〈二次函數〉彙整頁面

114-學測數學模考_北模_09

已知兩實數多項式函數 $f(x) = -x^2 – 4x + 2$ 與 $g(x)$，若 $y = f(x)$ 圖形的頂點坐標與 $y = g(x)$ 的對稱中心相同，且 $y = g(x)$ 圖形通過原點，試選出正確的選項。
$(1) y = f(x)$ 圖形的頂點坐標為 $(-2,6)$
$(2) 不等式\ f(x)\lt 0$ 的解為 $-2 – \sqrt{6}\lt x\lt -2 + \sqrt{6}$
$(3) b+c+d=11$
$(4) y = g(x)$ 在 $x = -2$ 附近的局部特徵（一次近似）近似於直線 $y = 5x$
$(5) 方程式\ g(x) = 0$ 有3個整數解

[多選題]

答案

$f(x) = -(x + 2)^2 + 6$，頂點 $(-2,6)$（(1)正確）。設 $g(x) = (x + 2)^3 + p(x + 2) + 6$，過原點得 $p = -7$，$g(x) = x^3 + 6x^2 + 5x$，因式分解得根 $0, -1, -5$，有3個整數解（(5)正確）。(2)解為 $x\lt -2 - \sqrt{6}$ 或 $x\gt -2 + \sqrt{6}$；(3)未提三次；(4)一次近似為 $y = -7x - 8$。答案：$(1)(3)(5)$

一站直達

加最愛

101學測數學考科-17

設點 $A(-2, 2)$、$B(4, 8)$ 為坐標平面上兩點,且點 $C$ 在二次函數 $y = \frac{1}{2}x^2$ 的圖形上。當 $C$ 的 $x$ 坐標為 __________ 時,內積 $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ 有最小值__________。

[選填]

答案

\[
\boxed{\text{設點法}}
\]
\[
\begin{aligned}
&\text{設 } C\left(t,\ \frac{1}{2}t^2\right) \\
&\overrightarrow{AB} = (4-(-2),\ 8-2) = (6,\ 6) \\
&\overrightarrow{AC} = \left(t-(-2),\ \frac{1}{2}t^2-2\right) = \left(t+2,\ \frac{1}{2}t^2-2\right)
\end{aligned}
\]

\[
\boxed{\text{內積計算}}
\]
\[
\begin{aligned}
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}
&= (6,\ 6) \cdot \left(t+2,\ \frac{1}{2}t^2-2\right) \\
&= 6(t+2) + 6\left(\frac{1}{2}t^2-2\right) \\
&= 6t + 12 + 3t^2 - 12 \\
&= 3t^2 + 6t
\end{aligned}
\]

\[
\boxed{\text{配方法求極值}}
\]
\[
\begin{aligned}
3t^2 + 6t &= 3(t^2 + 2t) \\
&= 3\left[(t+1)^2 - 1\right] \\
&= 3(t+1)^2 - 3 \\
&\geq -3 \quad (\text{當 } t+1=0 \text{ 時取等號})
\end{aligned}
\]

\[
\boxed{\text{結論}}
\]
\[
\begin{aligned}
&\text{當 } t = -1 \text{ 時，} \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \text{ 有最小值 } -3 \\
&C \text{ 點座標為 } (-1,\ \frac{1}{2})
\end{aligned}\]

加最愛

103學測數學考科-10

設 $f(x)$ 為實係數二次多項式,且已知 $f(1) > 0$、$f(2) < 0$、$f(3) > 0$。令 $g(x) = f(x) + (x – 2)(x – 3)$,請選出正確的選項。
(1) $y = f(x)$ 的圖形是開口向下的拋物線
(2) $y = g(x)$ 的圖形是開口向下的拋物線
(3) $g(1) > f(1)$
(4) $g(x) = 0$ 在 1 與 2 之間恰有一個實根
(5) 若 $\alpha$ 為 $f(x) = 0$ 的最大實根,則 $g(\alpha) > 0$

[多選]

答案

根據題意,$f(x)$ 的圖形開口向上,因此 (1) 錯誤。
$g(x) = f(x) + (x - 2)(x - 3)$ 的圖形也是開口向上,(2) 錯誤。
$g(1) = f(1) + (1 - 2)(1 - 3) = f(1) + 2 > f(1)$,(3) 正確。
$g(x) = 0$ 在 1 與 2 之間恰有一個實根,(4) 正確。
若 $\alpha$ 為 $f(x) = 0$ 的最大實根,則$2\lt\alpha\lt3$, $g(\alpha) = (\alpha - 2)(\alpha - 3) < 0$,(5) 錯誤。因此,正確答案是 (3)(4)。

加最愛

103學測數學考科-14

坐標平面上,若直線 $y = ax + b$（其中 $a, b$ 為實數）與二次函數 $y = x^2$ 的圖形恰交於一點,亦與二次函數 $y = (x – 2)^2 + 12$ 的圖形恰交於一點,則 $a = \boxed{~~~~~~~~~~}$,$b = \boxed{~~~~~~~~~~}$。

[選填]

答案

已知直線 $y = ax + b$ 與拋物線 $y = x^2$ 恰交於一點，聯立得：
\[
x^2 = ax + b \quad \Rightarrow \quad x^2 - ax - b = 0
\]
判別式為 0：
\[
\Delta_1 = (-a)^2 - 4(1)(-b) = a^2 + 4b = 0 \tag{1}
\]

又該直線與拋物線 $y = (x-2)^2 + 12$ 恰交於一點，聯立：
\[
(x-2)^2 + 12 = ax + b
\]
\[
x^2 - 4x + 4 + 12 - ax - b = 0
\]
\[
x^2 - (a+4)x + (16 - b) = 0
\]
判別式為 0：
\[
\Delta_2 = [-(a+4)]^2 - 4(1)(16-b) = a^2 + 8a + 16 - 64 + 4b = 0
\]
\[
a^2 + 8a + 4b - 48 = 0 \tag{2}
\]

解 (1)、(2)：
(2) − (1) 得：
\[
(a^2 + 8a + 4b - 48) - (a^2 + 4b) = 0
\]
\[
8a - 48 = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 6
\]
代入 (1)：
\[
6^2 + 4b = 0 \quad \Rightarrow \quad 4b = -36 \quad \Rightarrow \quad b = -9
\]

故所求：
\[
a = 6,\quad b = -9
\]

加最愛

105學測數學考科–01

設 $ f(x) $ 為二次實係數多項式，已知 $ f(x) $ 在 $ x=2 $ 時有最小值1且 $ f(3)=3 $。請問 $ f(1) $ 之值為下列哪一選項？
(1) 5
(2) 2
(3) 3
(4) 4
(5)條件不足，無法確定。

[單選題]

答案

答案：(3)

加最愛

107學測數學考科-E

坐標平面上，若拋物線 $y=x^2+2x-3$ 的頂點為C，與x軸的交點為A、B，則 $\cos \angle ACB = $ __________。（化成最簡分數）

[選填題]

答案

頂點 $ C(-1,-4) $，與 x 軸交點 $ A(-3,0) $、$ B(1,0) $。向量 $ \overset{\rightharpoonup}{CA}=(-2,4) $，$ \overset{\rightharpoonup}{CB}=(2,4) $。內積 $ (-2)(2)+4\cdot4=12 $，長度均 $ \sqrt{20} $，故 $ \cos \angle ACB = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} $。答案：$ \frac{3}{5} $

加最愛

114學測數學A考科_09

設 $b$、$c$ 為實數。已知二次方程式 $x^2+bx+c=0$ 有實根，但二次方程式 $x^2+(b+2)x+c=0$ 沒有實根。試選出正確的選項。
(1) $c \lt 0$
(2) $b \lt 0$
(3) $x^2+(b+1)x+c=0$ 有實根
(4) $x^2+(b+2)x-c=0$ 有實根
(5) $x^2+(b-2)x+c=0$ 有實根

[多選題]

答案

由條件得 $(b+2)^2 \lt 4c \leq b^2$，故 $c \gt 0$，$b \lt -1$。
(1) ✗；(2) ✓；(3) ✗：不一定；(4) ✓：判別式恆正；(5) ✓：判別式恆正。
故選(2)(4)(5)。

加最愛

107指考數學乙試題-非選擇一(1)

已知實係數二次多項式函數 $ y = f(x) $ 滿足 $ f(3) = f(-7) $。試回答下列問題。
(1) 寫出 $ y = f(x) $ 圖形的對稱軸方程式。

[非選擇題]

答案

對稱軸通過 (3, f(3)) 與 (-7, f(-7)) 的中點橫坐標：$\frac{3 + (-7)}{2} = -2$。
對稱軸為 $ x = -2 $。
答案為 $ x = -2 $。

加最愛

107指考數學乙試題-非選擇一(2)

(2) 若 $ f(x) = a(x – k)^2 + b $，且 $ y = f(x) $ 的圖形與 x 軸交於相異兩點，試判斷 ab 乘積的值為正或負，並請說明理由。

[非選擇題]

答案

由 (1) 知 $ k = -2 $，所以 $ f(x) = a(x+2)^2 + b $。
與 x 軸交於相異兩點 ⇒ 判別式 \gt 0。
令 $ f(x) = 0 \Rightarrow a(x+2)^2 + b = 0 \Rightarrow (x+2)^2 = -\frac{b}{a} $。
有兩相異實根 ⇒ $ -\frac{b}{a} \gt 0 \Rightarrow \frac{b}{a} \lt 0 \Rightarrow ab \lt 0 $。
答案為負。

加最愛

107指考數學乙試題-非選擇一(3)

(3) 若方程式 $ f(x) = 0 $ 有相異實根，試證兩根之積小於 4。

[非選擇題]

答案

設 $ f(x) = a(x+2)^2 + b $，且 $ f(x) = 0 $ 有兩相異實根 $ \alpha, \beta $。
由 $ a(x+2)^2 + b = 0 \Rightarrow a(x^2 + 4x + 4) + b = 0 \Rightarrow ax^2 + 4a x + (4a+b) = 0 $。
根與係數：$ \alpha\beta = \frac{4a+b}{a} = 4 + \frac{b}{a} $。
由 (2) 知 $ \frac{b}{a} \lt 0 $，所以 $ \alpha\beta \lt 4 $。
得證。

加最愛

Saved articles