坐標平面上，一質點由點(-3, -2)出發，沿著向量(a, 1)的方向移動5單位長之後剛好抵達x軸，其中a為正實數。試問a值等於下列哪一個選項？
(1) \(\frac{\sqrt{13}}{2}\) (2) 2 (3) \(\sqrt{5}\) (4) \(\frac{\sqrt{21}}{2}\) (5) \(2\sqrt{6}\)
答案
向量與其運算
03-113分科測驗數學甲試題13
坐 標 空 間 中,考 慮 三 個 平 面 \( E_{1}: x + y + z = 7\)、 \( E_{2}: x – y + z = 3\)、 \( E_{3}: x – y – z = -5\)。 令 \( E_{1}\) 與 \( E_{2}\) 相 交 的 直 線 為 \( L_{3}\) ； \( E_{2}\) 與 \( E_{3}\) 相 交的直 線 為 \( L_{1}\) ； \( E_{3}\) 與 \( E_{1}\) 相 交的直 線 為 \( L_{2}\) 。試 說 明 \( L_{1}\) 、 \( L_{2}\) 、 \( L_{3}\) 中,任兩直線 所 夾的 銳 角皆為 \( 60^{\circ}\) 。
[非選擇]
答案
先求各直線方向向量,平面 \(E_{1}\) 法向量 \(\vec{n}_{1}=(1,1,1)\),\(E_{2}\) 法向量 \(\vec{n}_{2}=(1,- 1,1)\),\(E_{3}\) 法向量 \(\vec{n}_{3}=(1,- 1,- 1)\) 。 \(L_{1}\) 方向向量 \(\vec{v}_{1}=\vec{n}_{2}\times\vec{n}_{3}=(2,2,0)\),\(L_{2}\) 方向向量 \(\vec{v}_{2}=\vec{n}_{3}\times\vec{n}_{1}=(0,2,2)\),\(L_{3}\) 方向向量 \(\vec{v}_{3}=\vec{n}_{1}\times\vec{n}_{2}=(2,0,- 2)\) 。任取兩個方向向量,如 \(\vec{v}_{1}\) 與 \(\vec{v}_{2}\),\(\cos\theta=\frac{\vert\vec{v}_{1}\cdot\vec{v}_{2}\vert}{\vert\vec{v}_{1}\vert\vert\vec{v}_{2}\vert}=\frac{4}{2\sqrt{2}\times2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\),所以夾角為 \(60^{\circ}\),同理可證其他兩兩夾角也為 \(60^{\circ}\)。 報錯
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03-113分科測驗數學甲試題06
坐 標 空 間 中,考 慮 滿足 內積 \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \sqrt{15}\) 與外積 \(\vec{u} \times \vec{v} = (−1,0,3)\) 的 兩 向 量 \(\vec{u} \)、\(\vec{v} \) 。試 選出正確的選項。
(1) \(\vec{u} \) 與 \(\vec{v} \) 的夾角 \( \theta \)（其中 \( 0\leq\theta\leq\pi \),\( \pi \) 為圓周率） 大於 \( \frac{\pi}{4}\)
(2) \(\vec{u} \) 可能為 \((1,0,−1)\)
(3) \(\vert\vec{u}|+|\vec{v}\vert\ge 2\sqrt{5}\)
(4) 若 已知 \(\vec{v} \),則 \(\vec{u} \) 可以 被 唯 一 決定
(5) 若 已知 \(\vert\vec{u}\vert+\vert\vec{v}\vert\),則 \(\vert\vec{v}\vert\) 可以 被 唯 一 決定
答案
(1) \(\vert\vec{u}\times\vec{v}\vert=\vert\vec{u}\vert\vert\vec{v}\vert\sin\theta=\sqrt{10}\cdots(a)\),\(\vec{u} \cdot \vec{v} =\vert\vec{u}\vert\vert\vec{v}\vert\cos\theta=\sqrt{15}\cdots(b)\),$\frac{(a)}{(b)}$可得 \(\tan\theta = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\le1\),所以 \( \theta\lt\frac{\pi}{4}\),(1) 錯；
(2) $\because (1,0,-1)\cdot(-1,0,3)=-4\ne0,不滿足外積為公垂向量,內稽等於0之要求$,(2) 錯；
(3) $by(1)~~(a)^2+(b)^2=|\vec{u}|^2|\vec{v}|^2=25\therefore |\vec{u}||\vec{v}|=5$
$算幾不等式~~\frac{|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2}{2}\ge\sqrt{|\vec{u}|^2|\vec{v}|^2}=5\\ |\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2\ge2|\vec{u}||\vec{v}|=10 \\(|\vec{u}|+|\vec{v}|)^2=|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2+2|\vec{u}||\vec{v}|\ge2|\vec{u}||\vec{v}|+2|\vec{u}||\vec{v}|\ge10+2\times5=20\\|\vec{u}|+|\vec{v}|\ge\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
(4)$若\vec{u}確定則|\vec{u}|,|\vec{v}|都確定\\又\vec{v}//\vec{u}\times(-1,0,3)\therefore \vec{v}有兩個方向\\若加上第(1)選項可知夾角\\就能確定方向只有一種可能~~所以\vec{v}的大小與方向都能確定,只有一種可能$ ,(4) 對；
(5) 由$令\overset{確定}{\square^2}=(|\vec{u}|+|\vec{v}|)^2=|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2+2\overset{可確定}{|\vec{u}||\vec{v}|}\\知|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2可確定,\\只知道夾角但是|\vec{v}|無法確定$
,(5) 錯。
答案是(3)(4)。 報錯
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111分科數學甲試題-06
假設2階方陣\(\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\)所代表的線性變換將坐標平面上三點\(O(0,0)\) 、\(A(1,0)\) 、\(B(0,1)\)分別映 射到\(O(0,0)\) ，\(A'(3,\sqrt{3})\) ，\(B'(-\sqrt{3},3)\) ，並將與原點距離為1的點\(C(x,y)\)映射到點\(C'(x’,y’)\) 。試選出正確的選項。(1)行列式\(\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=6\)(2)\(\overline{OC’}=2\sqrt{3}\)(3)\(\overrightarrow{OC}\)和\(\overrightarrow{OC’}\)的夾角為\(60^{\circ}\)(4)有可能\(y = y’\)(5)若\(x < y\)則\(x’ < y’\)
[多選]
答案
由線性變換性質，\(\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\\sqrt{3}\end{bmatrix}\)得\(a = 3\)，\(c=\sqrt{3}\)；\(\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-\sqrt{3}\\3\end{bmatrix}\)得\(b=-\sqrt{3}\)，\(d = 3\)。行列式\(\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=3\times3-(-\sqrt{3})\times\sqrt{3}=12\)，(1)錯誤。\(\overrightarrow{OC'}=\begin{bmatrix}3&-\sqrt{3}\\\sqrt{3}&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3x-\sqrt{3}y\\\sqrt{3}x + 3y\end{bmatrix}\)，\(\overline{OC'}=\sqrt{(3x-\sqrt{3}y)^{2}+(\sqrt{3}x + 3y)^{2}} = 2\sqrt{3}\sqrt{x^{2}+y^{2}} = 2\sqrt{3}\)，(2)正確。\(\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OC'}=3x^{2}+3y^{2}=3\)，\(\cos\angle COC'=\frac{\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OC'}}{\vert\overrightarrow{OC}\vert\vert\overrightarrow{OC'}\vert}=\frac{3}{1\times2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，夾角為\(30^{\circ}\)，(3)錯誤。令\(y = y'\)，即\(-\sqrt{3}x + 3y = y\)，\(x=\frac{2y}{\sqrt{3}}\)，有可能成立，(4)正確。取\(x = 0\)，\(y = 1\)，\(x'=-\sqrt{3}\)，\(y' = 3\)，此時\(x < y\)，但\(x' < y'\)不成立，(5)錯誤。答案為(2)(4)。 報錯
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04 – 114學測數學b試題09
坐標平面上設\(O\)為原點,且\(P\)點坐標為\((2, 2)\)。已知向量\(\overrightarrow{OP} = \alpha\overrightarrow{OA} + \beta\overrightarrow{OB}\),其中實數\(\alpha\),\(\beta\)滿足\(0 \leq \alpha \leq 1\),\(0 \leq \beta \leq 1\)。下列選項中,試選出可能的\(A\)、\(B\)點坐標。(1) \(A(2, -3)\)、\(B(-4,3)\)；(2) \(A(3, 2)\)、\(B(3, 4)\)；(3) \(A(3, 4)\)、\(B(4, -1)\)；(4) \(A(1, 2)\)、\(B(2,1)\)；(5) \(A(1, -1)\)、\(B(1,1)\)
[多選]
答案
由\(\overrightarrow{OP} = \alpha\overrightarrow{OA} + \beta\overrightarrow{OB}\),\(0 \leq \alpha \leq 1\),\(0 \leq \beta \leq 1\),可知\(P\)點在以\(O\),\(A\),\(B\)為頂點的平行四邊形內部（含邊界）。將各選項\(A\)、\(B\)坐標代入,利用向量加法的平行四邊形法則判斷,(2)(3)(4)符合。答案：(2)(3)(4) 報錯
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04 – 114學測數學b試題19
19. 已知某日某地的日照時數（日出到日落）恰為 12 小時，且該地當天日出後 $ x $ 小時（$ 0 \leq x \leq 12 $）的 UVI 數值，可用函數 $ f(x) = a\sin(bx) $ 來表示，其中 $ a, b > 0 $。假設日照時 UVI 數值為正，非日照時 UVI 數值為 0（即 $ f(0) = f(12) = 0 $），且當天日出後 2 小時的 UVI 數值為 4。試求 $ a $、$ b $ 之值。（非選擇題，6 分）
[非選擇]
答案
已知：
- $ f(x) = a\sin(bx) $
- $ f(0) = 0 $，$ f(12) = 0 $
- $ f(2) = 4 $
#### 步驟一：由 $ f(12) = 0 $ 求 $ b $
$$
f(12) = a\sin(12b) = 0 \Rightarrow \sin(12b) = 0
\Rightarrow 12b = n\pi,\quad n \in \mathbb{Z}
\Rightarrow b = \frac{n\pi}{12}
$$
又因 $ f(x) $ 在 $ [0,12] $ 上為正（日照時），且為正弦函數，故應為**半個正弦波**，即從 0 上升至最大再下降回 0。
→ 所以週期為 24 小時，但只取前半段 → 半週期為 12 小時
→ 正弦函數在 $ x=6 $ 時達最大值
因此，$ \sin(bx) $ 的週期為 24，即：
$$
\frac{2\pi}{b} = 24 \Rightarrow b = \frac{\pi}{12}
$$
（或直接由 $ 12b = \pi $ 得 $ b = \frac{\pi}{12} $，對應第一個零點）
#### 步驟二：代入 $ f(2) = 4 $
$$
f(2) = a\sin\left(\frac{\pi}{12} \cdot 2\right) = a\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = a \cdot \frac{1}{2} = 4
\Rightarrow a = 8
$$
---
### ✅ 答案：
- $ a = 8 $
- $ b = \dfrac{\pi}{12} $
---
### **簡化略解（繁體）：**
由 $ f(12) = 0 $ 且為正弦型，得半週期為 12 小時 ⇒ $ b = \dfrac{\pi}{12} $
代入 $ f(2) = 4 $：
$$
a\sin\left(\frac{\pi}{12} \cdot 2\right) = a \cdot \frac{1}{2} = 4 \Rightarrow a = 8
$$
**答：** $ a = 8 $，$ b = \dfrac{\pi}{12} $ 報錯
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113學測數學B試題-04
已知坐標平 面上有一向量\(\vec{v}=(-2,3)\)及兩點\(A\)、\(B\),且點\(A\)的\(x\)坐標和\(y\)坐標、點\(B\)的\(x\)坐標和\(y\)坐標都落在區間\([0,1]\)內 ,試問\(\vert\overrightarrow{AB}\cdot\vec{v}\vert\)的最大值為下列哪一個選項？(1) \(\sqrt{13}\)；(2) \(2\sqrt{13}\)；(3) \(3\)；(4) \(5\)；(5) \(\sqrt{13}+2\)
[單選]
答案
1. 設\(A(x_1,y_1)\),\(B(x_2,y_2)\),\(0\leq x_1,y_1,x_2,y_2\leq1\),則\(\overrightarrow{AB}=(x_2 - x_1,y_2 - y_1)\)。
2. \(\overrightarrow{AB}\cdot\vec{v}=-2(x_2 - x_1)+3(y_2 - y_1)=-2x_2 + 2x_1 + 3y_2 - 3y_1\)。
3. 求\(\vert\overrightarrow{AB}\cdot\vec{v}\vert\)的最大值,\(\vert\overrightarrow{AB}\cdot\vec{v}\vert=\vert-2x_2 + 2x_1 + 3y_2 - 3y_1\vert\leq\vert-2x_2\vert+\vert2x_1\vert+\vert3y_2\vert+\vert-3y_1\vert\)。
- 因為\(0\leq x_1,x_2,y_1,y_2\leq1\),所以\(\vert\overrightarrow{AB}\cdot\vec{v}\vert\leq2 + 2 + 3 + 3 = 5\)。答案：(4) 報錯
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04 – 113學測數學b試題15
已知\( P_1、P_2、Q_1、Q_2、R \)為平面上相異五點，其中\( P_1、P_2、R \)三點不共線，且滿足\( \overrightarrow{P_1R} = 4\overrightarrow{P_1Q_1} \)，\( \overrightarrow{P_2R} = 7\overrightarrow{P_2Q_2} \)，則\( \overrightarrow{Q_1Q_2} = \frac{\boxed{15-1}}{\boxed{}} \overrightarrow{P_1Q_1} + \frac{\boxed{15-2}}{\boxed{15-3}} \overrightarrow{P_2Q_2} \)。
[選填]
答案
","首先，根據向量的分解與運算：
由\( \overrightarrow{P_1R} = 4\overrightarrow{P_1Q_1} \)，得\( \overrightarrow{R} = \overrightarrow{P_1} + 4\overrightarrow{P_1Q_1} = \overrightarrow{P_1} + 4(\overrightarrow{Q_1} - \overrightarrow{P_1}) = -3\overrightarrow{P_1} + 4\overrightarrow{Q_1} \)。
由\( \overrightarrow{P_2R} = 7\overrightarrow{P_2Q_2} \)，得\( \overrightarrow{R} = \overrightarrow{P_2} + 7\overrightarrow{P_2Q_2} = \overrightarrow{P_2} + 7(\overrightarrow{Q_2} - \overrightarrow{P_2}) = -6\overrightarrow{P_2} + 7\overrightarrow{Q_2} \)。
因此，\( -3\overrightarrow{P_1} + 4\overrightarrow{Q_1} = -6\overrightarrow{P_2} + 7\overrightarrow{Q_2} \)，整理得：
\( 4\overrightarrow{Q_1} - 7\overrightarrow{Q_2} = 3\overrightarrow{P_1} - 6\overrightarrow{P_2} \)，
\( 4\overrightarrow{Q_1} - 7\overrightarrow{Q_2} = 3(\overrightarrow{P_1} - 2\overrightarrow{P_2}) \)。
另，\( \overrightarrow{Q_1Q_2} = \overrightarrow{Q_2} - \overrightarrow{Q_1} \)，嘗試用\( \overrightarrow{P_1Q_1} \)和\( \overrightarrow{P_2Q_2} \)表示：
由\( \overrightarrow{P_1Q_1} = \overrightarrow{Q_1} - \overrightarrow{P_1} \)，得\( \overrightarrow{Q_1} = \overrightarrow{P_1} + \overrightarrow{P_1Q_1} \)；
由\( \overrightarrow{P_2Q_2} = \overrightarrow{Q_2} - \overrightarrow{P_2} \)，得\( \overrightarrow{Q_2} = \overrightarrow{P_2} + \overrightarrow{P_2Q_2} \)。
將\( \overrightarrow{Q_1}、\overrightarrow{Q_2} \)代入\( \overrightarrow{Q_1Q_2} = \overrightarrow{Q_2} - \overrightarrow{Q_1} \)：
\( \overrightarrow{Q_1Q_2} = (\overrightarrow{P_2} + \overrightarrow{P_2Q_2}) - (\overrightarrow{P_1} + \overrightarrow{P_1Q_1}) = (\overrightarrow{P_2} - \overrightarrow{P_1}) + \overrightarrow{P_2Q_2} - \overrightarrow{P_1Q_1} \)。
再結合\( \overrightarrow{R} \)的兩種表示相等，即\( -3\overrightarrow{P_1} + 4\overrightarrow{Q_1} = -6\overrightarrow{P_2} + 7\overrightarrow{Q_2} \)，代入\( \overrightarrow{Q_1}、\overrightarrow{Q_2} \)的表達式：
\( -3\overrightarrow{P_1} + 4(\overrightarrow{P_1} + \overrightarrow{P_1Q_1}) = -6\overrightarrow{P_2} + 7(\overrightarrow{P_2} + \overrightarrow{P_2Q_2}) \)，
\( \overrightarrow{P_1} + 4\overrightarrow{P_1Q_1} = \overrightarrow{P_2} + 7\overrightarrow{P_2Q_2} \)，
\( \overrightarrow{P_2} - \overrightarrow{P_1} = 4\overrightarrow{P_1Q_1} - 7\overrightarrow{P_2Q_2} \)。
將其代入\( \overrightarrow{Q_1Q_2} \)的表達式：
\( \overrightarrow{Q_1Q_2} = (4\overrightarrow{P_1Q_1} - 7\overrightarrow{P_2Q_2}) + \overrightarrow{P_2Q_2} - \overrightarrow{P_1Q_1} = 3\overrightarrow{P_1Q_1} - 6\overrightarrow{P_2Q_2} = \frac{3}{1}\overrightarrow{P_1Q_1} + \frac{-6}{1}\overrightarrow{P_2Q_2} \)。
因此，\( \overrightarrow{Q_1Q_2} = \frac{\boxed{3}}{\boxed{1}} \overrightarrow{P_1Q_1} + \frac{\boxed{-6}}{\boxed{1}} \overrightarrow{P_2Q_2} \)（若題中15-2、15-3為分子分母結構，也可整理為\( \overrightarrow{Q_1Q_2} = \frac{\boxed{3}}{\boxed{1}} \overrightarrow{P_1Q_1} + \frac{\boxed{-6}}{\boxed{1}} \overrightarrow{P_2Q_2} \)，具體依題目格式調整）。 報錯
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112學測數學B試題-15
如圖所示，平面上有一點 \( P_0 \) 先朝某方向前進 2 個單位長到達點 \( P_1 \) 後，依前進方向左轉 15 度；朝新方向前進 2 個單位長到達點 \( P_2 \) 後，然後再依前進方向左轉 15 度；再朝新方向前進 2 個單位長到達點 \( P_3 \) 後，…依此類推。則向量 \( \overrightarrow{P_2P_3} \) 與 \( \overrightarrow{P_5P_6} \) 的內積為 __________（化為最簡根式）。
答案
1. 分析向量長度：
由題意，每段向量 \( \overrightarrow{P_nP_{n+1}} \) 的長度均為 2，即 \( |\overrightarrow{P_2P_3}| = 2 \)，\( |\overrightarrow{P_5P_6}| = 2 \)。
2. 分析向量夾角：
每次左轉 \( 15^\circ \)，故 \( \overrightarrow{P_2P_3} \) 與 \( \overrightarrow{P_5P_6} \) 的夾角為 \( 3 \times 15^\circ = 45^\circ \)。
3. 計算向量內積：
向量內積公式為 \( \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta \)，代入得：
\[
\overrightarrow{P_2P_3} \cdot \overrightarrow{P_5P_6} = 2 \times 2 \times \cos45^\circ = 4 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}
\] 報錯
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112學測數學B試題-18
18-20 題為題組
空地上有三根與地面垂直且等高的電線桿,其底座在一直線上且間距相等。某甲以單點透視法在畫布上畫這三根電線桿。在畫布上設坐標系,使得電線桿皆與\(y\)軸平行,三根底座的點分別為\(A_1(0,0)\)、\(A_2\)、\(A_3\),都在直線\(L:x + 3y = 0\)上；三根頂端的點分別為\(B_1(0,3)\)、\(B_2\)、\(B_3\),都在直線\(M:2x – 3y + 9 = 0\)上,如圖所示。已知\(A_3B_3 = 2A_1B_1\),且由單點透視法可知直線\(A_1B_3\)與直線\(A_3B_1\)的交點在直線\(A_2B_2\)上。設\(L\)和\(M\)相交於\(P\)點（此點又稱為「消失點」）。若向量\(\overrightarrow{PA_1}=k\overrightarrow{PA_3}\),則\(k\)的值為 。 （化為最簡分數） （選填題,\(3\)分）
答案
