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108指考數學甲試題–A

在坐標平面上，定義一個坐標變換$[\begin{array}{l}y_{1}\\y_{2}\end{array}]=[\begin{array}{cc}1 & 0\\ -1 & 2\end{array}][\begin{array}{l}x_{1}\\x_{2}\end{array}]+[\begin{array}{l}-2\\3\end{array}]$，其中$[\begin{array}{l}x_{1}\\x_{2}\end{array}]$代表舊坐標，$[\begin{array}{l}y_{1}\\y_{2}\end{array}]$代表新坐標。若舊坐標為$[\begin{array}{l}r\\s\end{array}]$的點$P$經此坐標變換得到的新坐標為$[\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}]$，則$(r, s)=$(________,________)。

答案

由坐標變換公式可得$\begin{cases}y_{1}=x_{1}-2\\y_{2}=-x_{1}+2x_{2}+3\end{cases}$。
已知新坐標$y_{1}=1$，$y_{2}=-2$，代入可得$\begin{cases}1=r - 2\\-2=-r + 2s+3\end{cases}$。
由$1=r - 2$，解得$r = 3$。
將$r = 3$代入$-2=-r + 2s+3$，即$-2=-3 + 2s+3$，解得$s=-1$。
所以$(r, s)=(3,-1)$ ，即答案依次填$3$、$-1$（原題中第三個空無值，按正確答案只有兩個值）。報錯
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109指考數學甲(補考)試題-04

設二階方陣$M$為在坐標平面上定義的線性變換，$O$為原點。已知$M$可將不共線的三點$O$、$A$、$B$映射至不共線的三點$O$、$A’$、$B’$，試選出正確的選項。
(1)$M$為可逆矩陣
(2)若$M$將點$C$映射至點$C’$且$\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}$，則$\overrightarrow{OC}’=2\overrightarrow{OA}’+3\overrightarrow{OB}’$
(3)$\angle AOB=\angle A’OB’$
(4)$\overline{OA}:\overline{OB}=\overline{OA’}:\overline{OB’}$
(5)$\triangle OA’B’$的面積$=\triangle OAB$的面積$\times|det(M)|$

答案

(1) 因為$M$將不共線的三點$O$、$A$、$B$映射至不共線的三點$O$、$A'$、$B'$，說明$M$是一一映射，所以$M$為可逆矩陣，(1)正确。
(2) 由線性變換的性質，若$\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}$，則$\overrightarrow{OC}'=M\overrightarrow{OC}=M(2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}) = 2M\overrightarrow{OA}+3M\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OA}'+3\overrightarrow{OB}'$，(2)正确。
(3) 線性變換不一定保持角度不變，所以$\angle AOB$不一定等於$\angle A'OB'$，(3)错误。
(4) 線性變換不一定保持線段比例不變，所以$\overline{OA}:\overline{OB}$不一定等於$\overline{OA'}:\overline{OB'}$，(4)错误。
(5) 根据線性變換的性質，$\triangle OA'B'$的面積$=\triangle OAB$的面積$\times|det(M)|$，(5)正确。
答案为(1)(2)(5)。報錯
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109指考數學甲試題-08

設二階實係數方陣$A$代表坐標平面的一個鏡射變換且滿足$A^{3}=\begin{bmatrix}0& – 1\\ – 1&0\end{bmatrix}$；另設二階實係數方陣$B$代表坐標平面的一個(以原點為中心的)旋轉變換且滿足$B^{3}=\begin{bmatrix}-1&0\\0& – 1\end{bmatrix}$，試選出正確的選項。
(1) $A$恰有三種可能
(2) $B$恰有三種可能
(3) $AB = BA$
(4) 二階方陣$AB$代表坐標平面的一個旋轉變換
(5) $BABA=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$

答案

(1) 設$A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$，因為$A$是鏡射變換，$A^{2}=I$（單位矩陣），又$A^{3}=\begin{bmatrix}0& - 1\\ - 1&0\end{bmatrix}$，可得$A=\begin{bmatrix}0& - 1\\ - 1&0\end{bmatrix}A^{-1}$，而$A^{-1}=A$（鏡射變換性質），解方程組可得$A$有兩種可能，(1)錯誤。 (2) 設$B=\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}$，由$B^{3}=\begin{bmatrix}-1&0\\0& - 1\end{bmatrix}$，即$\begin{bmatrix}\cos3\theta&-\sin3\theta\\\sin3\theta&\cos3\theta\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1&0\\0& - 1\end{bmatrix}$，$3\theta=(2k + 1)\pi,k\in Z$，$\theta=\frac{(2k + 1)\pi}{3},k = 0,1,2$，所以$B$恰有三種可能，(2)正確。 (3) 取$A$、$B$的具體矩陣計算，$AB\neq BA$，(3)錯誤。 (4) 因為$A$是鏡射變換，$B$是旋轉變換，$AB$不是旋轉變換，(4)錯誤。 (5) $BABA=(BA)^{2}$，計算可得$(BA)^{2}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$，(5)正確。答案為(2)(5)。 ChatGPT DeepSeek

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112分科測驗數學甲考科試題-17

已知在$\Gamma$上的一點$P$經由此旋轉後得到的點$P’$落在$x$軸上，且$P’$點的$x$坐標大於$0$。試求$P$點的坐標。

答案

已知$\Gamma'$上長軸端點$\left(-\frac{5}{3}, \frac{2\sqrt{5}}{3}\right)$來自原橢圓$\Gamma$的上頂點$(0, \sqrt{5})$（因$\Gamma$長軸在y軸，長軸長$2\sqrt{5}$）。旋轉矩陣$R = \begin{bmatrix}\frac{2}{3} & -\frac{\sqrt{5}}{3} \\ \frac{\sqrt{5}}{3} & \frac{2}{3}\end{bmatrix}$
$令y=0代入\Gamma'得x=\frac{3}{\sqrt{2}}\\
\therefore \begin{bmatrix}\frac{3}{\sqrt{2}},0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\frac{2}{3} & -\frac{\sqrt{5}}{3} \\ \frac{\sqrt{5}}{3} & \frac{2}{3}\end{bmatrix}$
利用反方陣求得$原座標P(x,y):x = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$，$y = -\dfrac{\sqrt{5}}{3} \cdot \dfrac{3}{\sqrt{2}} = -\dfrac{\sqrt{10}}{2}$。
答案：$\boxed{\left(\sqrt{2}, -\dfrac{\sqrt{10}}{2}\right)}$ 報錯
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111分科數學甲試題-05

坐標平面上有一圖形$\Gamma$，其方程式為$(x – 1)^{2}+(y – 1)^{2}=101$ 。試選出正確的選項。(1)$\Gamma$與$x$軸負向、$y$軸負向分別交於$(-9,0)$、$(0,-9)$(2)$\Gamma$上$x$坐標最大的點是點$(11,0)$(3)$\Gamma$上的點與原點距離的最大值為$\sqrt{2}+\sqrt{101}$(4)$\Gamma$在第三象限的點之極坐標可用$[9,\theta]$表示，其中$\pi<\theta<\frac{3}{2}\pi$(5)$\Gamma$經旋轉線性變換後，其圖形仍可用一個不含$xy$項的二元二次方程式表示

答案

令$y = 0$ ，則$(x - 1)^{2}+(0 - 1)^{2}=101$ ，即$(x - 1)^{2}=100$ ，解得$x - 1=\pm10$ ，$x = 11$或$x=-9$ ；令$x = 0$ ，則$(0 - 1)^{2}+(y - 1)^{2}=101$ ，即$(y - 1)^{2}=100$ ，解得$y - 1=\pm10$ ，$y = 11$或$y=-9$ ，所以(1)正確。
圓的標準方程為$(x - a)^{2}+(y - b)^{2}=r^{2}$，此圓圓心為$(1,1)$ ，半徑$r=\sqrt{101}$ ，$\Gamma$上$x$坐標最大的點是$(1+\sqrt{101},1)$ ，(2)錯誤。
圓心$(1,1)$到原點距離為$\sqrt{(1 - 0)^{2}+(1 - 0)^{2}}=\sqrt{2}$ ，圓上點與原點距離最大值為圓心到原點距離加上半徑，即$\sqrt{2}+\sqrt{101}$ ，(3)正確。
圓在第三象限的點到原點距離小於半徑$\sqrt{101}>9$ ，(4)錯誤。
圓經旋轉線性變換後仍為圓，可用不含$xy$項的二元二次方程式表示，(5)正確。答案為(1)(3)(5)。報錯
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111分科數學甲試題-06

假設2階方陣$\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$所代表的線性變換將坐標平面上三點$O(0,0)$ 、$A(1,0)$ 、$B(0,1)$分別映射到$O(0,0)$ ，$A'(3,\sqrt{3})$ ，$B'(-\sqrt{3},3)$ ，並將與原點距離為1的點$C(x,y)$映射到點$C'(x’,y’)$ 。試選出正確的選項。(1)行列式$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=6$(2)$\overline{OC’}=2\sqrt{3}$(3)$\overrightarrow{OC}$和$\overrightarrow{OC’}$的夾角為$60^{\circ}$(4)有可能$y = y’$(5)若$x < y$則$x’ < y’$

答案

由線性變換性質，$\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\\sqrt{3}\end{bmatrix}$得$a = 3$，$c=\sqrt{3}$；$\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-\sqrt{3}\\3\end{bmatrix}$得$b=-\sqrt{3}$，$d = 3$。行列式$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=3\times3-(-\sqrt{3})\times\sqrt{3}=12$，(1)錯誤。$\overrightarrow{OC'}=\begin{bmatrix}3&-\sqrt{3}\\\sqrt{3}&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3x-\sqrt{3}y\\\sqrt{3}x + 3y\end{bmatrix}$，$\overline{OC'}=\sqrt{(3x-\sqrt{3}y)^{2}+(\sqrt{3}x + 3y)^{2}} = 2\sqrt{3}\sqrt{x^{2}+y^{2}} = 2\sqrt{3}$，(2)正確。$\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OC'}=3x^{2}+3y^{2}=3$，$\cos\angle COC'=\frac{\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OC'}}{\vert\overrightarrow{OC}\vert\vert\overrightarrow{OC'}\vert}=\frac{3}{1\times2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，夾角為$30^{\circ}$，(3)錯誤。令$y = y'$，即$-\sqrt{3}x + 3y = y$，$x=\frac{2y}{\sqrt{3}}$，有可能成立，(4)正確。取$x = 0$，$y = 1$，$x'=-\sqrt{3}$，$y' = 3$，此時$x < y$，但$x' < y'$不成立，(5)錯誤。答案為(2)(4)。報錯
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111學測數學B試題-09

設$f(x) = 2x^{3}-3x + 1$ ,下列關於函數$y = f(x)$的圖形之描述,試選出正確的選項。(1) $y = f(x)$的圖形通過點$(1,0)$；(2) $y = f(x)$的圖形與$x$軸只有一個交點；(3) 點$(1,0)$是$y = f(x)$的圖形之對稱中心；(4) $y = f(x)$的圖形在對稱中心附近會近似於一直線$y = 3x – 3$；(5) $y = 3x^{3}-6x^{2}+2x$的圖形可由$y = f(x)$的圖形經適當平移得到

答案

1. 將$x = 1$代入$f(x) = 2x^{3}-3x + 1$,得$f(1)=2 - 3 + 1 = 0$,所以$y = f(x)$的圖形通過點$(1,0)$,(1)正確。
2. 對$f(x)$求導$f^\prime(x)=6x^{2}-3$,令$f^\prime(x)=0$,解得$x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$,$f(x)$在$x$軸上不止一個交點,(2)錯誤。
3. 三次函數$y = ax^{3}+bx^{2}+cx + d$的對稱中心為$(-\frac{b}{3a},f(-\frac{b}{3a}))$,$f(x) = 2x^{3}-3x + 1$中$b = 0$,對稱中心為$(0,f(0))=(0,1)$,(3)錯誤。
4. 對$f(x)$求導$f^\prime(x)=6x^{2}-3$,在對稱中心$(0,1)$處斜率$f^\prime(0)= - 3$,在對稱中心附近近似直線為$y - 1 = - 3(x - 0)$即$y = - 3x + 1$,(4)錯誤。
5. $y = 3x^{3}-6x^{2}+2x$與$y = 2x^{3}-3x + 1$三次項係數不同,不能由平移得到,(5)錯誤。答案：(1) 報錯
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111學測數學B試題-12

設$a$, $b$, $c$都是非零的實數,且二次方程式$ax^{2}+bx + c = 0$的兩根都落在$1$和$3$之間。試選出兩根必定都落在$4$和$5$之間的方程式。(1) $a(x – 2)^{2}+b(x – 2)+c = 0$；(2) $a(x + 2)^{2}+b( x + 2)+c = 0$；(3) $a(2x – 7)^{2}+b(2x – 7)+c = 0$；(4) $a(2x + 7)^{2}+b(2x + 7)+c = 0$；(5) $a(3x – 11)^{2}+b(3x – 11)+c = 0$

答案

1. 對於$y = a(x - 2)^{2}+b(x - 2)+c$,令$t = x - 2$,則方程變為$at^{2}+bt + c = 0$,相當於原方程向右平移$2$個單位,根落在$3$和$5$之間,(1)錯誤。
2. 對於$y = a(x + 2)^{2}+b( x + 2)+c$,令$t = x + 2$,則方程變為$at^{2}+bt + c = 0$,相當於原方程向左平移$2$個單位,根落在$-1$和$1$之間,(2)錯誤。
3. 對於$y = a(2x - 7)^{2}+b(2x - 7)+c$,令$t = 2x - 7$,則$x=\frac{t + 7}{2}$,原方程根$1\lt x\lt3$,則$1\lt\frac{t + 7}{2}\lt3$,解得$-5\lt t\lt -1$,(3)錯誤。
4. 對於$y = a(2x + 7)^{2}+b(2x + 7)+c$,令$t = 2x + 7$,則$x=\frac{t - 7}{2}$,原方程根$1\lt x\lt3$,則$1\lt\frac{t - 7}{2}\lt3$,解得$9\lt t\lt13$,(4)錯誤。
5. 對於$y = a(3x - 11)^{2}+b(3x - 11)+c$,令$t = 3x - 11$,則$x=\frac{t + 11}{3}$,原方程根$1\lt x\lt3$,則$1\lt\frac{t + 11}{3}\lt3$,解得$-8\lt t\lt -2$,(5)錯誤。無正確選項報錯
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