向量與其運算

\[
\boxed{\text{設點法}}
\]
\[
\begin{aligned}
&\text{設 } C\left(t,\ \frac{1}{2}t^2\right) \\
&\overrightarrow{AB} = (4-(-2),\ 8-2) = (6,\ 6) \\
&\overrightarrow{AC} = \left(t-(-2),\ \frac{1}{2}t^2-2\right) = \left(t+2,\ \frac{1}{2}t^2-2\right)
\end{aligned}
\]

\[
\boxed{\text{內積計算}}
\]
\[
\begin{aligned}
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}
&= (6,\ 6) \cdot \left(t+2,\ \frac{1}{2}t^2-2\right) \\
&= 6(t+2) + 6\left(\frac{1}{2}t^2-2\right) \\
&= 6t + 12 + 3t^2 - 12 \\
&= 3t^2 + 6t
\end{aligned}
\]

\[
\boxed{\text{配方法求極值}}
\]
\[
\begin{aligned}
3t^2 + 6t &= 3(t^2 + 2t) \\
&= 3\left[(t+1)^2 - 1\right] \\
&= 3(t+1)^2 - 3 \\
&\geq -3 \quad (\text{當 } t+1=0 \text{ 時取等號})
\end{aligned}
\]

\[
\boxed{\text{結論}}
\]
\[
\begin{aligned}
&\text{當 } t = -1 \text{ 時，} \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} \text{ 有最小值 } -3 \\
&C \text{ 點座標為 } (-1,\ \frac{1}{2})
\end{aligned}\]

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計算內積 \(\overrightarrow{PQ_1} \cdot \overrightarrow{PQ_2} = (x - 1)(x + 1) + y^2 = x^2 + y^2 - 1\)。要求 \(x^2 + y^2 - 1 < 0\),即 \(x^2 + y^2 < 1\)。因此,圖形上至少有一點在單位圓內。正確答案是 (1)(3)(4)。

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解：
\[
\vec{u} \cdot \vec{v} = (\vec{A} + \vec{B}) \cdot (x\vec{A} + y\vec{B}) = x|\vec{A}|^2 + (x+y)\vec{A}\cdot\vec{B} + y|\vec{B}|^2
\]
由題設 \( |\vec{A}| = 1 \)，\( |\vec{B}| = 2 \)，\( \angle(\vec{A},\vec{B}) = 60^\circ \)，得：
\[
= x + (x+y) \cdot 1 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ + y \cdot 4 = x + (x+y) + 4y = 2x + 5y
\]

利用線型規劃概念，作圖求可行解點：
\[
\begin{array}{c|cccc}
(x, y) & (3,3) & (4,4) & (2,4) & (3,5) \\
\hline
2x+5y & 21 & 28 & 24 & 31 \\
\end{array}
\]

∴ 最大值為 \( 31 \)。

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檢查各向量是否能使物體進入第一象限：
(1) \(\overrightarrow{v} = (1,-2)\) 會使物體向下移動,無法進入第一象限。
(2) \(\overrightarrow{v} = (1,-1)\) 會使物體向右下移動,可以進入第一象限。
(3) \(\overrightarrow{v} = (0.001,0)\) 會使物體向右移動,可以進入第一象限。
(4) \(\overrightarrow{v} = (0.001,1)\) 會使物體向右上方移動,可以進入第一象限。
(5) \(\overrightarrow{v} = (-0.001,1)\) 會使物體向左上方移動,無法進入第一象限。
因此,正確答案是 (2)(3)(4)。

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設直線 \( CD \) 的參數式為：
\[
\begin{cases}
x = -2 + t \\
y = 4 - t, \quad t \in \mathbb{R} \\
z = t
\end{cases}
\]
點 \( P \) 在 \( CD \) 上，可設 \( P(-2 + t,\; 4 - t,\; t) \)。

已知 \( A(2, 0, 0) \)、\( B(3, 4, 2) \)，則
\[
\overrightarrow{PA} = A - P = \big( 2 - (-2 + t),\; 0 - (4 - t),\; 0 - t \big) = (4 - t,\; -4 + t,\; -t),
\]
\[
\overrightarrow{PB} = B - P = \big( 3 - (-2 + t),\; 4 - (4 - t),\; 2 - t \big) = (5 - t,\; t,\; 2 - t).
\]

計算內積：
\[
\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB}
= (4 - t)(5 - t) + (-4 + t)t + (-t)(2 - t).
\]

逐項展開：
\[
(4 - t)(5 - t) = 20 - 9t + t^2,
\]
\[
(-4 + t)t = -4t + t^2,
\]
\[
(-t)(2 - t) = -2t + t^2.
\]

相加得：
\[
\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB}
= (20 - 9t + t^2) + (-4t + t^2) + (-2t + t^2)
= 20 - 15t + 3t^2.
\]

配方：
\[
3t^2 - 15t + 20 = 3\left( t^2 - 5t \right) + 20
= 3\left[ t^2 - 5t + \left( \frac{5}{2} \right)^2 - \frac{25}{4} \right] + 20
\]
\[
= 3\left[ \left( t - \frac{5}{2} \right)^2 - \frac{25}{4} \right] + 20
= 3\left( t - \frac{5}{2} \right)^2 - \frac{75}{4} + 20
\]
\[
= 3\left( t - \frac{5}{2} \right)^2 + \frac{5}{4}.
\]

當 \( t = \dfrac{5}{2} \) 時，\( \overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} \) 有最小值 \( \dfrac{5}{4} \)。

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已知 \(| \mathbf{u} | = | \mathbf{v} | = 1\)，且 \(\mathbf{u}\) 與 \(\mathbf{v}\) 的夾角為 \(150^\circ\)，則

\[
\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = |\mathbf{u}| \, |\mathbf{v}| \cos 150^\circ
\]

\[
= 1 \times 1 \times \cos 150^\circ
\]

\[
= \cos 150^\circ = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ
\]

\[
= -\frac{\sqrt{3}}{2}.
\]

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1. **設點座標**
設 \( P(x, y) \)，\( Q_1(a, b) \)（在 \( L_1 \) 上），\( Q_2(c, d) \)（在 \( L_2 \) 上）。
- 因 \( Q_1 \) 在 \( L_1: x + 2y = 0 \) 上，故 \( a + 2b = 0 \)；
- 因 \( Q_2 \) 在 \( L_2: 3x - 5y = 0 \) 上，故 \( 3c - 5d = 0 \)。

2. **由向量關係列方程**
- 由 \( \overrightarrow{Q_1P} = (-7, 9) \)，得 \( \begin{cases} x - a = -7 \\ y - b = 9 \end{cases} \implies \begin{cases} a = x + 7 \\ b = y - 9 \end{cases} \)；
- 由 \( \overrightarrow{Q_2P} = (-6, -8) \)，得 \( \begin{cases} x - c = -6 \\ y - d = -8 \end{cases} \implies \begin{cases} c = x + 6 \\ d = y + 8 \end{cases} \)。

3. **代入直線方程解聯立**
- 將 \( a = x + 7 \)、\( b = y - 9 \) 代入 \( a + 2b = 0 \)，得：
\[
(x + 7) + 2(y - 9) = 0 \implies x + 2y = 11 \tag{1}
\]
- 將 \( c = x + 6 \)、\( d = y + 8 \) 代入 \( 3c - 5d = 0 \)，得：
\[
3(x + 6) - 5(y + 8) = 0 \implies 3x - 5y = 22 \tag{2}
\]
- 聯立 \( (1)(2) \)，由 \( (1) \) 得 \( x = 11 - 2y \)，代入 \( (2) \)：
\[
3(11 - 2y) - 5y = 22 \implies 33 - 6y - 5y = 22 \implies 11y = 11 \implies y = 1
\]
再代入 \( x = 11 - 2y \)，得 \( x = 11 - 2 \times 1 = 9 \)。

故 \( P \) 點的坐標為 \( \boxed{(9, 1)} \)。

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\(L_1\)方向向量\(\vec{v_1}=(2,2,1)\)，\(L_2\)方向向量\(\vec{v_2}=(2,2,1)\)（與\(L_1\)平行），\(L_3\)方向向量\(\vec{v_3}=(-1,-1,4)\)。
(1) \(\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 9 \neq 0\)，不垂直。
(2) \(\vec{v_1} \cdot \vec{v_3} = 0\)，垂直。
(3) \(L_1\)與\(L_2\)平行，可決定一平面。
(4) \(L_1\)與\(L_3\)交於一點，可決定一平面。
(5) \(L_2\)與\(L_3\)歪斜，無共同平面。
故選(2)(3)(4)。答案：(2)(3)(4)

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(1) \(\overrightarrow{DB} \cdot \overrightarrow{DC} = (\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}) \cdot (\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}) = |\overrightarrow{DA}|^2 + \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\)，錯誤。
(2) 若\(\angle BAC=90^\circ\)，則\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=0\)，但\(\angle BDC\)不一定為直角，錯誤。
(3) 若\(\angle BAC\)為銳角，則\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}>0\)，但\(\angle BDC\)與\(\angle BAC\)大小關係不直接，原解析認為(3)正確。
(4) 同理，不保證，錯誤。
(5) 利用極端情況分析，當A, B, C, D共面且AB, AC小於DA時，可推得\(\angle BDC\)為銳角，正確。
依原詳解，選(3)(5)。答案：(3)(5)

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