坐標平面上兩圖形 \(\Gamma_1\)、\(\Gamma_2\) 的方程式分別為：\(\Gamma_1 : (x+1)^2 + y^2 = 1\)、\(\Gamma_2 : (x+y)^2 = 1\)。請問 \(\Gamma_1\)、\(\Gamma_2\) 共有幾個交點？
(1) $1$ 個
(2) $2$ 個
(3) $3$ 個
(4) $4$ 個
(5) $0$ 個。
答案
圖形分析
109學測數學考科-07
坐標平面上，函數圖形 \(y = -\sqrt{3}x^3\) 上有兩點 \(P, Q\) 到原點距離皆為 1。已知點 \(P\) 坐標為 \((\cos\theta, \sin\theta)\)，試問點 \(Q\) 坐標為何？
(1) \((\cos(-\theta), \sin(-\theta))\)
(2) \((-\cos\theta, \sin\theta)\)
(3) \((\cos(-\theta), -\sin\theta)\)
(4) \((-\cos\theta, \sin(-\theta))\)
(5) \((\cos\theta, -\sin\theta)\)。
答案
110學測數學考科_06
坐標平面上有一邊長為 3 的正六邊形 \( ABCDEF \)，其中 \( A(3,0)\cdot D(-3,0) \)。
試問橢圓 \( \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{7}=1 \) 與正六邊形 \( ABCDEF \) 有多少個交點？
(1) 0
(2) 2
(3) 4
(4) 6
(5) 8
答案
110學測數學考科_D
在坐標平面上，\( \Gamma \) 是邊長為 4 的正方形，其中心位在點 (1, 1)，且各邊與坐標軸平行。已知函數 \( y = a \times 2^x \) 的圖形與 \( \Gamma \) 相交，其中 \( a \) 為實數，則 \( a \) 的最大可能範圍為 \(\underline{\qquad\qquad} \leq a \leq \underline{\qquad\qquad}\)。
[選填題]
答案
114學測數學A考科_04
坐標平面上，x 坐標與 y 坐標均為整數的點稱為格子點。試問在函數圖形 \(y=\log_2 x\)、x 軸與直線 \(x=61\) 所圍有界區域的內部 (不含邊界) 共有多少個格子點？
(1) 88
(2) 89
(3) 90
(4) 91
(5) 92
答案
區域為 \(1 \lt x \lt 61\)，\(0 \lt y \lt \log_2 x\)。
當 \(y=1\)，\(2 \lt x \lt 61\)，\(x=3\) 到 \(30\)，共28個；
\(y=2\)，\(4 \lt x \lt 61\)，\(x=5\) 到 \(30\)，共26個；
\(y=3\)，\(8 \lt x \lt 61\)，\(x=9\) 到 \(30\)，共22個；
\(y=4\)，\(16 \lt x \lt 61\)，\(x=17\) 到 \(30\)，共14個；
總和 \(28+26+22+14=90\)，故選(3)。
107指考數學乙試題-02
有一配置一輛運貨車之快遞公司，要將貨品運送至 \( A, B, C, D, E \) 五個不同地點。已知這五個地點只有下列連絡道路，其所需時間如下表。
| 路線 | \( A \leftrightarrow B \) | \( A \leftrightarrow C \) | \( A \leftrightarrow D \) | \( B \leftrightarrow E \) | \( C \leftrightarrow D \) | \( C \leftrightarrow E \) | \( D \leftrightarrow E \) |
| 行車時間 | 1小時 | 1小時 | 2小時 | 5小時 | 1小時 | 1小時 | 1小時 |
今有配送任務必須從A站出發，最後停留在E站，每一站至少經過一次，且路線可以重複，試問至少要花多少小時才能完成任務？
(1) 4
(2) 5
(3) 6
(4) 7
(5) 8
106指考數學乙試題-04
考慮實數 \( a, b, c \) ，其中 \( a \neq 0 \) 。令 \(\Gamma\) 為 \( y = ax^2 + bx + c \) 的圖形。試選出正確的選項。
(1) 若 \( a \gt 0 \) ，則 \(\Gamma\) 會通過第一象限
(2) 若 \( a \lt 0 \) ，則 \(\Gamma\) 會通過第一象限
(3) 若 \( b^2 – 4ac \gt 0 \) ，則 \(\Gamma\) 會通過第一象限
(4) 若 \( c \gt 0 \) ，則 \(\Gamma\) 會通過第一象限
(5) 若 \( c \lt 0 \) ，則 \(\Gamma\) 會通過第一象限
106指考數學乙試題-06
坐標平面上，\(\Gamma_1\) 為 \(y = \log_2 x\) 的圖形，\(\Gamma_2\) 為 \(y = \log_{\frac{1}{2}} x\) 的圖形。下列關於 \(\Gamma_1\) 與 \(\Gamma_2\) 的敘述，試選出正確的選項。
(1) \(\Gamma_1\) 的圖形凹口向下
(2) \(\Gamma_2\) 的圖形凹口向下
(3) \(\Gamma_1\) 的圖形均在 \(x\) 軸的上方
(4) \(\Gamma_2\) 的圖形均在 \(y\) 軸的右方
(5) \(\Gamma_1\) 與 \(\Gamma_2\) 恰交於一點
答案
\(\Gamma_1: y=\log_2 x\)，\(\Gamma_2: y=\log_{1/2} x = -\log_2 x\)。
(1) \(\Gamma_1\) 的二階導數 \(y'' = -\frac{1}{x^2\ln 2} \lt 0\)，所以凹口向下，正確。
(2) \(\Gamma_2\) 的二階導數 \(y'' = \frac{1}{x^2\ln 2} \gt 0\)，凹口向上，錯誤。
(3) \(\Gamma_1\) 當 \(0 \lt x \lt 1\) 時 y<0，錯誤。
(4) \(\Gamma_2\) 定義域 x>0，所以在 y 軸右方，正確。
(5) 解 \(\log_2 x = -\log_2 x \) ⇒ \(2\log_2 x = 0 \) ⇒ \(x=1\)，交點 (1,0)，正確。
答案為 (1)(4)(5)。
114分科測驗數學甲試卷-04
試從下列坐標平面上的二次曲線中，選出與所有的鉛直線都相交的選項？
(1) \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)
(2) \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1\)
(3) \(-\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)
(4) \(y=\frac{4}{9}x^2\)
(5) \(x=\frac{4}{9}y^2\)
答案
1. 鉛直線為 \(x=a\)（\(a\) 為任意實數），代入曲線方程看是否有解；
2. (1)橢圓：\(x=a\) 代入得 \(y^2=4(1-\frac{a^2}{9})\)，\(|a|>3\) 時無解，不選；
3. (2)雙曲線：\(x=a\) 代入得 \(y^2=4(\frac{a^2}{9}-1)\)，\(|a|<3\) 時無解，不選；
4. (3)雙曲線：\(x=a\) 代入得 \(y^2=4(\frac{a^2}{9}+1)\)，恆有解，選；
5. (4)拋物線：\(x=a\) 代入得 \(y=\frac{4}{9}a^2\)，恆有解，選；
6. (5)拋物線：\(x=a\) 代入得 \(y^=\frac{9a}{4}\)，\(a<0\) 時無解，不選。答案：(3)(4)