設坐標平面上 \(A(-1,1)\)、\(B(0,a)\) 兩點，若直線 \(AB\) 關於 \(y = a\) 對稱的直線 \(L\) 與圓 \(C:(x – 3)^2 + y^2 = 1\) 有交點，試求 \(a\) 的範圍為 \(a \in \)[__________, __________]
[選填題]\(A\) 關於 \(y = a\) 對稱點 \(A'(-1,2a - 1)\)，直線 \(L\) 為 \(A'B\)，方程 \((1 - a)x - y + a = 0\)。圓心 \((3,0)\) 到 \(L\) 距離 \(\leq 1\)，即 \(\frac{|3(1 - a) + a|}{\sqrt{(1 - a)^2 + 1}} \leq 1\)，化簡 \(3a^2 - 10a + 7 \leq 0\)，解得 \(1 \leq a \leq \frac{7}{3}\)。答案：\([1, \frac{7}{3}]\)
坐標平面上,一圓$C$與直線 \(L_1:x – y = 1\) 以及直線 \(L_2:x – y = 5\) 所截的弦長皆為 $14$。則此圓的面積為 \(\boxed{~~~~~~~~~~}\pi\)。
[選填][題組:第18-20題]
20. (承19.題) 試求點A到直線BQ的距離，並求四邊形PABQ的面積。(非選擇題，6分)
\( \overrightarrow{BQ} = (\frac{14}{25}, \frac{48}{25}) // (7, 24) \)，直線 \( BQ \) 方程式：\( 24x - 7y = -48 \)
點 \( A(1,0) \) 到直線距離 \( d = \frac{|24 \times 1 - 7 \times 0 + 48|}{\sqrt{24^2+(-7)^2}} = \frac{72}{25} \)
四邊形PABQ為梯形，面積 = \( \frac{(AP+BQ) \times d}{2} = \frac{(1+2) \times \frac{72}{25}}{2} = \frac{108}{25} \)
坐標平面上，設 \(L_1\)、\(L_2\) 為通過點 \((3, 1)\) 且斜率分別為 \(m\)、\(-m\) 的兩條直線，其中 \(m\) 為一實數。另設 \(\Gamma\) 為圓心在原點的一個圓。已知 \(\Gamma\) 與 \(L_1\) 交於相異兩點 \(A\)、\(B\)，且知圓心到 \(L_1\) 的距離為 1，又 \(\Gamma\) 與 \(L_2\) 相切，則弦 \(\overline{AB}\) 的長度為 __________。（化為最簡分數）
[選填題]一、(2) 試求直線 \(L\) 的方程式。
[非選擇題]設直線 \(L: 4x-3y+k=0\)（法向量為(4,-3)）
A到L距離：\(\frac{|4(-3)-3(4)+k|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}} = \frac{|-12-12+k|}{5} = \frac{|k-24|}{5}\)
B到L距離：\(\frac{|4(3)-3(2)+k|}{5} = \frac{|12-6+k|}{5} = \frac{|k+6|}{5}\)
依題意：\(\frac{|k-24|}{5} = 5 \times \frac{|k+6|}{5}\) ⇒ \(|k-24| = 5|k+6|\)
平方：\((k-24)^2 = 25(k+6)^2\)
\(k^2-48k+576 = 25k^2+300k+900\)
\(24k^2+348k+324=0\) ⇒ \(2k^2+29k+27=0\)
\((2k+27)(k+1)=0\) ⇒ \(k=-13.5\) 或 \(k=-1\)
但A,B在L兩側，需滿足\((4(-3)-3(4)+k)(4(3)-3(2)+k) \lt 0\)
檢驗：
k=-13.5：\((-12-12-13.5)(12-6-13.5)=(-37.5)(-7.5) \gt 0\)（同側）
k=-1：\((-12-12-1)(12-6-1)=(-25)(5) \lt 0\)（異側）
故 \(k=-1\)，直線 \(L: 4x-3y-1=0\)
答案：\(4x-3y-1=0\)
設Γ為坐標平面上通過$A(7,0)$與\(B(0,\frac{7}{2})\)兩點的圓。試選出正確的選項。
(1)Γ的半徑大於或等於5
(2)當Γ的半徑達到最小可能值時，Γ通過原點
(3)Γ與直線\(x + 2y = 6\)有交點
(4)Γ的圓心不可能在第四象限
(5)若Γ的圓心在第三象限，則Γ的半徑大於8
在坐標平面上，一圓心在\(y\)軸正向上的圓，與直線\(y = mx\)相切，其中\(m>0\)。若此圓圓心與\(x\)軸的距離和切點與\(x\)軸的距離之比值為5，則\(m=\frac{(12)}{(13)}\)（化成最簡分數）。
[選填題]