = x \) ⇒ \( -0.15x + 0.35y = 0 \) ⇒ \( 0.15x = 0.35y \) ⇒ \( 3x = 7y \) ⇒ \( x = \frac{7}{10} \)，\( y = \frac{3}{10} \)。
答案為甲券 70%，乙券 30%。報錯
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