點與平面的位置關係

1. 設 \(L_1\) 方向向量 \(\overset{\rightharpoonup}{v}=(0,m,n)\)，\(L_2\) 方向向量同 \(\overset{\rightharpoonup}{v}\)；
2. 取兩直線上點 \(P(0,2,-11)\)、\(Q(8,21,0)\)，\(\overset{\rightharpoonup}{PQ}=(8,19,11)\)；
3. 距離 \(d=\frac{|\overset{\rightharpoonup}{PQ}\times\overset{\rightharpoonup}{v}|}{|\overset{\rightharpoonup}{v}|}\)，由平行得方向向量 \((0,1,k)\)，計算得 \(d=\sqrt{8^2+(19)^2+(11)^2 - (\frac{19+11k}{\sqrt{1+k^2}})^2}\)，解得 \(d=\sqrt{185}\)。答案：\(\sqrt{185}\) 報錯
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(1) 向量\(\overrightarrow{OP}=(2,2,1)\)，若\(\vec{v}=(1,-1,0)\)是平面\(E\)的法向量，則\(\overrightarrow{OP}\cdot\vec{v}=2\times1 + 2\times(-1)+1\times0 = 0\)，但\(2 - 2+0 = 0\)不成立，所以\(\vec{v}=(1,-1,0)\)不是平面\(E\)的法向量，(1)錯誤。
(2) 點\((4,4,2)=2(2,2,1)\)，\(P(2,2,1)\)是平面\(E\)上距離原點最近的點，所以\(P\)也是平面\(E\)上距離點\((4,4,2)\)最近的點，(2)正確。
(3) 設平面\(E\)的方程為\(2x + 2y+z + d = 0\)，把\(P(2,2,1)\)代入得\(4 + 4 + 1 + d = 0\)，\(d=-9\)，平面\(E\)的方程為\(2x + 2y+z - 9 = 0\)，把\((0,0,9)\)代入方程，\(0 + 0 + 9 - 9 = 0\)，所以點\((0,0,9)\)在平面\(E\)上，(3)正確。
(4) 點\((2,2,-8)\)到平面\(E\)：\(2x + 2y+z - 9 = 0\)的距離\(d=\frac{\vert2\times2 + 2\times2-8 - 9\vert}{\sqrt{2^{2}+2^{2}+1^{2}}}=\frac{9}{3}=3\neq9\)，(4)錯誤。
(5) 通過原點\((0,0,0)\)和點\((2,2,-8)\)的直線方程為\(\frac{x}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z}{-8}\)，設直線上一點\((2t,2t,-8t)\)，代入平面\(E\)的方程\(2(2t)+2(2t)-8t - 9 = 0\)，\(4t + 4t - 8t - 9 = 0\)，\(-9 = 0\)不成立，所以直線與平面\(E\)不相交，(5)錯誤。
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先求\(\overset{\rightharpoonup}{u}×\overset{\rightharpoonup}{v}=\begin{vmatrix}\overset{\rightharpoonup}{i}&\overset{\rightharpoonup}{j}&\overset{\rightharpoonup}{k}\\1&2&3\\1&0&-1\end{vmatrix}=\overset{\rightharpoonup}{i}(-2 - 0)-\overset{\rightharpoonup}{j}(-1 - 3)+\overset{\rightharpoonup}{k}(0 - 2)=(-2,4,-2)\)。
因為\(\overset{\rightharpoonup}{w}\)與\(\overset{\rightharpoonup}{u}×\overset{\rightharpoonup}{v}\)平行，所以\(\overset{\rightharpoonup}{w}=k(-2,4,-2)=(-2k,4k,-2k)\)。
又\(\begin{vmatrix}1&2&3\\1&0&-1\\x&y&z\end{vmatrix}=1\times(0 + y)-2\times(z + x)+3\times(y - 0)=4y-2x - 2z=-12\)，把\(x=-2k\)，\(y = 4k\)，\(z=-2k\)代入得\(4\times4k-2\times(-2k)-2\times(-2k)=-12\)，即\(16k + 4k + 4k=-12\)，\(24k=-12\)，解得\(k = -\frac{1}{2}\)。
所以\(\overset{\rightharpoonup}{w}=(1,-2,1)\)。
答案依次為\(1\)、\(-2\)、\(1\)。 報錯
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