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111學測數學B試題-04

在坐標平面上，已知向量 \(\overrightarrow{PQ} = \left( \log \frac{1}{5} – 10^{-5} \right)\)，其中點 \(P\) 的坐標為 \(\left( \log \frac{1}{2}, 2^{-5} \right)\)。試選出正確的選項。
(1) 點 \(Q\) 在第一象限
(2) 點 \(Q\) 在第二象限
(3) 點 \(Q\) 在第三象限
(4) 點 \(Q\) 在第四象限
(5) 點 \(Q\) 位於坐標軸上

[單選]

答案

---

**略解：**

1. 先判斷 \(\overrightarrow{PQ}\) 的形式：題目只給一個數，合理推測是 \(\overrightarrow{PQ} = (k, k)\)，其中
\[
k = \log\frac{1}{5} - 10^{-5}
\]
因為 \(10^{-5}\) 很小，不影響符號。

2. 計算 \(k\) 的近似值：
\[
\log\frac{1}{5} = -\log 5 \approx -0.69897
\]
減去 \(10^{-5} = 0.00001\) 得
\[
k \approx -0.69898
\]
所以 \(k < 0\)。 3. 設 \(Q = (x_Q, y_Q)\)，則 \[ x_Q = x_P + k = \log\frac{1}{2} + k \] \[ y_Q = y_P + k = 2^{-5} + k \] 其中 \[ \log\frac{1}{2} = -\log 2 \approx -0.30103 \] \[ 2^{-5} = \frac{1}{32} = 0.03125 \] 4. 計算： \[ x_Q \approx -0.30103 - 0.69898 = -1.00001 < 0 \] \[ y_Q \approx 0.03125 - 0.69898 = -0.66773 < 0 \] 所以 \(Q\) 在第三象限。 **答案：** (3) 報錯
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111學測數學B試題-11

考慮坐標平面上的點\(O(0,0)\) 、\(A\)、 \(B\)、 \(C\)、 \(D\)、 \(E\)、 \(F\)、 \(G\),如下圖所示：

其中\(B\)點、\(C\)與\(D\)點、\(E\)與\(F\)點、\(G\)與\(A\)點依序在一、二、三、四象限內。若\(\vec{v}\)為坐標平面上的向量,且滿足\(\vec{v}\cdot\overrightarrow{OA} \gt 0\)及\(\vec{v}\cdot\overrightarrow{OB} \gt 0\),則\(\vec{v}\)與下列哪些向量的內積一定小於\(0\) ？(1) \(\overrightarrow{OC}\)；(2) \(\overrightarrow{OD}\)；(3) \(\overrightarrow{OE}\)；(4) \(\overrightarrow{OF}\)；(5) \(\overrightarrow{OG}\)

[多選]

答案

由\(\vec{v}\cdot\overrightarrow{OA} \gt 0\)及\(\vec{v}\cdot\overrightarrow{OB} \gt 0\)可知\(\vec{v}\)與\(\overrightarrow{OA}\)、\(\overrightarrow{OB}\)夾角為銳角,\(\vec{v}\)大致在第一象限。\(\overrightarrow{OC}\)在第二象限,\(\overrightarrow{OD}\)在第二象限,\(\overrightarrow{OE}\)在第三象限,\(\overrightarrow{OF}\)在第三象限,\(\overrightarrow{OG}\)在第四象限。\(\vec{v}\)與第二、三象限向量夾角大機率為鈍角,內積小於\(0\),所以\(\vec{v}\)與\(\overrightarrow{OC}\)、\(\overrightarrow{OD}\)、\(\overrightarrow{OE}\)、\(\overrightarrow{OF}\)內積一定小於\(0\)。答案：(1)(2)(3)(4) 報錯
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111學測數學B試題-14

坐標平面上有一個半徑為\(7\)的圓,其圓心為\(O\)點。已知圓上有\(A\), \(B\)兩點,且\(AB = 8\) ,則內積\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\underline{○14 – 1}\ \underline{○14 – 2}\) 。

[選填]

答案

在\(\triangle AOB\)中,\(\vert\overrightarrow{OA}\vert=\vert\overrightarrow{OB}\vert = 7\),\(\vert\overrightarrow{AB}\vert = 8\)。根據余弦定理\(\cos\angle AOB=\frac{\vert\overrightarrow{OA}\vert^{2}+\vert\overrightarrow{OB}\vert^{2}-\vert\overrightarrow{AB}\vert^{2}}{2\vert\overrightarrow{OA}\vert\vert\overrightarrow{OB}\vert}=\frac{7^{2}+7^{2}-8^{2}}{2\times7\times7}=\frac{49 + 49 - 64}{98}=\frac{34}{98}=\frac{17}{49}\)。則\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\vert\overrightarrow{OA}\vert\vert\overrightarrow{OB}\vert\cos\angle AOB = 7\times7\times\frac{17}{49}=17\)。即\(\underline{○14 - 1}=17\),\(\underline{○14 - 2}=0\)。報錯
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