〈體積表面積計算〉彙整頁面

101學測數學考科-02

將邊長為 1 公分的正立方體堆疊成一階梯形立體,如下圖所示,其中第 1 層（最下層）有 10 塊,第 2 層有 9 塊,…,依此類推。當堆疊完 10 層時,該階梯形立體的表面積（即該立體的前、後、上、下、左、右各表面的面積總和）為多少？

(1) 75 平方公分
(2) 90 平方公分
(3) 110 平方公分
(4) 130 平方公分
(5) 150 平方公分

答案

每一層的立方體數為 10, 9, 8, ..., 1。總表面積計算如下：
- 前後表面積：每一層的前後表面積為 \(2 \times 1 \times 1 = 2\) 平方公分,總共 \(10 \times 2 = 20\) 平方公分。
- 上下表面積：每一層的上下表面積為 \(2 \times 1 \times 1 = 2\) 平方公分,總共 \(10 \times 2 = 20\) 平方公分。
- 左右表面積：每一層的左右表面積為 \(2 \times 1 \times 1 = 2\) 平方公分,總共 \(10 \times 2 = 20\) 平方公分。
總表面積為 \(20 + 20 + 20 = 60\) 平方公分。因此,正確答案是 (2) 90 平方公分。報錯
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104學測數學考科-18

有一底面為正方形的四角錐,其展開圖如下圖所示,其中兩側面的三角形邊長為3,4,5 ,則此角錐的體積為 __________。（化為最簡根式）

答案

由側面三角形邊長3、4、5可知是直角三角形,由此可得底面正方形邊長為4。利用勾股定理求四角錐的高 \(h=\sqrt{3^2 - 2^2}=\sqrt{5}\) 。再根據四角錐體積公式 \(V=\frac{1}{3}S_{底}h\) ,底面正方形面積 \(S_{底}=4×4 = 16\) ,所以體積 \(V=\frac{1}{3}×16×\sqrt{5}=\frac{16\sqrt{5}}{3}\) 。報錯
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106學測數學考科–04

在右下圖的正立方體上有兩質點分別自頂點 \(A, C\) 同時出發，各自以等速直線運動分別向頂點 \(B, D\) 前進，且在 1 秒後分別同時到達 \(B, D\)。請選出這段時間兩質點距離關係的正確選項。

(1) 兩質點的距離固定不變
(2) 兩質點的距離越來越小
(3) 兩質點的距離越來越大
(4) 在 \(\frac{1}{2}\) 秒時兩質點的距離最小
(5) 在 \(\frac{1}{2}\) 秒時兩質點的距離最大。

答案

設 \(t\) 秒時，質點位置 \(P(1, t, 0)\)、\(Q(0, 1, t)\)。距離 \(PQ = \sqrt{1 + (t-1)^2 + t^2} = \sqrt{2t^2 - 2t + 2} = \sqrt{2(t - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{2}}\)。當 \(t=\frac{1}{2}\) 時有最小值。故選(4)。答案：(4) 報錯
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108學測數學考科-F

坐標空間中，考慮有一個頂點在平面\(z = 0\)上，且有另一個頂點在平面\(z = 6\)上的正立方體，則滿足前述條件的正立方體之邊長最小可能值為 __________（化成最簡根式）

答案

正立方體空間對角線長為\(\sqrt{3}a\)，此對角線需跨過兩平面距離6，故\(\sqrt{3}a \geq 6 \Rightarrow a \geq \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}\)。最小邊長為\(2\sqrt{3}\)。答案：\(2\sqrt{3}\) 報錯
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110指考數學甲試題-3)

坐標空間中，令\(E\)為通過三點\(A(0,-1,-1)\)、\(B(1,-1,-2)\)、\(C(0,1,0)\)的平面。假設\(H\)為空間中一點，且滿足\(\overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}+3(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC})\) 。試判斷點\(H\)在平面\(E\)的投影點是否位在\(\triangle ABC\)的內部？並說明理由。(4分)(註：三角形的內部不含三角形的三邊)

答案

首先求平面\(E\)的法向量\(\vec{n}\)，由前面可知\(\overrightarrow{AB}=(1,0, - 1)\)，\(\overrightarrow{AC}=(0,2,1)\)，則\(\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(2,-1,2)\)。
設\(H\)在平面\(E\)上的投影點為\(H_0\)，\(\overrightarrow{AH_0}\)與\(\vec{n}\)平行。
已知\(\overrightarrow{AH}=(\frac{20}{3},-\frac{11}{3},5)\)，設\(\overrightarrow{AH_0}=k\vec{n}=(2k,-k,2k)\) 。
若\(H_0\)在\(\triangle ABC\)內部，則\(\overrightarrow{AH_0}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}\)（\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，\(x + y\lt1\)）。
由\(\overrightarrow{AH_0}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}=x(1,0,-1)+y(0,2,1)=(x,2y,-x + y)\) 。
可得\(\begin{cases}2k=x\\-k = 2y\\2k=-x + y\end{cases}\)，解這個方程組。
由\(2k=x\)和\(-k = 2y\)可得\(y=-\frac{1}{2}k\)，代入\(2k=-x + y\)得\(2k=-2k-\frac{1}{2}k\)，\(2k+\frac{5}{2}k = 0\)，\(\frac{9}{2}k = 0\)，\(k = 0\)。
此時\(x = 0\)，\(y = 0\)，不滿足\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，\(x + y\lt1\)。
所以點\(H\)在平面\(E\)的投影點不在\(\triangle ABC\)的內部。報錯
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