函數的導數

1. (1) 極小值與極大值無必然大小關係，錯；
2. (2) \(x=1、2\) 是極小值，故 \(f'(x)\) 在 \(1\) 右側正、\(2\) 左側負，存在 \(a,b\) 使 \(f'(a)>0\) 且 \(f'(b)<0\)，對；
3. (3) \(x=3\) 是極大值，故 \(f''(3)<0\)，錯；
4. (4) 最高次項係數正，次數大於5（奇數），\(x\to+\infty\) 時 \(f'(x)\to+\infty\)，故存在 \(c>5\) 使 \(f'(c)>0\)，對；
5. (5) ✓：\( f'(x)=0 \) 至少有 7 個實根 ⇒ \( \deg f(x) \geq 8 \)：(2)(4)(5)

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由\(ax^{2}+bx = ax + b\)，移項得\(ax^{2}+(b - a)x - b = 0\)。
因為兩函數圖形相切，所以判別式\(\Delta=(b - a)^{2}+4ab = 0\)，即\((a + b)^{2}=0\)，\(a=-b\)。
將\(a=-b\)代入一次函數\(y = ax + b\)得\(y = ax - a=a(x - 1)\)，代入二次函數得\(y = ax^{2}-ax\)。
聯立方程求解切點，令\(ax - a = ax^{2}-ax\)，即\(ax^{2}-2ax + a = 0\)，\(x^{2}-2x + 1 = 0\)，解得\(x = 1\)，\(y = 0\)，切點為\((1,0)\)，在\(x\)軸上。
答案為(1)。

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因為\(f(x)\)是三次實系數多項式，且在\(0\leq x\leq3\)上，\(f(0)=f(2)=12\)為最大值。
三次函數的圖像是一條曲線，若\(a\gt0\)，函數圖像大致是先增後減再增；若\(a\lt0\)，函數圖像大致是先減後增再減。
由於\(f(x)\)在\([0, 3]\)上\(x = 0\)和\(x = 2\)處取得最大值，所以函數圖像在\([0, 2]\)上不是單調遞增的，在\([0, 3]\)上也不是單調遞減的，所以\(a\lt0\)。
圖像大致為：在\([0, 2]\)上先上升後下降（形成一個局部極大值點在\(x = 0\)和\(x = 2\)處），在\([2, 3]\)上繼續下降 。在圖像上標注出\((0, 12)\)和\((2, 12)\)兩個點 。

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因為\(f(x)\)在\(0\leq x\leq3\)上最大值\(12\)在\(x = 0\)和\(x = 2\)處取得，所以\(f(x)-12 = 0\)的實數解為\(x = 0\)（重根）和\(x = 2\)（重根），即\(f(x)-12=a(x - 0)^2(x - 2)^2=ax^2(x - 2)^2\)。
因為\(G(x)\)滿足\(\int_{s}^{r}f(t)dt=G(r)-G(s)\)，所以\(G^\prime(x)=f(x)\)。
又因為\(y = G(x)\)在\(x = 1\)處有極值，所以\(G^\prime(1)=f(1)=0\)。
將\(x = 1\)代入\(f(x)=ax^2(x - 2)^2\)，得\(a\times1^2\times(1 - 2)^2=0\)，即\(a = - 12\)。

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承前，由 \( G(0)=0 \) 得 \( c=0 \)，故 \( G(x) = -3x^4 + 16x^3 - 24x^2 + 12x \)（\( 0 \leq x \leq 2 \)）。

求導：
\[
G'(x) = -12x^3 + 48x^2 - 48x + 12 = -12(x^3 - 4x^2 + 4x - 1)
\]
令 \( G'(x)=0 \)，因式分解得 \( (x-1)(x^2-3x+1)=0 \)，解得 \( x=1 \) 或 \( x=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2} \)（後兩者不在區間 \( [0,2] \) 內，舍去）。

分析單調性：
- \( x \in [0,1) \) 時，\( G'(x) > 0 \)，\( G(x) \) 遞增；
- \( x \in (1,2] \) 時，\( G'(x) > 0 \)，\( G(x) \) 遞增。

計算端點與臨界點值：
\[
G(0)=0,\ G(1)=1
\]

故 \( G(x) \) 的最小值為 \( \boxed{0} \)。

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根據定積分基本定理\(\int_{a}^{b}f^{\prime\prime}(x)dx=f^{\prime}(b)-f^{\prime}(a)\)。
已知\(f(x)\)在\(x = 1\)有極大值，則\(f^{\prime}(1)=0\)。
又因為圖形\(y = f(x)\)在\((4,f(4))\)之切線方程式為\(y - f(4)+5(x - 4)=0\)，其斜率為\(-5\)，所以\(f^{\prime}(4)= - 5\)。
則\(\int_{1}^{4}f^{\prime\prime}(x)dx=f^{\prime}(4)-f^{\prime}(1)= - 5 - 0=-5\)。
答案為(1)。

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(1) ○：因 \( y=f(x) \) 與 \( y=g(x) \) 在 \( x=1 \) 處相切，故切點坐標相等，即 \( f(1)=g(1) \)。

(2) ○：承(1)，相切意味切線斜率相等，故 \( f'(1)=g'(1) \)。

(3) ○：因 \( (1, f(1)) \) 是 \( y=f(x) \) 的反曲點，反曲點處二階導數為0，故 \( f''(1)=0 \)。

(4) ×：兩圖形僅在 \( x=1 \) 處有交點（切點），故錯誤。

(5) ×：

故選 \( \boxed{(1)(2)(3)} \)。

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已知條件：
1. \( \sqrt{1-h^2} \geq 0 \implies 0 \leq h \leq 1 \)；
2. \( \overrightarrow{OP_1} \cdot \overrightarrow{OP_2} = 2h^2 - 1 \geq 0 \)（夾角不超過 \( 90^\circ \)），故 \( h \geq \frac{1}{\sqrt{2}} \)。

由①②得 \( \boxed{\frac{1}{\sqrt{2}} \leq h \leq 1} \)。

設體積函數 \( V(h) \)，其導數為 \( V'(h) = \frac{2\sqrt{2}}{3}(1 - 3h^2) \)，令 \( V'(h)=0 \)，得 \( h = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \)（均不在區間 \( \left[\frac{1}{\sqrt{2}}, 1\right] \) 內，故無臨界點）。

因此體積最大值出現在區間端點 \( h = \frac{1}{\sqrt{2}} \) 處：
\[
V\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{2\sqrt{2}}{3} \times \left( \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4} \right) = \frac{2\sqrt{2}}{3} \times \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{1}{3}
\]

故最大體積為 \( \boxed{\frac{1}{3}} \)。

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由(3)知\(f(x)=4x^{3}-3x^{2}+2x - 1\)，則\(\int_{0}^{a}f(x)dx=\int_{0}^{a}(4x^{3}-3x^{2}+2x - 1)dx\)。
\(\int_{0}^{a}(4x^{3}-3x^{2}+2x - 1)dx=(x^{4}-x^{3}+x^{2}-x)\big|_{0}^{a}=a^{4}-a^{3}+a^{2}-a\)。
令\(g(a)=a^{4}-a^{3}+a^{2}-a - 1\)（\(a>1\)）。
對\(g(a)\)求導得\(g'(a)=4a^{3}-3a^{2}+2a - 1\)。
當\(a>1\)時，\(4a^{3}-3a^{2}+2a - 1=a^{2}(4a - 3)+2a - 1>0\)，所以\(g(a)\)在\((1,+\infty)\)上單調遞增。
又\(g(1)=1^{4}-1^{3}+1^{2}-1 - 1=-1<0\) ，\(\lim_{a\rightarrow+\infty}g(a)=+\infty\)。 根據零點存在定理，在單調遞增函數中，當函數在某區間兩端點函數值異號時，函數在該區間內有且只有一個零點。 所以恰有一個大於1的正實數\(a\)，使得\(g(a)=0\)，即恰有一個大於1的正實數\(a\)滿足\(\int_{0}^{a}f(x)dx = 1\)。

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