圖形平移

已知\(\Gamma'\)上長軸端點\(\left(-\frac{5}{3}, \frac{2\sqrt{5}}{3}\right)\)來自原橢圓\(\Gamma\)的上頂點\((0, \sqrt{5})\)（因\(\Gamma\)長軸在y軸，長軸長\(2\sqrt{5}\)）。旋轉矩陣\(R = \begin{bmatrix}\frac{2}{3} & -\frac{\sqrt{5}}{3} \\ \frac{\sqrt{5}}{3} & \frac{2}{3}\end{bmatrix}\)
$令y=0代入\Gamma'得x=\frac{3}{\sqrt{2}}\\
\therefore \begin{bmatrix}\frac{3}{\sqrt{2}},0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\frac{2}{3} & -\frac{\sqrt{5}}{3} \\ \frac{\sqrt{5}}{3} & \frac{2}{3}\end{bmatrix}$
利用反方陣求得$原座標P(x,y):x = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$，\(y = -\dfrac{\sqrt{5}}{3} \cdot \dfrac{3}{\sqrt{2}} = -\dfrac{\sqrt{10}}{2}\)。
答案：\(\boxed{\left(\sqrt{2}, -\dfrac{\sqrt{10}}{2}\right)}\)

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令\(y = 0\) ，則\((x - 1)^{2}+(0 - 1)^{2}=101\) ，即\((x - 1)^{2}=100\) ，解得\(x - 1=\pm10\) ，\(x = 11\)或\(x=-9\) ；令\(x = 0\) ，則\((0 - 1)^{2}+(y - 1)^{2}=101\) ，即\((y - 1)^{2}=100\) ，解得\(y - 1=\pm10\) ，\(y = 11\)或\(y=-9\) ，所以(1)正確。
圓的標準方程為\((x - a)^{2}+(y - b)^{2}=r^{2}\)，此圓圓心為\((1,1)\) ，半徑\(r=\sqrt{101}\) ，\(\Gamma\)上\(x\)坐標最大的點是\((1+\sqrt{101},1)\) ，(2)錯誤。
圓心\((1,1)\)到原點距離為\(\sqrt{(1 - 0)^{2}+(1 - 0)^{2}}=\sqrt{2}\) ，圓上點與原點距離最大值為圓心到原點距離加上半徑，即\(\sqrt{2}+\sqrt{101}\) ，(3)正確。
圓在第三象限的點到原點距離小於半徑\(\sqrt{101}>9\) ，(4)錯誤。
圓經旋轉線性變換後仍為圓，可用不含\(xy\)項的二元二次方程式表示，(5)正確。答案為(1)(3)(5)。

由線性變換性質，\(\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\\sqrt{3}\end{bmatrix}\)得\(a = 3\)，\(c=\sqrt{3}\)；\(\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-\sqrt{3}\\3\end{bmatrix}\)得\(b=-\sqrt{3}\)，\(d = 3\)。行列式\(\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=3\times3-(-\sqrt{3})\times\sqrt{3}=12\)，(1)錯誤。\(\overrightarrow{OC'}=\begin{bmatrix}3&-\sqrt{3}\\\sqrt{3}&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3x-\sqrt{3}y\\\sqrt{3}x + 3y\end{bmatrix}\)，\(\overline{OC'}=\sqrt{(3x-\sqrt{3}y)^{2}+(\sqrt{3}x + 3y)^{2}} = 2\sqrt{3}\sqrt{x^{2}+y^{2}} = 2\sqrt{3}\)，(2)正確。\(\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OC'}=3x^{2}+3y^{2}=3\)，\(\cos\angle COC'=\frac{\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OC'}}{\vert\overrightarrow{OC}\vert\vert\overrightarrow{OC'}\vert}=\frac{3}{1\times2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，夾角為\(30^{\circ}\)，(3)錯誤。令\(y = y'\)，即\(-\sqrt{3}x + 3y = y\)，\(x=\frac{2y}{\sqrt{3}}\)，有可能成立，(4)正確。取\(x = 0\)，\(y = 1\)，\(x'=-\sqrt{3}\)，\(y' = 3\)，此時\(x < y\)，但\(x' < y'\)不成立，(5)錯誤。答案為(2)(4)。

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