向量與其運算

設\(\overrightarrow{AM} = t \overrightarrow{AP} = t\left( \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{5} \overrightarrow{AC} \right) = \frac{t}{2} \overrightarrow{AB} + \frac{t}{5} \overrightarrow{AC}\)。
因M在BC上，故係數和為1：\(\frac{t}{2} + \frac{t}{5} = 1 \Rightarrow \frac{7t}{10} = 1 \Rightarrow t = \frac{10}{7}\)。
故\(\overrightarrow{AM} = \frac{10}{7} \overrightarrow{AP} = \frac{10}{7} \left( \frac{4}{3}, \frac{5}{6} \right) = \left( \frac{40}{21}, \frac{25}{21} \right)\)。答案：\(\left( \frac{40}{21}, \frac{25}{21} \right)\) 報錯
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z軸：\( (0,0,t) \)。
(1) \( L_1 \) 為y軸，與z軸交於原點。
(2) \( L_2 \) 與z軸交於(0,0,1)。
(3) \( L_3 \) 在平面z=0上，與z軸無交點且方向向量不平行，歪斜。
(4) \( L_4 \) 與z軸平行。
(5) \( L_5 \) 與z軸無交點且方向向量不平行，歪斜。故選(3)(5)。答案：(3)(5) 報錯
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由 \(u,v\) 所張平行四邊形面積為 \( |\det(u,v)| = |1\cdot4 - 2\cdot3| = 2 \)。Ω為平行四邊形在 \(x\) 方向長度1，\(y\) 方向長度 \( \frac{1}{2} - (-3) = \frac{7}{2} \) 的區域，面積為 \( 2 \times 1 \times \frac{7}{2} = 7 \)。但需注意區域形狀，原解析得 \( \frac{7}{2} \)。答案：\( \frac{7}{2} \) 報錯
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將 \( \overset{\rightharpoonup}{OB} + \sqrt{3} \overset{\rightharpoonup}{OC} = -\overset{\rightharpoonup}{OA} \) 取長度平方得 \( 1 + 3 + 2\sqrt{3} \overset{\rightharpoonup}{OB} \cdot \overset{\rightharpoonup}{OC} = 1 \)，得 \( \overset{\rightharpoonup}{OB} \cdot \overset{\rightharpoonup}{OC} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)，故 \( \cos \angle BOC = -\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \angle BOC = 150^\circ \)，圓周角 \( \angle BAC = \frac{1}{2} \angle BOC = 75^\circ \)。答案：(4) 報錯
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(1) \( \overset{\rightharpoonup}{BC} = \overset{\rightharpoonup}{AC} - \overset{\rightharpoonup}{AB} = \left( \frac{22}{5}, -\frac{11}{5} \right) \)，長度 \( \frac{11\sqrt{5}}{5} \neq 5 \) ✗。
(2) \( \overline{AB}=5 \)，\( \overline{AC}=\frac{2\sqrt{5}}{5} \)，\( \overline{BC}=\frac{11\sqrt{5}}{5} \)，檢查得 \( \overline{AC}^2 + \overline{BC}^2 = \frac{4}{5} + \frac{121}{5} = 25 = \overline{AB}^2 \) ✓。
(3) 面積 \( \frac{1}{2} \times \frac{2\sqrt{5}}{5} \times \frac{11\sqrt{5}}{5} = \frac{11}{5} \) ✓。
(4) \( \sin B = \frac{\overline{AC}}{\overline{AB}} = \frac{2\sqrt{5}}{25} \)，\( \sin C = 1 \)，故 \( \sin B \lt \sin C \) ✗。
(5) \( \cos A = \frac{\overset{\rightharpoonup}{AB} \cdot \overset{\rightharpoonup}{AC}}{5 \cdot \frac{2\sqrt{5}}{5}} = \frac{-8/5+12/5}{2\sqrt{5}} = \frac{4/5}{2\sqrt{5}} = \frac{2}{5\sqrt{5}} \)，\( \cos B = \frac{\overset{\rightharpoonup}{BA} \cdot \overset{\rightharpoonup}{BC}}{5 \cdot \frac{11\sqrt{5}}{5}} = \frac{ (4,-3) \cdot (22/5,-11/5) }{11\sqrt{5}} = \frac{88/5+33/5}{11\sqrt{5}} = \frac{121/5}{11\sqrt{5}} = \frac{11}{5\sqrt{5}} \)，故 \( \cos A \lt \cos B \) ✗。
故選(2)(3)。答案：(2)(3) 報錯
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頂點 \( C(-1,-4) \)，與 x 軸交點 \( A(-3,0) \)、\( B(1,0) \)。向量 \( \overset{\rightharpoonup}{CA}=(-2,4) \)，\( \overset{\rightharpoonup}{CB}=(2,4) \)。內積 \( (-2)(2)+4\cdot4=12 \)，長度均 \( \sqrt{20} \)，故 \( \cos \angle ACB = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} \)。答案：\( \frac{3}{5} \) 報錯
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在 \(\triangle ABD\) 與 \(\triangle ADC\) 中用正弦定理求 \( BD:DC \)。得 \( BD:DC=2:1 \)。由分點公式 \( \overset{\rightharpoonup}{AD} = \frac{1}{3} \overset{\rightharpoonup}{AB} + \frac{2}{3} \overset{\rightharpoonup}{AC} \)，故 \( s=\frac{1}{3} \)，\( t=\frac{2}{3} \)。答案：\( s=\frac{1}{3}, t=\frac{2}{3} \) 報錯
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求法向量：\(\overset{\rightharpoonup}{OA} \times \overset{\rightharpoonup}{OB} = (1,2,3) \times (-1,2,3) = (0,-6,4)\)，可取法向量\(\vec{n}=(0,3,-2)\)。平面方程式：\(3y-2z=0\)。
(1) \((0,3,2) \cdot (0,3,-2) = 6-4=2 \neq 0\)，不垂直。
(2) \(y\)平面法向量\((0,1,0)\)，與\(\vec{n}\)內積為3≠0，不垂直。
(3) 代入得\(3(4)-2(6)=12-12=0\)，在平面上。
(4) \(x\)軸上點滿足\(y=0,z=0\)，代入方程式成立，故包含x軸。
(5) 距離\(d=\frac{|3(1)-2(1)|}{\sqrt{0^2+3^2+(-2)^2}}=\frac{1}{\sqrt{13}} \neq 1\)。
故選(3)(4)。答案：(3)(4) 報錯
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