右圖中，坐標平面上 \(L_1\)、\(L_2\)、\(L_3\) 三條直線圍成一個 \(\triangle ABC\)，若此 \(\triangle ABC\) 的外接圓圓心為 \(O_1\)，內切圓圓心為 \(O_2\)，試選出正確的選項。
\((1) 直線\ L_3\) 的斜率為 \(-\frac{4}{3}\)
\((2) 满足\ \triangle ABC\) 內部（包含邊界）的聯立不等式為 \(\begin{cases}x + 5 \geq 0 \\ y – 3 \geq 0 \\ 4x + 3y – 13 \geq 0\end{cases}\)
\((3) \triangle ABC\) 的外接圓方程式為 \((x + 2)^2 + (y – 7)^2 = 25\)
\((4) \triangle ABC\) 的外接圓面積為內切圓面積的 \(\frac{5}{2}\) 倍
\((5) 過\ O_1\)、\(O_2\) 的直線方程式為 \(y = 2x + 10\)
設坐標平面上 \(A(-1,1)\)、\(B(0,a)\) 兩點，若直線 \(AB\) 關於 \(y = a\) 對稱的直線 \(L\) 與圓 \(C:(x – 3)^2 + y^2 = 1\) 有交點，試求 \(a\) 的範圍為 \(a \in \)[__________, __________]
設銳角三角形 \(ABC\) 的外接圓半徑為 8。已知外接圓圓心到 \(AB\) 的距離為 2,而到 \(BC\) 的距離為 7,則 \(AC = \boxed{2\sqrt{15}}\)。
設圓 \(O\) 之半徑為 24,\(OC = 26\),\(OC\) 交圓 \(O\) 於 \(A\) 點,\(CD\) 切圓 \(O\) 於 \(D\) 點,\(B\) 為 \(A\) 點到 \(OD\) 的垂足,如右邊的示意圖。則 \(AB = \boxed{\frac{120}{13}}\)。
如圖,以 \(M\) 為圓心、\(MA = 8\) 為半徑畫圓,\(AE\) 為該圓的直徑,\(B\)、\(C\)、\(D\) 三點皆在圓上,且 \(AB = BC = CD = DE\)。若 \(MD = 8(\cos(\theta + 90^\circ), \sin(\theta + 90^\circ))\)。請選出正確的選項。
(1) \(MA = 8(\cos \theta, \sin \theta)\)
(2) \(MC = 8(\cos(\theta + 45^\circ), \sin(\theta + 45^\circ))\)
(3) （內積）\(MA \cdot MA = 8\)
(4) （內積）\(MB \cdot MD = 0\)
(5) \(BD = 8(\cos \theta + \cos(\theta + 90^\circ), \sin \theta + \sin(\theta + 90^\circ))\)
根據圓的幾何性質：
(1) \(MA = 8(\cos \theta, \sin \theta)\),正確。
(2) \(MC = 8(\cos(\theta + 45^\circ), \sin(\theta + 45^\circ))\),正確。
(3) \(MA \cdot MA = 64\),錯誤。
(4) \(MB \cdot MD = 0\),正確。
(5) \(BD = 8(\cos \theta + \cos(\theta + 90^\circ), \sin \theta + \sin(\theta + 90^\circ))\),正確。
因此,正確答案是 (1)(2)(4)(5)。 報錯
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