向量與其運算

已知\(\overrightarrow{OP}=a\overrightarrow{OA}+b\overrightarrow{OB}\)，\(\overrightarrow{OA}=(2,3)\)，\(\overrightarrow{OB}=(-1,3)\)，則\(\overrightarrow{OP}=(2a - b,3a + 3b)\)，所以\(x = 2a - b\)。
由\(-1\leq a\leq1\)，\(0\leq b\leq4\)，將\(x = 2a - b\)變形為\(b = 2a - x\)。
代入\(0\leq b\leq4\)，得到\(0\leq 2a - x\leq4\)。
當\(a = -1\)時，\(0\leq -2 - x\leq4\)，解得\(-6\leq x\leq -2\)；
當\(a = 1\)時，\(0\leq 2 - x\leq4\)，解得\(-2\leq x\leq2\) 。
所以\(x\)的取值範圍是\(-6\leq x\leq6\)。
對於二次函數\(f(x)=x^{2}+5\)，其二次項係數大於\(0\)，開口向上，在\(x\)的取值範圍\([-6,6]\)内，當\(x = 6\)或\(x = -6\)時，\(f(x)\)取得最大值，\(f(6)=6^{2}+5 = 41\)，\(f(-6)=(-6)^{2}+5 = 41\)。
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(1) 根据向量外积公式\(\vert\overset{\rightharpoonup}{a}×\overset{\rightharpoonup}{b}\vert=\vert\overset{\rightharpoonup}{a}\vert\vert\overset{\rightharpoonup}{b}\vert\sin\theta\)，已知\(\vert\overset{\rightharpoonup}{a}\vert = \vert\overset{\rightharpoonup}{b}\vert = \vert\overset{\rightharpoonup}{c}\vert = 4\)，且\(\overset{\rightharpoonup}{a}×\overset{\rightharpoonup}{b}=\overset{\rightharpoonup}{c}\)，则\(\vert\overset{\rightharpoonup}{c}\vert=\vert\overset{\rightharpoonup}{a}\vert\vert\overset{\rightharpoonup}{b}\vert\sin\theta\)，即\(4 = 4×4×\sin\theta\)，可得\(\sin\theta=\frac{1}{4}\)。又因为\(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta = 1\)，\(0\leq\theta\leq\pi\)，所以\(\cos\theta=\pm\sqrt{1 - (\frac{1}{4})^{2}}=\pm\frac{\sqrt{15}}{4}\)，(1)错误。
(2) \(\overset{\rightharpoonup}{a}\)、\(\overset{\rightharpoonup}{b}\)、\(\overset{\rightharpoonup}{c}\)所张出的平行六面体的体积\(V=\vert(\overset{\rightharpoonup}{a}×\overset{\rightharpoonup}{b})\cdot\overset{\rightharpoonup}{c}\vert\)，因为\(\overset{\rightharpoonup}{a}×\overset{\rightharpoonup}{b}=\overset{\rightharpoonup}{c}\)，所以\(V=\vert\overset{\rightharpoonup}{c}\cdot\overset{\rightharpoonup}{c}\vert=\vert\overset{\rightharpoonup}{c}\vert^{2}=16\)，(2)正确。
(3) 因为\(\overset{\rightharpoonup}{a}×\overset{\rightharpoonup}{c}=\overset{\rightharpoonup}{d}\)，所以\(\overset{\rightharpoonup}{d}\)与\(\overset{\rightharpoonup}{a}\)、\(\overset{\rightharpoonup}{c}\)都垂直；又\(\overset{\rightharpoonup}{a}×\overset{\rightharpoonup}{b}=\overset{\rightharpoonup}{c}\)，所以\(\overset{\rightharpoonup}{a}\perp\overset{\rightharpoonup}{c}\)，因此\(\overset{\rightharpoonup}{a}\)、\(\overset{\rightharpoonup}{c}\)、\(\overset{\rightharpoonup}{d}\)两两互相垂直，(3)正确。
(4) 由\(\vert\overset{\rightharpoonup}{d}\vert=\vert\overset{\rightharpoonup}{a}×\overset{\rightharpoonup}{c}\vert=\vert\overset{\rightharpoonup}{a}\vert\vert\overset{\rightharpoonup}{c}\vert\sin\angle(\overset{\rightharpoonup}{a},\overset{\rightharpoonup}{c})\)，因为\(\overset{\rightharpoonup}{a}\perp\overset{\rightharpoonup}{c}\)，\(\sin\angle(\overset{\rightharpoonup}{a},\overset{\rightharpoonup}{c}) = 1\)，\(\vert\overset{\rightharpoonup}{a}\vert = \vert\overset{\rightharpoonup}{c}\vert = 4\)，所以\(\vert\overset{\rightharpoonup}{d}\vert = 16\)，(4)错误。
(5) 计算\(\overset{\rightharpoonup}{b}\cdot\overset{\rightharpoonup}{d}=\overset{\rightharpoonup}{b}\cdot(\overset{\rightharpoonup}{a}×\overset{\rightharpoonup}{c})\)，根据向量混合积的性质\(\overset{\rightharpoonup}{b}\cdot(\overset{\rightharpoonup}{a}×\overset{\rightharpoonup}{c})=\overset{\rightharpoonup}{a}\cdot(\overset{\rightharpoonup}{b}×\overset{\rightharpoonup}{c})\)，又\(\overset{\rightharpoonup}{a}×\overset{\rightharpoonup}{b}=\overset{\rightharpoonup}{c}\)，则\(\overset{\rightharpoonup}{b}×\overset{\rightharpoonup}{c}=\overset{\rightharpoonup}{b}×(\overset{\rightharpoonup}{a}×\overset{\rightharpoonup}{b})\)，根据向量积的运算规则\(\overset{\rightharpoonup}{b}×(\overset{\rightharpoonup}{a}×\overset{\rightharpoonup}{b})=(\overset{\rightharpoonup}{b}\cdot\overset{\rightharpoonup}{b})\overset{\rightharpoonup}{a}-(\overset{\rightharpoonup}{b}\cdot\overset{\rightharpoonup}{a})\overset{\rightharpoonup}{b}\)。
\(\vert\overset{\rightharpoonup}{b}\vert = 4\)，设\(\overset{\rightharpoonup}{a}\cdot\overset{\rightharpoonup}{b}=\vert\overset{\rightharpoonup}{a}\vert\vert\overset{\rightharpoonup}{b}\vert\cos\theta = 16\cos\theta\)，则\(\overset{\rightharpoonup}{b}×(\overset{\rightharpoonup}{a}×\overset{\rightharpoonup}{b}) = 16\overset{\rightharpoonup}{a}-16\cos\theta\overset{\rightharpoonup}{b}\)，\(\overset{\rightharpoonup}{a}\cdot(\overset{\rightharpoonup}{b}×\overset{\rightharpoonup}{c})=\overset{\rightharpoonup}{a}\cdot(16\overset{\rightharpoonup}{a}-16\cos\theta\overset{\rightharpoonup}{b}) = 16\vert\overset{\rightharpoonup}{a}\vert^{2}-16\cos\theta\overset{\rightharpoonup}{a}\cdot\overset{\rightharpoonup}{b}=256 - 256\cos^{2}\theta\)。
\(\vert\overset{\rightharpoonup}{b}\vert = 4\)，\(\vert\overset{\rightharpoonup}{d}\vert = 16\)，设\(\overset{\rightharpoonup}{b}\)与\(\overset{\rightharpoonup}{d}\)的夹角为\(\alpha\)，\(\cos\alpha=\frac{\overset{\rightharpoonup}{b}\cdot\overset{\rightharpoonup}{d}}{\vert\overset{\rightharpoonup}{b}\vert\vert\overset{\rightharpoonup}{d}\vert}=\frac{256 - 256\cos^{2}\theta}{4×16}=4 - 4\cos^{2}\theta\neq\cos\theta\)（一般情况下），所以\(\overset{\rightharpoonup}{b}\)与\(\overset{\rightharpoonup}{d}\)的夹角不等于\(\theta\)，(5)错误。
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(1) 根据复数的几何意义，\(\vert z_{1}\vert\)，\(\vert z_{2}\vert\)，\(\vert z_{2}-z_{1}\vert\)分别对应向量\(\overrightarrow{OA}\)，\(\overrightarrow{OB}\)，\(\overrightarrow{BA}\)的模。
由余弦定理\(\cos\angle AOB=\frac{\vert z_{1}\vert^{2}+\vert z_{2}\vert^{2}-\vert z_{2}-z_{1}\vert^{2}}{2\vert z_{1}\vert\vert z_{2}\vert}=\frac{4 + 9 - 5}{2×2×3}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}\)，(1)正确。
(2) \(\vert z_{2}+z_{1}\vert^{2}=(z_{2}+z_{1})(\overline{z_{2}+z_{1}})=\vert z_{2}\vert^{2}+\vert z_{1}\vert^{2}+2\mathrm{Re}(z_{1}\overline{z_{2}})\)，由\(\cos\angle AOB=\frac{2}{3}\)，\(z_{1}\overline{z_{2}}=\vert z_{1}\vert\vert z_{2}\vert\cos\angle AOB + i\vert z_{1}\vert\vert z_{2}\vert\sin\angle AOB\)，\(\vert z_{1}\vert = 2\)，\(\vert z_{2}\vert = 3\)，可得\(z_{1}\overline{z_{2}} = 4 + 2\sqrt{5}i\)（先求出\(\sin\angle AOB=\sqrt{1 - (\frac{2}{3})^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{3}\)），则\(\vert z_{2}+z_{1}\vert^{2}=9 + 4+2×4 = 21\)，\(\vert z_{2}+z_{1}\vert=\sqrt{21}\neq\sqrt{23}\)，(2)错误。
(3)(4) 已知\(\frac{z_{2}}{z_{1}}=a + bi\)，\(z_{2}=(a + bi)z_{1}\)，\(\vert z_{2}\vert=\vert a + bi\vert\vert z_{1}\vert\)，\(\vert z_{1}\vert = 2\)，\(\vert z_{2}\vert = 3\)，则\(\vert a + bi\vert=\frac{3}{2}\)，即\(a^{2}+b^{2}=\frac{9}{4}\)。
又\(z_{2}-z_{1}=(a - 1+bi)z_{1}\)，\(\vert z_{2}-z_{1}\vert=\vert a - 1+bi\vert\vert z_{1}\vert\)，\(\vert z_{2}-z_{1}\vert=\sqrt{5}\)，\(\vert z_{1}\vert = 2\)，所以\(\vert a - 1+bi\vert=\frac{\sqrt{5}}{2}\)，即\((a - 1)^{2}+b^{2}=\frac{5}{4}\)。
联立\(\begin{cases}a^{2}+b^{2}=\frac{9}{4}\\(a - 1)^{2}+b^{2}=\frac{5}{4}\end{cases}\)，将第一个式子减去第二个式子得\(2a - 1 = 1\)，解得\(a = 1\gt0\)，把\(a = 1\)代入\(a^{2}+b^{2}=\frac{9}{4}\)得\(b=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}\)，(3)正确，(4)错误。
(5) 若\(\angle BOC=\frac{\pi}{2}\)，则\((a + bi)i\)（\(i\)是虚数单位）对应的向量与\(\overrightarrow{OB}\)垂直，\((a + bi)i=-b + ai\)，根据向量垂直性质，\((-b + ai)\cdot(a + bi)=-ab + a^{2}i - b^{2}i+abi^{2}=(a^{2}-b^{2})i\)，要使其为纯虚数，当\(a = 1\)，\(b=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}\)时，\((a^{2}-b^{2})i\)是纯虚数，所以\(\angle BOC\)可能等于\(\frac{\pi}{2}\)，(5)正确。
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根據點\((x_0,y_0,z_0)\)到平面Ax + By + Cz + D = 0的距離公式\(d=\frac{\vert Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D\vert}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}\)。
對於平面2x + 2y - z = -7，即2x + 2y - z + 7 = 0，A(2,2,6)。
則A點到平面BDE的距離\(d=\frac{\vert2\times2 + 2\times2 - 6 + 7\vert}{\sqrt{2^{2}+2^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{\vert4 + 4 - 6 + 7\vert}{\sqrt{4 + 4 + 1}}=\frac{9}{3}=3\)。 報錯
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由(2)知\(\overrightarrow{AG}\)與平面BDE垂直，所以\(\overrightarrow{AG}\)平行於平面BDE的法向量\(\overrightarrow{n}=(2,2,-1)\)（平面2x + 2y - z = -7的法向量）。
設G點坐標為\((x,y,z)\)，則\(\overrightarrow{AG}=(x - 2,y - 2,z - 6)\)。
因為\(\overrightarrow{AG}\)與\(\overrightarrow{n}=(2,2,-1)\)平行，所以\(\frac{x - 2}{2}=\frac{y - 2}{2}=\frac{z - 6}{-1}=k\)（k為常數），即\(x = 2k + 2\)，\(y = 2k + 2\)，\(z = -k + 6\)。
又由(3)知A點到平面BDE的距離是3，且G點到平面BDE的距離與A點到平面BDE的距離相等（正立方體性質）。
將G點坐標\((2k + 2,2k + 2,-k + 6)\)代入點到平面的距離公式\(d=\frac{\vert2(2k + 2)+2(2k + 2)-(-k + 6)+7\vert}{\sqrt{2^{2}+2^{2}+(-1)^{2}}}=3\)。
\(\frac{\vert4k + 4 + 4k + 4 + k - 6 + 7\vert}{3}=3\)，\(\vert9k + 9\vert = 9\)，即\(9k + 9 = 9\)或\(9k + 9 = -9\)。
解得\(k = 0\)或\(k = -2\)，\(k = 0\)時不滿足G與A不重合，所以\(k = -2\)。
則\(x = 2\times(-2)+2=-2\)，\(y = 2\times(-2)+2=-2\)，\(z = -(-2)+6 = 8\)。
所以G點坐標為(-2,-2,8)。 報錯
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根據點\((x_0,y_0,z_0)\)到平面Ax + By + Cz + D = 0的距離公式\(d=\frac{\vert Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D\vert}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}\)。
對於平面2x + 2y - z = -7，即2x + 2y - z + 7 = 0，A(2,2,6)。
則A點到平面BDE的距離\(d=\frac{\vert2\times2 + 2\times2 - 6 + 7\vert}{\sqrt{2^{2}+2^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{\vert4 + 4 - 6 + 7\vert}{\sqrt{4 + 4 + 1}}=\frac{9}{3}=3\)。 報錯
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由(2)知\(\overrightarrow{AG}\)與平面BDE垂直，所以\(\overrightarrow{AG}\)平行於平面BDE的法向量\(\overrightarrow{n}=(2,2,-1)\)（平面2x + 2y - z = -7的法向量）。
設G點坐標為\((x,y,z)\)，則\(\overrightarrow{AG}=(x - 2,y - 2,z - 6)\)。
因為\(\overrightarrow{AG}\)與\(\overrightarrow{n}=(2,2,-1)\)平行，所以\(\frac{x - 2}{2}=\frac{y - 2}{2}=\frac{z - 6}{-1}=k\)（k為常數），即\(x = 2k + 2\)，\(y = 2k + 2\)，\(z = -k + 6\)。
又由(3)知A點到平面BDE的距離是3，且G點到平面BDE的距離與A點到平面BDE的距離相等（正立方體性質）。
將G點坐標\((2k + 2,2k + 2,-k + 6)\)代入點到平面的距離公式\(d=\frac{\vert2(2k + 2)+2(2k + 2)-(-k + 6)+7\vert}{\sqrt{2^{2}+2^{2}+(-1)^{2}}}=3\)。
\(\frac{\vert4k + 4 + 4k + 4 + k - 6 + 7\vert}{3}=3\)，\(\vert9k + 9\vert = 9\)，即\(9k + 9 = 9\)或\(9k + 9 = -9\)。
解得\(k = 0\)或\(k = -2\)，\(k = 0\)時不滿足G與A不重合，所以\(k = -2\)。
則\(x = 2\times(-2)+2=-2\)，\(y = 2\times(-2)+2=-2\)，\(z = -(-2)+6 = 8\)。
所以G點坐標為(-2,-2,8)。 報錯
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(1) 已知\(2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}+4\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}\)，移項得\(2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}=-4\overrightarrow{OC}\)。
兩邊取模，\(\vert2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}\vert=\vert -4\overrightarrow{OC}\vert\)，因為\(\vert\overrightarrow{OC}\vert = 1\)（單位圓上的點到原點距離為1），所以\(\vert2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}\vert = 4\)，(1)正確。
(2) 由\(2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}+4\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}\)可得\(2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}=-4\overrightarrow{OC}\)，兩邊平方得\(4\overrightarrow{OA}^{2}+12\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}+9\overrightarrow{OB}^{2}=16\overrightarrow{OC}^{2}\)。
又\(\vert\overrightarrow{OA}\vert=\vert\overrightarrow{OB}\vert=\vert\overrightarrow{OC}\vert = 1\)，則\(4 + 12\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}+9 = 16\)，解得\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\frac{1}{4}>0\)，(2)錯誤。
(3) 由\(2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}+4\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}\)可得\(2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}=-4\overrightarrow{OC}\) ，\(2\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OC}=-3\overrightarrow{OB}\)，\(3\overrightarrow{OB}+4\overrightarrow{OC}=-2\overrightarrow{OA}\)。
分別對這三個式子兩邊平方，再利用向量數量積公式\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow{b}\vert\cos\theta\)（\(\theta\)為\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow{b}\)的夾角），可得\(\cos\angle AOB=\frac{1}{4}\)，\(\cos\angle AOC=-\frac{1}{8}\)，\(\cos\angle BOC=-\frac{11}{24}\)。
因為\(\cos\)函數在\([0,\pi]\)上單調遞減，且\(\vert-\frac{11}{24}\vert<\vert-\frac{1}{8}\vert\)，所以\(\angle BOC\)最小，(3)正確。 (4) 已知\(A(1,0)\)，\(\overrightarrow{OA}=(1,0)\)，由\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\frac{1}{4}\)，\(\vert\overrightarrow{OA}\vert = 1\)，\(\vert\overrightarrow{OB}\vert = 1\)，根據向量模長公式\(\vert\overrightarrow{AB}\vert=\sqrt{(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})^{2}}=\sqrt{\overrightarrow{OB}^{2}+\overrightarrow{OA}^{2}-2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}}=\sqrt{1 + 1 - 2\times\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{6}}{2}>\frac{3}{2}\)，(4)正確。
(5) 由\(2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}+4\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}\)，根據正弦定理\(\frac{\vert\overrightarrow{OA}\vert}{\sin\angle BOC}=\frac{\vert\overrightarrow{OB}\vert}{\sin\angle AOC}=\frac{\vert\overrightarrow{OC}\vert}{\sin\angle AOB}\)，可得\(3\sin\angle AOB = 4\sin\angle AOC\)，(5)正確。
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根據向量內積公式\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow{b}\vert\cos\theta\)（其中\(\theta\)為\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow{b}\)的夾角）。
已知\(\vert\overrightarrow{OP}\vert = 2\)，\(\vert\overrightarrow{OA}\vert=\sqrt{1^{2}+(\sqrt{2})^{2}+1^{2}}=\sqrt{4}=2\)，\(\theta = 60^{\circ}\)。
所以\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP}=\vert\overrightarrow{OA}\vert\vert\overrightarrow{OP}\vert\cos60^{\circ}=2\times2\times\frac{1}{2}=2\)。 報錯
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設\(P(x,y,z)\)，\(\overrightarrow{OP}=(x,y,z)\)，由(1)知\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP}=2\)，且\(\overrightarrow{OA}=(1,\sqrt{2},1)\)。
所以\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP}=x+\sqrt{2}y + z = 2\)。
故平面\(E\)的方程式為\(x+\sqrt{2}y + z - 2 = 0\)。 報錯
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