〈圓周運動〉彙整頁面

110指考物理分科考科_22

質量為 \( m \) 的汽車在與水平面夾角為 \( \theta \) 的斜面跑道作半徑為 \( R \) 的圓周運動，其面對車頭直視時的示意圖如圖 13 所示。設重力加速度的量值為 \( g \)，下列敘述哪些正確？

(A)若夾角 \( \theta = 0 \)，無摩擦力則無法作圓周運動
(B)需摩擦力克服沿斜面的下滑力 \( mg\sin\theta \) 才可作圓周運動
(C)無摩擦力也可作圓周運動，此時斜面跑道對車的正向力為 \( mg\cos\theta \)
(D)無摩擦力也可作圓周運動，此時速率 \( v = \sqrt{Rg \tan\theta} \)
(E)沿斜面向下的摩擦力可增加作圓周運動的向心力。

答案

略解：(A)正確，\( \theta=0 \) 時，若無摩擦力，無水平力提供向心力。
(B)錯誤，鉛直方向力平衡，水平方向合力提供向心力，與下滑力無關。
(C)錯誤，無摩擦力時，鉛直方向 \( N\cos\theta = mg \Rightarrow N = \frac{mg}{\cos\theta} \)。
(D)正確，無摩擦力時，水平方向 \( N\sin\theta = m\frac{v^2}{R} \Rightarrow \frac{mg}{\cos\theta} \sin\theta = m\frac{v^2}{R} \Rightarrow v = \sqrt{Rg\tan\theta} \)。
(E)正確，摩擦力沿斜面向下時，其水平分量可增加向心力。
答案：A, D, E 報錯
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110指考物理分科考科_26

二、調速器可用來控制馬達的轉速，其結構如圖14所示，圓筒狀的外殼固定不動，中心轉軸隨馬達旋轉，軸上兩側各有一質量可忽略的短棒，其上端與中心轉軸連接，下端各有一個質量為1.0kg的擺錘，兩短棒與中心轉軸按在同一平面，且此平面隨中心轉軸旋轉時，短棒可以自由張開或合攏，當張角為45°時，擺錘恰可觸及外殼；當轉速夠大時擺錘會貼著外殼，對外殼施力，以傳達馬達轉速過大的訊息。已知外殼的內半徑為0.40m，重力加速度g=10m/s\(^2\)。

1. 當擺錘恰可觸及外殼而不對外殼施力時，計算此時中心轉軸的角速度。（4分）
2. 當中心轉軸以角速度6rad/s旋轉時，計算任一擺錘對外殼施加的正向力量值。（3分）
3. 若擺錘和外殼間的動摩擦係數μ=0.25，當中心轉軸的角速度維持6rad/s時，計算任一擺錘因摩擦而損耗的功率。（3分）

答案

略解：1. 擺錘恰觸外殼不受力時，張角 \( \theta = 45^\circ \)，半徑 \( r = 0.40 \text{m} \)。
受力分析：張力 \( T \)，重力 \( mg \)，向心力 \( m\omega^2 r \)。
\( T \cos\theta = mg \)，\( T \sin\theta = m\omega^2 r \)。
兩式相除得 \( \tan\theta = \frac{\omega^2 r}{g} \Rightarrow \omega = \sqrt{\frac{g \tan\theta}{r}} = \sqrt{\frac{10 \times \tan 45^\circ}{0.40}} = \sqrt{25} = 5 \text{rad/s} \)。
2. 當 \( \omega = 6 \text{rad/s} \gt 5 \text{rad/s} \)，擺錘貼外殼，設正向力 \( N \)。
水平：\( T\sin\theta + N = m\omega^2 r \)
鉛直：\( T\cos\theta = mg \)
由鉛直式 \( T = \frac{mg}{\cos\theta} \)，代入水平式：
\( \frac{mg}{\cos\theta} \sin\theta + N = m\omega^2 r \Rightarrow mg\tan\theta + N = m\omega^2 r \)
\( N = m(\omega^2 r - g\tan\theta) = 1.0 \times (6^2 \times 0.40 - 10 \times 1) = 1.0 \times (14.4 - 10) = 4.4 \text{N} \)。
3. 動摩擦力 \( f_k = \mu N = 0.25 \times 4.4 = 1.1 \text{N} \)。
擺錘線速度 \( v = \omega r = 6 \times 0.40 = 2.4 \text{m/s} \)。
摩擦損耗功率 \( P = f_k v = 1.1 \times 2.4 = 2.64 \text{W} \)。
答案：1. \( 5 \text{rad/s} \) 2. \( 4.4 \text{N} \) 3. \( 2.64 \text{W} \) 報錯
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111物理分科測驗–19

[題組:第19題到第21題] ◎2021年12月發射的James Webb太空望遠鏡（JWST）主要用於紅外線天文學的研究，是目前太空中最強大的望遠鏡，它的溫度必須保持低於50K，才可在不受其他熱輻射源的干擾下觀察微弱的紅外線信號。JWST的位置靠近日一地系統的拉格朗日點\(L_2\)，此為日一地連心線上的定點，位於地球公轉軌道外側，如圖10所示，其中實線的圓弧與圓分別代表地球與月球的公轉軌道。已知在\(L_2\)點的小物體，受到日一地系統的重力，可與地球同步繞日一地系統的質心公轉。假設只考慮來自日、地的重力，日一地的距離近似為定值\(R\)，日、地的質量分別為\(M \cdot m\)，地心到\(L_2\)的距離為\(r\)，重力常數為\(G\)，日一地系統繞其質心\(C\)轉動的角速度為\(\omega\)。注意：只有日一地系統的質心\(C\)可視為靜止，日、地與\(L_2\)處的小物體均繞\(C\)以角速度\(\omega\)做圓周運動。
已知地心到\(C\)的距離為\(\frac{MR}{(M+m)}\)，則角速度率的平方\(\omega^2\)為下列何者？（單選）
(A) \(\omega^2 = G\frac{M+m}{r^3}\)
(B) \(\omega^2 = G\frac{M+m}{R^3}\)
(C) \(\omega^2 = G\frac{m}{r^3}\)
(D) \(\omega^2 = G\frac{m}{R^3}\)
(E) \(\omega^2 = G\frac{M}{r^3}\)

答案

地球繞質心C公轉，向心力由太陽引力提供：\( \frac{GMm}{R^2} = m d \omega^2 \)，其中 \( d = \frac{MR}{M+m} \)。代入得 \( \omega^2 = \frac{GM}{d R^2} = \frac{GM}{\frac{MR}{M+m} R^2} = \frac{G(M+m)}{R^3} \)，選(B)。報錯
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111物理分科測驗–20

[題組:第19題到第21題] 承第19題，地心到 \( L_2 \) 的距離 r 滿足下列何者？（單選）
(A) \( G \left[ \frac{M}{(R+r)^2} + \frac{m}{r^2} \right] = \left( \frac{MR}{M+m} + r \right) \omega^2 \)
(B) \( G \left[ \frac{M}{(R+r)^2} + \frac{m}{r^2} \right] = R \omega^2 \)
(C) \( G \left[ \frac{M}{(R+r)^2} + \frac{m}{r^2} \right] = (R+r) \omega^2 \)
(D) \( G \left[ \frac{M}{(R+r)^2} + \frac{m}{r^2} \right] = r \omega^2 \)
(E) \( G \left[ \frac{M}{(R+r)^2} + \frac{m}{r^2} \right] = \left( \frac{MR}{M+m} + r \right) \omega^2 \)

答案

\( L_2 \)點物體繞C點公轉，半徑為 \( \frac{MR}{M+m} + r \)。向心力由太陽與地球引力合力提供：\( \frac{GMm_L}{(R+r)^2} + \frac{Gm m_L}{r^2} = m_L \left( \frac{MR}{M+m} + r \right) \omega^2 \)。消去 \( m_L \) 得(A)式。選(A)。報錯
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112物理分科測驗–16

有一環繞地球、原本保持圓周運動的人造衛星，因故失去可微調軌道使保持固定速率的動力，現受空氣阻力影響造成其離地高度逐漸變小。假設人造衛星的質量始終不變，在其失去動力後，下列敘述哪些正確？
(A)動量值始終不變
(B)角動量值逐漸變小
(C)總力學能逐漸變小
(D)重力位能逐漸變大
(E)重力位能逐漸變小

答案

高度變小，軌道半徑 \( r \) 變小。(A)錯：\( v = \sqrt{\frac{GM}{r}} \)，r變小v變大，動量 \( p = mv \) 變大。(B)對：\( L = m v r = m\sqrt{GMr} \)，r變小L變小。(C)對：空氣阻力作負功，總力學能減少。(D)錯(E)對：重力位能 \( U = -\frac{GMm}{r} \)，r變小，U變小（負值變大）。選(B)(C)(E)。報錯
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113物理分科測驗03

在俄烏戰爭爆發後，太空服務公司SpaceX透過在距離地表500到600公里間運行之低軌衛星群所組成的「星鏈」 (Starlink)，補足了地面網路覆蓋性、移動性不足或遭受破壞的問題，為烏克蘭提供不受地理條件限制的網路服務，讓全世界看見低軌衛星通訊的重要性。下列有關低軌衛星與距地表約36000公里的同步衛星之性質比較，何者錯誤？
(A)低軌衛星受地球重力產生的加速度較大
(B)低軌衛星的通訊傳輸時間較短
(C)在正常運作條件下，每顆低軌衛星覆蓋的地表通訊面積較小
(D)低軌衛星每天可繞地球運行多次
(E)低軌衛星對地球的脫離速度較小

答案

低軌衛星軌道半徑較小，故：(A)對：重力加速度較大。(B)對：傳輸距離短，時間短。(C)對：覆蓋範圍小。(D)對：週期短，每日繞行多次。(E)錯：脫離速度 \(v = \sqrt{\frac{2GM}{R}}\)，R小則v大。故選(E)。答案：E 報錯
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113物理分科測驗24

[題組:24-26題]
◎一台具有三段變速系統的腳踏車（如圖10），其前齒盤的齒數為38齒，後齒盤組有相同轉軸但齒數分別為14、19與26齒的3個齒盤。鍵條套在前齒盤和後齒盤上，當前齒盤轉動1齒，後齒輪盤也跟著轉動1齒；且齒盤齒數與齒盤半徑成正比。
24 齒數為n的齒盤邊緣的切線速度定為\(v_n\)，角速度定為\(\omega_n\)，法線加速度（向心加速度）定為\(a_{Nu}\)。若變速系統將鍵條套在前齒盤與齒數19齒的後齒盤上，當前、後齒盤轉動時，下列敘述哪些正確？（多選）（5分）
(A)後齒盤：\(v_{26}/v_{14}=13/7\)
(B)後齒盤：\(\omega_{26}/\omega_{14}=7/13\)
(C)後齒盤：\(a_{N26}/a_{N14}=1\)
(D)前齒盤與後齒盤：\(\omega_{38}/\omega_{19}=1/2\)
(E)前齒盤與後齒盤：\(v_{38}/v_{19}=2\)

答案

後齒盤同軸故角速度相同，切線速度 \(v \propto R \propto n\)，故(A)對：\(v_{26}/v_{14}=26/14=13/7\)。
(B)錯：\(\omega\)相同。
(C)錯：\(a_N \propto R\)，比為26/14=13/7。
前後齒盤由鏈條連接，切線速度相同，角速度 \(\omega \propto 1/R \propto 1/n\)，故(D)對：\(\omega_{38}/\omega_{19}=19/38=1/2\)。
(E)錯：切線速度相同。故選(A)(D)。答案：AD 報錯
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113物理分科測驗26

[題組:24-26題]
26 若腳踏車以等速度前進，且後輪半徑為33cm，當前齒盤轉速為60rpm（每分鐘轉數）時，腳踏車前進的速率為4.0m/s，則後齒盤的齒數為多少？（單選）（3分）
(A)14 (B)19 (C)26

答案

前齒盤轉速60rpm=1rps，後齒盤轉速 \(\omega_r = \frac{38}{n}\times1 \text{rps}\)，後輪線速度 \(v = \omega_r R = \frac{38}{n}\times 2\pi\times0.33 = 4.0\)，得 \(n \approx 19.7\)，選(B)19齒。答案：B 報錯
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114學測自然考科19

國際太空站（簡稱 ISS）主要用於進行微重力環境下的各種實驗，其繞行地球的週期為 90 分鐘，而任何質量的同步衛星，其繞行地球的週期和地球自轉的週期相同。已知沿圓形軌道繞行地球的物體，其動能 T 與重力位能 U 的關係為 \( 2T = -U \)。若 ISS 與某同步衛星的軌道皆近似圓形，則 ISS 與該同步衛星比較時，下列敘述哪些正確？（應選 2 項）
(A) ISS 的軌道半徑一定比較大
(B) ISS 的繞力學能一定比較大
(C) ISS 的重力位能一定比較大
(D) ISS 的速率一定比較大
(E) ISS 的加速度量值一定比較大

答案

(A)錯誤：ISS週期短，軌道半徑小。
(B)錯誤：ISS軌道半徑小，總力學能小。
(C)錯誤：ISS軌道半徑小，重力位能小。
(D)正確：ISS軌道半徑小，速率大。
(E)正確：ISS軌道半徑小，重力加速度大。
答案：(D)(E) 報錯
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105學測自然試題-03

若將地球公轉太陽一圈的時間（公轉週期）稱為「地球年」，表 1 為太陽系內地球與某行星的資料，則表中 r 的數值最接近下列哪一項？

行星	軌道平均半徑（百萬公里）	公轉週期（地球年）
地球	約 150	1
某行星	約 4500	r

(A) 1 (B) 30 (C) 50 (D) 100 (E) 160

答案

根據克卜勒第三定律，\( \frac{T^2}{R^3} \) 為常數。地球：\( T=1 \)， \( R=150 \)。某行星：\( R=4500 \)，則 \( T^2 \propto (4500)^3 \)，\( T \approx \sqrt{(4500/150)^3} = \sqrt{30^3} = \sqrt{27000} \approx 164 \)。最接近選項(E) 160。答案：(E) 報錯
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