交點問題

球面與平面 \(3x + 4y = 0\) 相切於原點,表示球心在平面的法線上。由正Z位置往下俯視，可知交原點、正X、正Y各一點。因此,球面與三個坐標軸共有 3 個交點。正確答案是 (3) 3。

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\[
\boxed{\text{已知：} F_1F_2 = 4,\quad \Gamma = \{P \mid |PF_1 - PF_2| = d\}}
\]

\[
\begin{array}{c|c|c}
d \text{ 值} & |PF_1 - PF_2| \text{ 與 } 4 \text{ 比較} & \Gamma \text{ 的圖形與交點數} \\ \hline
d = 0 & 0 < 4 & F_1F_2 \text{ 的中垂線} \quad (\bigcirc) \\ d = 1 & 1 < 4 & \text{以 } F_1, F_2 \text{ 為焦點的雙曲線} \quad (\bigcirc) \\ d = 2 & 2 < 4 & \text{雙曲線，與圓 C 交於 4 點} \quad (\times) \\ d = 4 & = 4 & \text{從 } F_1, F_2 \text{ 出發的兩條射線，交圓 C 於 2 點} \quad (\times) \\ d = 8 & 8 > 4 & \text{軌跡不存在} \quad (\bigcirc) \\
\end{array}
\]

\[
\boxed{\text{幾何原理說明}}
\]

\[
\begin{aligned}
\text{雙曲線定義：} & |PF_1 - PF_2| = 2a \ (< F_1F_2 = 2c) \\ \text{特殊情況：} & \\ & d = 0 \Rightarrow \text{中垂線} \\ & d = F_1F_2 = 4 \Rightarrow \text{兩條射線} \\ & d > F_1F_2 = 4 \Rightarrow \text{無軌跡}
\end{aligned}
\]
$\boxed{\text{答案：} (1)\ (2)\ (5)}$

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將圓的方程化簡為 \((x+1)^2 + (y+1)^2 = 1\),圓心為 \((-1,-1)\),半徑為 1。正方形與圓的交點數為 2 個。因此,正確答案是 (2) 2 個。

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已知直線 \(y = ax + b\) 與拋物線 \(y = x^2\) 恰交於一點，聯立得：
\[
x^2 = ax + b \quad \Rightarrow \quad x^2 - ax - b = 0
\]
判別式為 0：
\[
\Delta_1 = (-a)^2 - 4(1)(-b) = a^2 + 4b = 0 \tag{1}
\]

又該直線與拋物線 \(y = (x-2)^2 + 12\) 恰交於一點，聯立：
\[
(x-2)^2 + 12 = ax + b
\]
\[
x^2 - 4x + 4 + 12 - ax - b = 0
\]
\[
x^2 - (a+4)x + (16 - b) = 0
\]
判別式為 0：
\[
\Delta_2 = [-(a+4)]^2 - 4(1)(16-b) = a^2 + 8a + 16 - 64 + 4b = 0
\]
\[
a^2 + 8a + 4b - 48 = 0 \tag{2}
\]

解 (1)、(2)：
(2) − (1) 得：
\[
(a^2 + 8a + 4b - 48) - (a^2 + 4b) = 0
\]
\[
8a - 48 = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 6
\]
代入 (1)：
\[
6^2 + 4b = 0 \quad \Rightarrow \quad 4b = -36 \quad \Rightarrow \quad b = -9
\]

故所求：
\[
a = 6,\quad b = -9
\]

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#### 步驟1：求三條交線的方程
- **平面 \( x - y + z = 0 \) 與 \( x = 2 \) 的交線**：
將 \( x = 2 \) 代入 \( x - y + z = 0 \)，得 \( 2 - y + z = 0 \implies z = y - 2 \)。
交線方程為 \( \begin{cases} x = 2 \\ z = y - 2 \end{cases} \)（參數化：\( x = 2, y = t, z = t - 2 \)，\( t \) 為參數）。
- **平面 \( x - y + z = 0 \) 與 \( x - y = -2 \) 的交線**：
由 \( x - y = -2 \implies y = x + 2 \)，代入 \( x - y + z = 0 \)，得 \( x - (x + 2) + z = 0 \implies z = 2 \)。
交線方程為 \( \begin{cases} y = x + 2 \\ z = 2 \end{cases} \)（參數化：\( x = t, y = t + 2, z = 2 \)，\( t \) 為參數）。
- **平面 \( x - y + z = 0 \) 與 \( x + y = 2 \) 的交線**：
由 \( x + y = 2 \implies y = 2 - x \)，代入 \( x - y + z = 0 \)，得 \( x - (2 - x) + z = 0 \implies z = 2 - 2x \)。
交線方程為 \( \begin{cases} y = 2 - x \\ z = 2 - 2x \end{cases} \)（參數化：\( x = t, y = 2 - t, z = 2 - 2t \)，\( t \) 為參數）。
#### 步驟2：求三角形的三個頂點
- **頂點 \( A \)**：交線 \( x = 2 \) 與 \( y = x + 2 \) 的交點。
代入 \( x = 2 \) 到 \( y = x + 2 \)，得 \( y = 4 \)，再代入 \( z = 2 \)，故 \( A(2, 4, 2) \)。
- **頂點 \( B \)**：交線 \( y = x + 2 \) 與 \( y = 2 - x \) 的交點。
聯立 \( y = x + 2 \) 和 \( y = 2 - x \)，得 \( x + 2 = 2 - x \implies x = 0 \)，則 \( y = 2 \)，\( z = 2 \)，故 \( B(0, 2, 2) \)。
- **頂點 \( C \)**：交線 \( y = 2 - x \) 與 \( x = 2 \) 的交點。
代入 \( x = 2 \) 到 \( y = 2 - x \)，得 \( y = 0 \)，再代入 \( z = y - 2 \)，得 \( z = -2 \)，故 \( C(2, 0, -2) \)。
#### 步驟3：計算各邊的長度
- **邊長 \( AB \)**：
由距離公式 \( \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \)，得
\[
AB = \sqrt{(2 - 0)^2 + (4 - 2)^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{4 + 4 + 0} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
\]
- **邊長 \( BC \)**：
\[
BC = \sqrt{(0 - 2)^2 + (2 - 0)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}
\]
- **邊長 \( CA \)**：
\[
CA = \sqrt{(2 - 2)^2 + (0 - 4)^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{0 + 16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}
\]
#### 步驟4：計算周長
周長 \( = AB + BC + CA = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{6} + 4\sqrt{2} = 6\sqrt{2} + 2\sqrt{6} \)。

對比形式 \( a\sqrt{b} + c\sqrt{d} \)（其中 \( b < d \)），可得 \( a = 6 \)，\( b = 2 \)，\( c = 2 \)，\( d = 6 \)。 综上，\( a = \boxed{6} \)，\( b = \boxed{2} \)，\( c = \boxed{2} \)，\( d = \boxed{6} \)。

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