〈圓的幾何〉彙整頁面

114-學測數學模考_北模_08

右圖中，坐標平面上 \(L_1\)、\(L_2\)、\(L_3\) 三條直線圍成一個 \(\triangle ABC\)，若此 \(\triangle ABC\) 的外接圓圓心為 \(O_1\)，內切圓圓心為 \(O_2\)，試選出正確的選項。

\((1) 直線\ L_3\) 的斜率為 \(-\frac{4}{3}\)
\((2) 满足\ \triangle ABC\) 內部（包含邊界）的聯立不等式為 \(\begin{cases}x + 5 \geq 0 \\ y – 3 \geq 0 \\ 4x + 3y – 13 \geq 0\end{cases}\)
\((3) \triangle ABC\) 的外接圓方程式為 \((x + 2)^2 + (y – 7)^2 = 25\)
\((4) \triangle ABC\) 的外接圓面積為內切圓面積的 \(\frac{5}{2}\) 倍
\((5) 過\ O_1\)、\(O_2\) 的直線方程式為 \(y = 2x + 10\)

[多選題]

答案

由 \(A(-5,11)\)、\(B(1,3)\) 得 \(L_3\) 斜率 \(\frac{3 - 11}{1 - (-5)} = -\frac{4}{3}\)（(1)正確）。\(\triangle ABC\) 為直角三角形，外接圓心 \(O_1\) 為 \(AB\) 中點 \((-2,7)\)，半徑5，方程 \((x + 2)^2 + (y - 7)^2 = 25\)（(3)正確）。(2)不等式符號錯；(4)外接面積是內切面積25倍；(5)直線方程為 \(y = 2x + 11\)。答案：\((1)(3)\)

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114-學測數學模考_北模_16

設坐標平面上 \(A(-1,1)\)、\(B(0,a)\) 兩點，若直線 \(AB\) 關於 \(y = a\) 對稱的直線 \(L\) 與圓 \(C:(x – 3)^2 + y^2 = 1\) 有交點，試求 \(a\) 的範圍為 \(a \in \)[__________, __________]

[選填題]

答案

\(A\) 關於 \(y = a\) 對稱點 \(A'(-1,2a - 1)\)，直線 \(L\) 為 \(A'B\)，方程 \((1 - a)x - y + a = 0\)。圓心 \((3,0)\) 到 \(L\) 距離 \(\leq 1\)，即 \(\frac{|3(1 - a) + a|}{\sqrt{(1 - a)^2 + 1}} \leq 1\)，化簡 \(3a^2 - 10a + 7 \leq 0\)，解得 \(1 \leq a \leq \frac{7}{3}\)。答案：\([1, \frac{7}{3}]\)

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102學測數學考科-19

設銳角三角形 \(ABC\) 的外接圓半徑為 8。已知外接圓圓心到 \(AB\) 的距離為 2,而到 \(BC\) 的距離為 7,則 \(AC =\)__________。

[選填]

答案

設 \(\angle OBM = \theta_1\)，\(\angle OBN = \theta_2\)

\[
\Rightarrow BM = \sqrt{BO^2 - OM^2} = \sqrt{8^2 - 2^2} = \sqrt{60} = 2\sqrt{15}
\]

\[
BN = \sqrt{BO^2 - ON^2} = \sqrt{8^2 - 7^2} = \sqrt{15}
\]

\[
\therefore \cos\theta_1 = \frac{BM}{BO} = \frac{2\sqrt{15}}{8} = \frac{\sqrt{15}}{4},\quad \sin\theta_1 = \frac{OM}{BO} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}
\]

\[
\cos\theta_2 = \frac{BN}{BO} = \frac{\sqrt{15}}{8},\quad \sin\theta_2 = \frac{ON}{BO} = \frac{7}{8}
\]

\[
\Rightarrow \sin(\angle ABC) = \sin(\theta_1 + \theta_2) = \sin\theta_1 \cos\theta_2 + \cos\theta_1 \sin\theta_2
\]

\[
= \frac{1}{4} \times \frac{\sqrt{15}}{8} + \frac{\sqrt{15}}{4} \times \frac{7}{8} = \frac{\sqrt{15}}{32} + \frac{7\sqrt{15}}{32} = \frac{8\sqrt{15}}{32} = \frac{\sqrt{15}}{4}
\]

\[
\therefore \text{由正弦定理得 } \frac{AC}{\sin(\angle ABC)} = 2R \Rightarrow AC = 2R \cdot \sin(\angle ABC) = 2 \times 8 \times \frac{\sqrt{15}}{4} = 4\sqrt{15}
\]

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103學測數學考科-13

設圓 \(O\) 之半徑為 24,\(OC = 26\),\(OC\) 交圓 \(O\) 於 \(A\) 點,\(CD\) 切圓 \(O\) 於 \(D\) 點,\(B\) 為 \(A\) 點到 \(OD\) 的垂足,如右邊的示意圖。則 \(AB = \boxed{\frac{~~~~~~~~~~}{~~~~~~~~~~}}\)。

[選填]

答案

根據圓的幾何性質,\(OC = 26\),半徑 \(OA = 24\),因此 \(AC = \sqrt{OC^2 - OA^2} = \sqrt{26^2 - 24^2} = 10\)。由於 \(CD\) 是切線,\(OD \perp CD\),且 \(B\) 是 \(A\) 到 \(OD\) 的垂足,因此 \(AB = \frac{AC \times OA}{OC} = \frac{10 \times 24}{26} = \frac{120}{13}\)。

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104學測數學考科-09

如圖,以 \(M\) 為圓心、\(MA = 8\) 為半徑畫圓,\(AE\) 為該圓的直徑,\(B\)、\(C\)、\(D\) 三點皆在圓上,且 \(AB = BC = CD = DE\)。若 \(MD = 8(\cos(\theta + 90^\circ), \sin(\theta + 90^\circ))\)。請選出正確的選項。

(1) \(MA = 8(\cos \theta, \sin \theta)\)
(2) \(MC = 8(\cos(\theta + 45^\circ), \sin(\theta + 45^\circ))\)
(3) （內積）\(MA \cdot MA = 8\)
(4) （內積）\(MB \cdot MD = 0\)
(5) \(BD = 8(\cos \theta + \cos(\theta + 90^\circ), \sin \theta + \sin(\theta + 90^\circ))\)

[多選]

答案

將圖形坐標化，令 \( M(0, 0) \)，\( A(8, 0) \)。
由題意知 \( B, C, D \) 為弧 \( \overparen{AE} \) 的四等分點，
故 \( D(8\cos 135^\circ, 8\sin 135^\circ) \)，即 \( \theta = 45^\circ \)。

(1) ×：\( \overrightarrow{MA} = (8, 0) \)

(2) ○：\( \overrightarrow{MC} = (0, 8) = (8\cos 90^\circ, 8\sin 90^\circ) \)

(3) ×：\( \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MA} = 64 \)

(4) ○：\( \overrightarrow{MB} \perp \overrightarrow{MD} \Rightarrow \overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{MD} = 0 \)

(5) ×：\( \overrightarrow{BD} = 8(\cos 135^\circ - \cos 45^\circ, \sin 135^\circ - \sin 45^\circ) \)

故選 (2)(4)

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