〈向量與其運算〉彙整頁面 - 第 9 頁，總計 9 頁

113學測數學B試題15

已知$ P_1、P_2、Q_1、Q_2、R $為平面上相異五點，其中$ P_1、P_2、R $三點不共線，且滿足$ \overrightarrow{P_1R} = 4\overrightarrow{P_1Q_1} $，$ \overrightarrow{P_2R} = 7\overrightarrow{P_2Q_2} $，則$ \overrightarrow{Q_1Q_2} =$ __________$\overrightarrow{P_1Q_1}$ + __________$ \overrightarrow{P_2Q_2} $。

[選填]

答案

$\begin{align*}
&\because \overrightarrow{P_1R}=4\overrightarrow{P_1Q_1},\ \overrightarrow{P_2R}=7\overrightarrow{P_2Q_2} \\
&\implies \overrightarrow{P_1Q_1}:\overrightarrow{Q_1R}=1:3,\ \overrightarrow{P_2Q_2}:\overrightarrow{Q_2R}=1:6 \\
&\implies \overrightarrow{Q_1Q_2}=\overrightarrow{Q_1R}+\overrightarrow{RQ_2}=3\overrightarrow{P_1Q_1}-6\overrightarrow{P_2Q_2}
\end{align*}$

加最愛

112學測數學B試題-15

如圖所示，平面上有一點 $ P_0 $ 先朝某方向前進 2 個單位長到達點 $ P_1 $ 後，依前進方向左轉 15 度；朝新方向前進 2 個單位長到達點 $ P_2 $ 後，然後再依前進方向左轉 15 度；再朝新方向前進 2 個單位長到達點 $ P_3 $ 後，…依此類推。則向量 $ \overrightarrow{P_2P_3} $ 與 $ \overrightarrow{P_5P_6} $ 的內積為 __________（化為最簡根式）。

[選填]

答案

1. 分析向量長度：
由題意，每段向量 $ \overrightarrow{P_nP_{n+1}} $ 的長度均為 2，即 $ |\overrightarrow{P_2P_3}| = 2 $，$ |\overrightarrow{P_5P_6}| = 2 $。

2. 分析向量夾角：
每次左轉 $ 15^\circ $，故 $ \overrightarrow{P_2P_3} $ 與 $ \overrightarrow{P_5P_6} $ 的夾角為 $ 3 \times 15^\circ = 45^\circ $。

3. 計算向量內積：
向量內積公式為 $ \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta $，代入得：
\[
\overrightarrow{P_2P_3} \cdot \overrightarrow{P_5P_6} = 2 \times 2 \times \cos45^\circ = 4 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}
\]

https://www.ceec.edu.tw/files/file_pool/1/0n045357541158913049/04-112%e5%ad%b8%e6%b8%ac%e6%95%b8%e5%ad%b8b%e9%81%b8%e6%93%87%28%e5%a1%ab%29%e9%a1%8c%e7%ad%94%e6%a1%88.pdf

加最愛

112學測數學B試題-18

18-20 題為題組

空地上有三根與地面垂直且等高的電線桿,其底座在一直線上且間距相等。某甲以單點透視法在畫布上畫這三根電線桿。在畫布上設坐標系,使得電線桿皆與$y$軸平行,三根底座的點分別為$A_1(0,0)$、$A_2$、$A_3$,都在直線$L:x + 3y = 0$上；三根頂端的點分別為$B_1(0,3)$、$B_2$、$B_3$,都在直線$M:2x – 3y + 9 = 0$上,如圖所示。已知$A_3B_3 = 2A_1B_1$,且由單點透視法可知直線$A_1B_3$與直線$A_3B_1$的交點在直線$A_2B_2$上。設$L$和$M$相交於$P$點（此點又稱為「消失點」）。若向量$\overrightarrow{PA_1}=k\overrightarrow{PA_3}$,則$k$的值為。（化為最簡分數）（選填題,$3$分）

[選填]

答案

由相似三角形性質可得$k=\frac{1}{2}$。

https://www.ceec.edu.tw/files/file_pool/1/0n045357541158913049/04-112%e5%ad%b8%e6%b8%ac%e6%95%b8%e5%ad%b8b%e9%81%b8%e6%93%87%28%e5%a1%ab%29%e9%a1%8c%e7%ad%94%e6%a1%88.pdf

加最愛

111學測數學B試題-04

在坐標平面上，已知向量 $\overrightarrow{PQ} = \left( \log \frac{1}{5}, – 10^{-5} \right)$，其中點 $P$ 的坐標為 $\left( \log \frac{1}{2}, 2^{-5} \right)$。試選出正確的選項。
(1) 點 $Q$ 在第一象限
(2) 點 $Q$ 在第二象限
(3) 點 $Q$ 在第三象限
(4) 點 $Q$ 在第四象限
(5) 點 $Q$ 位於坐標軸上

[單選]

答案

$\begin{align*}
&設Q(x,y)，由\overrightarrow{PQ}=\left(\log\frac{1}{5},-10^{-5}\right)，且P\left(\log\frac{1}{2},2^{-5}\right)，得：\\
&x = \log\frac{1}{5} + \log\frac{1}{2} = \log\frac{1}{10} = -1, \\
&y = -10^{-5} + 2^{-5}. \\
\\
&因x=-1<0，且-10^{-5}+2^{-5}>0，故點Q在第二象限，選(2)。
\end{align*}$

https://www.ceec.edu.tw/files/file_pool/1/0m053363176747148935/04-111%e5%ad%b8%e6%b8%ac%e6%95%b8%e5%ad%b8b%e9%81%b8%e6%93%87%28%e5%a1%ab%29%e9%a1%8c%e7%ad%94%e6%a1%88.pdf

加最愛

111學測數學B試題-11

考慮坐標平面上的點$O(0,0)$ 、$A$、 $B$、 $C$、 $D$、 $E$、 $F$、 $G$,如下圖所示：
其中$B$點、$C$與$D$點、$E$與$F$點、$G$與$A$點依序在一、二、三、四象限內。若$\vec{v}$為坐標平面上的向量,且滿足$\vec{v}\cdot\overrightarrow{OA} \gt 0$及$\vec{v}\cdot\overrightarrow{OB} \gt 0$,則$\vec{v}$與下列哪些向量的內積一定小於$0$ ？
(1) $\overrightarrow{OC}$；
(2) $\overrightarrow{OD}$；
(3) $\overrightarrow{OE}$；
(4) $\overrightarrow{OF}$；
(5) $\overrightarrow{OG}$

[多選]

答案

$\begin{align*}
&若向量與\vec{v}的內積<0，則兩向量夾角為鈍角。\\ &其中\overrightarrow{OD}、\overrightarrow{OE}與\vec{v}的內積均小於0，故選(2)(3)。 \end{align*}$

https://www.ceec.edu.tw/files/file_pool/1/0m053363176747148935/04-111%e5%ad%b8%e6%b8%ac%e6%95%b8%e5%ad%b8b%e9%81%b8%e6%93%87%28%e5%a1%ab%29%e9%a1%8c%e7%ad%94%e6%a1%88.pdf

加最愛

111學測數學B試題-14

坐標平面上有一個半徑為$7$的圓,其圓心為$O$點。已知圓上有$A$, $B$兩點,且$AB = 8$ ,則內積$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\underline{○14 – 1}\ \underline{○14 – 2}$ 。

[選填]

答案

在$\triangle AOB$中,$\vert\overrightarrow{OA}\vert=\vert\overrightarrow{OB}\vert = 7$,$\vert\overrightarrow{AB}\vert = 8$。根據余弦定理$\cos\angle AOB=\frac{\vert\overrightarrow{OA}\vert^{2}+\vert\overrightarrow{OB}\vert^{2}-\vert\overrightarrow{AB}\vert^{2}}{2\vert\overrightarrow{OA}\vert\vert\overrightarrow{OB}\vert}=\frac{7^{2}+7^{2}-8^{2}}{2\times7\times7}=\frac{49 + 49 - 64}{98}=\frac{34}{98}=\frac{17}{49}$。則$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\vert\overrightarrow{OA}\vert\vert\overrightarrow{OB}\vert\cos\angle AOB = 7\times7\times\frac{17}{49}=17$。即$\underline{○14 - 1}=17$,$\underline{○14 - 2}=0$。

https://www.ceec.edu.tw/files/file_pool/1/0m053363176747148935/04-111%e5%ad%b8%e6%b8%ac%e6%95%b8%e5%ad%b8b%e9%81%b8%e6%93%87%28%e5%a1%ab%29%e9%a1%8c%e7%ad%94%e6%a1%88.pdf

加最愛

Saved articles