方程組 \(\begin{cases} x + 2y + 3z = 0 \\ 2x + y + 3z = 6 \\ x – y = 6 \\ x – 2y – z = 8 \end{cases}\) 經高斯消去法計算後，其增廣矩陣可化簡為 \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)，則 \(a = \bigcirc, b = \bigcirc, c = \bigcirc, d = \bigcirc\)。
[選填題]設 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \)。若 \( A^4 = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \)，則 \( a + b + c + d \) 之值為下列哪一個選項？
(1) 158
(2) 162
(3) 166
(4) 170
(5) 174
計算 \( A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 8 \\ 0 & 9 \end{bmatrix} \)，再計算 \( A^4 = A^2 \cdot A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 8 \\ 0 & 9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 8 \\ 0 & 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 80 \\ 0 & 81 \end{bmatrix} \)，得 \( a=1, b=80, c=0, d=81 \)，和為 162。(2)
18-20 題為題組
已知 \(A = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \end{bmatrix}\)，\(B = \begin{bmatrix} b_1 & b_2 \\ b_3 & b_4 \end{bmatrix}\) 皆為坐標平面上以原點 \(O\) 為中心，逆時針旋轉一銳角的旋轉矩陣，且滿足 \(A^2 = B^3 = \begin{bmatrix} 0 & c \\ 1 & d \end{bmatrix}\)，其中 \(c \cdot d\) 為實數。
設點 \(P(1, 1)\) 經 \(A^3\) 變換後為點 \(Q\)，且點 \(Q\) 經 \(B^4\) 變換後為點 \(R\)。根據上述，試回答下列問題。
18. 試問 \(c\) 之值為何？(單選題，3分)
(1) 0 (2) -1 (3) 1 (4) \(-\frac{1}{2}\) (5) \(\frac{1}{2}\)
18-20 題為題組
19. 試求點 \(Q\) 的坐標，以及 \(\overset{\rightharpoonup}{OR}\) 與向量 \((1, 0)\) 的夾角。(非選擇題，6分)
由18題得 \(\theta_1=45^\circ\)，\(A^3\) 為旋轉 \(135^\circ\) 矩陣，將 \(P(1,1)\) 變換得 \(Q(-\sqrt{2},0)\)。
由 \(B^3\) 得 \(\theta_2=30^\circ\)，\(B^4\) 為旋轉 \(120^\circ\) 矩陣，將 \(Q\) 變換得 \(R(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{6}}{2})\)。
計算 \(\overset{\rightharpoonup}{OR}\) 與 \((1,0)\) 夾角：\(\cos\theta=\frac{1}{2}\)，\(\theta=60^\circ\)。
在坐標平面上給定三點 \(A(1,0), B(0,1), C(-1,0)\)，令 \(\Gamma\) 為 \(\triangle ABC\) 經矩陣 \(T=\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ a & 1 \end{bmatrix}\) 變換後的圖形，其中 \(a\) 為實數。試選出正確的選項。
(1) 若 \(a=0\)，則 \(\Gamma\) 為等腰直角三角形
(2) \(\triangle ABC\) 的邊上至少有兩點經 \(T\) 變換後坐標不變
(3) \(\Gamma\) 必有部分落在第四象限
(4) 平面上找到一個圖形 \(\Omega\) 經 \(T\) 變換後為 \(\triangle ABC\)
(5) \(\Gamma\) 的面積為定值
令 \(A\) 為以原點為中心逆時針旋轉 \(\theta\) 角的旋轉矩陣，且令 \(B\) 為以 \(x\) 軸為鏡射軸（對稱軸）的鏡射矩陣。令 \(A=\begin{bmatrix}a_1&a_2\\a_3&a_4\end{bmatrix}\)、\(BA=\begin{bmatrix}c_1&c_2\\c_3&c_4\end{bmatrix}\)。已知 \(a_1+a_2+a_3+a_4=2(c_1+c_2+c_3+c_4)\)，則 \(tan\theta=\)__________（化為最簡分數）。
[選填題]\( A = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \)，\( B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \)
\( BA = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ -\sin\theta & -\cos\theta \end{bmatrix} \)
左式：\( a_1+a_2+a_3+a_4 = 2\cos\theta \)
右式：\( 2(c_1+c_2+c_3+c_4) = 2(\cos\theta - \sin\theta - \sin\theta - \cos\theta) = -4\sin\theta \)
得 \( 2\cos\theta = -4\sin\theta \Rightarrow \tan\theta = -\frac{1}{2} \)
坐標平面上一矩形，其頂點分別為\(A(3,-2)\)、\(B(3,2)\)、\(C(-3,2)\)、\(D(-3,-2)\)。設二階方陣\(M\)為在坐標平面上定義的線性變換，可將\(A\)映射到\(B\)且將\(B\)映射到\(C\)。請選出正確的選項。
(1)\(M\)定義的線性變換是鏡射變換
(2)\(M\begin{bmatrix}3&3\\ -2&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3& – 3\\ 2&2\end{bmatrix}\)
(3)\(M\)定義的線性變換將\(C\)映射到\(D\)且將\(D\)映射到\(A\)
(4)\(M\)的行列式值為\(-1\)
(5)\(M^{3}=-M\)
設\(M=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\)，由\(M\begin{bmatrix}3\\ -2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}\)，\(M\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-3\\2\end{bmatrix}\)可得：
\(\begin{cases}3a-2b = 3\\3c-2d = 2\\3a + 2b=-3\\3c + 2d = 2\end{cases}\)，解得\(\begin{cases}a = 0\\b =-\frac{3}{2}\\c=\frac{2}{3}\\d = 0\end{cases}\)，所以\(M=\begin{bmatrix}0&-\frac{3}{2}\\\frac{2}{3}&0\end{bmatrix}\)。
(1) \(M\)不是鏡射變換，(1)錯誤。
(2) \(M\begin{bmatrix}3&3\\ -2&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&-\frac{3}{2}\\\frac{2}{3}&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3&3\\ -2&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3& - 3\\ 2&2\end{bmatrix}\)，(2)正確。
(3) \(M\begin{bmatrix}-3\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&-\frac{3}{2}\\\frac{2}{3}&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-3\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-3\\ - 2\end{bmatrix}\)，\(M\begin{bmatrix}-3\\ - 2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&-\frac{3}{2}\\\frac{2}{3}&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-3\\ - 2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\ - 2\end{bmatrix}\)，所以\(M\)將\(C\)映射到\(D\)且將\(D\)映射到\(A\)，(3)正確。
(4) \(M\)的行列式值\(\vert M\vert=0\times0-(-\frac{3}{2})\times\frac{2}{3}=1\neq - 1\)，(4)錯誤。
(5) \(M^{2}=\begin{bmatrix}0&-\frac{3}{2}\\\frac{2}{3}&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&-\frac{3}{2}\\\frac{2}{3}&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\end{bmatrix}\)，\(M^{3}=M^{2}\cdot M=\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&-\frac{3}{2}\\\frac{2}{3}&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&\frac{3}{2}\\-\frac{2}{3}&0\end{bmatrix}=-M\)，(5)正確。
答案為(2)(3)(5)。
在坐標平面上，考慮二階方陣\(A=\frac{1}{5}\begin{bmatrix}4&-3\\3&4\end{bmatrix}\)所定義的線性變換。對於平面上異於原點\(O\)的點\(P_1\)，設\(P_1\)經\(A\)變換成\(P_2\)，\(P_2\)經\(A\)變換成\(P_3\)。令\(a = \overline{OP_1}\)。
(1)試求\(\sin\angle P_1OP_3\)。(4分)
(2)試以\(a\)表示\(\triangle P_1P_2P_3\)的面積。(4分)
(3)假設\(P_1\)是圖形\(y=\frac{1}{10}x^{2}-10\)上的動點，試求\(\triangle P_1P_2P_3\)面積的最小可能值。(4分)
已知旋轉矩陣 \( A = \frac{1}{5}\begin{bmatrix} 4 & -3 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \)，其中 \( \cos\theta = \frac{4}{5} \)，\( \sin\theta = \frac{3}{5} \)。
#### (1) 求 \( \sin\angle P_1OP_3 \)
\( P_3 \) 是 \( P_1 \) 旋轉 \( 2\theta \) 所得，故 \( \angle P_1OP_3 = 2\theta \)，利用二倍角公式：
\[
\sin\angle P_1OP_3 = \sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta = 2 \times \frac{3}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{24}{25}
\]
#### (2) 求 \( \triangle P_1P_2P_3 \) 的面積
設 \( |\overrightarrow{OP_1}| = |\overrightarrow{OP_2}| = |\overrightarrow{OP_3}| = a \)，利用面積公式：
\[
\triangle P_1P_2P_3 = \triangle OP_1P_2 + \triangle OP_2P_3 - \triangle OP_1P_3
\]
代入三角形面積公式 \( \frac{1}{2}a^2\sin\alpha \)：
\[
\triangle P_1P_2P_3 = \frac{1}{2}a^2\sin\theta + \frac{1}{2}a^2\sin\theta - \frac{1}{2}a^2\sin2\theta = a^2\sin\theta - \frac{1}{2}a^2\sin2\theta
\]
代入 \( \sin\theta = \frac{3}{5} \)、\( \sin2\theta = \frac{24}{25} \)：
\[
\triangle P_1P_2P_3 = a^2 \times \frac{3}{5} - \frac{1}{2}a^2 \times \frac{24}{25} = \frac{3}{25}a^2
\]
#### (3) 求面積的最小值
設 \( P_1(k, \frac{1}{10}k^2 - 10) \)，則 \( a^2 = |\overrightarrow{OP_1}|^2 = k^2 + \left(\frac{1}{10}k^2 - 10\right)^2 \)，面積函數為：
\[
f(k) = \frac{3}{25}\left[ k^2 + \left(\frac{1}{10}k^2 - 10\right)^2 \right]
\]
求導並令 \( f'(k)=0 \)：
\[
f'(k) = \frac{3}{25}\left[ 2k + 2\left(\frac{1}{10}k^2 - 10\right) \times \frac{1}{5}k \right] = 0
\]
化簡得 \( k(5 + \frac{1}{10}k^2 - 10) = 0 \)，解得 \( k=0 \) 或 \( k=\pm5\sqrt{2} \)。
計算對應面積：
- \( k=0 \) 時，\( f(0) = 12 \)；
- \( k=\pm5\sqrt{2} \) 時，\( f(\pm5\sqrt{2}) = 9 \)。
故面積最小值為 \( \boxed{9} \)。
在坐標平面上，定義一個坐標變換\([\begin{array}{l}y_{1}\\y_{2}\end{array}]=[\begin{array}{cc}1 & 0\\ -1 & 2\end{array}][\begin{array}{l}x_{1}\\x_{2}\end{array}]+[\begin{array}{l}-2\\3\end{array}]\)，其中\([\begin{array}{l}x_{1}\\x_{2}\end{array}]\)代表舊坐標，\([\begin{array}{l}y_{1}\\y_{2}\end{array}]\)代表新坐標。若舊坐標為\([\begin{array}{l}r\\s\end{array}]\)的點\(P\)經此坐標變換得到的新坐標為\([\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}]\)，則\((r, s)=\)(________,________)。
[選填題]由坐標變換公式可得\(\begin{cases}y_{1}=x_{1}-2\\y_{2}=-x_{1}+2x_{2}+3\end{cases}\)。
已知新坐標\(y_{1}=1\)，\(y_{2}=-2\)，代入可得\(\begin{cases}1=r - 2\\-2=-r + 2s+3\end{cases}\)。
由\(1=r - 2\)，解得\(r = 3\)。
將\(r = 3\)代入\(-2=-r + 2s+3\)，即\(-2=-3 + 2s+3\)，解得\(s=-1\)。
所以\((r, s)=(3,-1)\) ，即答案依次填\(3\)、\(-1\)（原題中第三個空無值，按正確答案只有兩個值）。
設二階方陣\(M\)為在坐標平面上定義的線性變換，\(O\)為原點。已知\(M\)可將不共線的三點\(O\)、\(A\)、\(B\)映射至不共線的三點\(O\)、\(A’\)、\(B’\)，試選出正確的選項。
(1)\(M\)為可逆矩陣
(2)若\(M\)將點\(C\)映射至點\(C’\)且\(\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}\)，則\(\overrightarrow{OC}’=2\overrightarrow{OA}’+3\overrightarrow{OB}’\)
(3)\(\angle AOB=\angle A’OB’\)
(4)\(\overline{OA}:\overline{OB}=\overline{OA’}:\overline{OB’}\)
(5)\(\triangle OA’B’\)的面積\(=\triangle OAB\)的面積\(\times|det(M)|\)
