二次函數

(1) 若 \( a \gt 0 \)，當 \( x \to \infty \)，\( y \to \infty \)，所以會通過第一象限，正確。
(2) 若 \( a \lt 0 \)，當 \( x \to \infty \)，\( y \to -\infty \)，但當 \( x \to -\infty \)，\( y \to -\infty \)，頂點可能在第一象限？例如 \( y = -(x-1)^2 \) 頂點 (1,0) 不在第一象限（y=0）。但若頂點在第一象限且開口向下，則會通過第一象限，例如 \( y = -(x-1)^2+1 \) 頂點 (1,1)，會通過第一象限，所以可能通過，正確。
(3) \( b^2-4ac \gt 0 \) 表示與 x 軸有兩交點，但不保證通過第一象限，例如 \( y = -x^2-1 \) 無實根但判別式? 其實 \( b^2-4ac \gt 0 \) 時，若 a>0 則右端向上，會通過第一象限；若 a<0 則可能不通過，例如頂點在第二象限且開口向下，錯誤。
(4) \( c \gt 0 \) 表示 x=0 時 y>0，所以 (0,c) 在第一象限，正確。
(5) \( c \lt 0 \) 時，x=0 時 y<0，不在第一象限，但圖形可能通過第一象限，例如 \( y = x^2-1 \) 當 x>1 時 y>0，正確。
答案為 (1)(2)(4)(5)。 報錯
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設 \( f(x)=px^2+qx+r \)，代入三點得聯立方程。由 \( f(-1)=p-q+r=k \)，\( f(1)=p+q+r=9k \)，\( f(3)=9p+3q+r=-15k \)。解得 \( p=-4k \)，\( q=4k \)，\( r=9k \)。頂點x坐標 \( a=-\frac{q}{2p}=-\frac{4k}{2(-4k)}=\frac{1}{2} \)。故 \( -1 報錯
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\( f(x) \) 為二次函數且無實根，故開口方向固定且恆正或恆負
(1) 錯誤，可能恆負
(2) 正確，同號
(3) 錯誤，向下平移可能使判別式由正變負
(4) 正確，重根在頂點，半單位平移後仍在同側
(5) 正確，兩相異實根表示頂點值<1，半單位平移後仍有實根
答案：(2)(4)(5) 報錯
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1. 鉛直線為 \(x=a\)（\(a\) 為任意實數），代入曲線方程看是否有解；
2. (1)橢圓：\(x=a\) 代入得 \(y^2=4(1-\frac{a^2}{9})\)，\(|a|>3\) 時無解，不選；
3. (2)雙曲線：\(x=a\) 代入得 \(y^2=4(\frac{a^2}{9}-1)\)，\(|a|<3\) 時無解，不選；
4. (3)雙曲線：\(x=a\) 代入得 \(y^2=4(\frac{a^2}{9}+1)\)，恆有解，選；
5. (4)拋物線：\(x=a\) 代入得 \(y=\frac{4}{9}a^2\)，恆有解，選；
6. (5)拋物線：\(x=a\) 代入得 \(y^=\frac{9a}{4}\)，\(a<0\) 時無解，不選。答案：(3)(4) 報錯
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非選擇題評分原則

1. 當 \(a=0\) 時，\(f(x)=1\geq0\)；
2. 當 \(a>0\) 時，\(f(x)\) 開口向上，最小值在 \(x=0\)，\(f(0)=1-a\)，由 \(a\leq1\) 得 \(1-a\geq0\)；
3. 當 \(a<0\) 時，\(f(x)\) 開口向下，最大值在端點，\(f(\pm1)=3a+1-a=2a+1\)，由 \(a\geq-\frac{1}{2}\) 得 \(2a+1\geq0\)，故 \(f(x)\geq0\)。答案：證明如上，\(f(x)\geq0\) 在 \(-1\leq x\leq1\) 成立 報錯
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非選擇題評分原則

由\(ax^{2}+bx = ax + b\)，移項得\(ax^{2}+(b - a)x - b = 0\)。
因為兩函數圖形相切，所以判別式\(\Delta=(b - a)^{2}+4ab = 0\)，即\((a + b)^{2}=0\)，\(a=-b\)。
將\(a=-b\)代入一次函數\(y = ax + b\)得\(y = ax - a=a(x - 1)\)，代入二次函數得\(y = ax^{2}-ax\)。
聯立方程求解切點，令\(ax - a = ax^{2}-ax\)，即\(ax^{2}-2ax + a = 0\)，\(x^{2}-2x + 1 = 0\)，解得\(x = 1\)，\(y = 0\)，切點為\((1,0)\)，在\(x\)軸上。
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已知\(\overrightarrow{OP}=a\overrightarrow{OA}+b\overrightarrow{OB}\)，\(\overrightarrow{OA}=(2,3)\)，\(\overrightarrow{OB}=(-1,3)\)，則\(\overrightarrow{OP}=(2a - b,3a + 3b)\)，所以\(x = 2a - b\)。
由\(-1\leq a\leq1\)，\(0\leq b\leq4\)，將\(x = 2a - b\)變形為\(b = 2a - x\)。
代入\(0\leq b\leq4\)，得到\(0\leq 2a - x\leq4\)。
當\(a = -1\)時，\(0\leq -2 - x\leq4\)，解得\(-6\leq x\leq -2\)；
當\(a = 1\)時，\(0\leq 2 - x\leq4\)，解得\(-2\leq x\leq2\) 。
所以\(x\)的取值範圍是\(-6\leq x\leq6\)。
對於二次函數\(f(x)=x^{2}+5\)，其二次項係數大於\(0\)，開口向上，在\(x\)的取值範圍\([-6,6]\)内，當\(x = 6\)或\(x = -6\)時，\(f(x)\)取得最大值，\(f(6)=6^{2}+5 = 41\)，\(f(-6)=(-6)^{2}+5 = 41\)。
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