哇來找 > 多項式 > Page 3

多項式

Posted in

108指考數學甲試題-07

已知三次實係數多項式函數\(f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx + 2\)，在\(-2\leq x\leq1\)範圍內的圖形如示意圖。試選出正確的選項。

(1)\(a>0\)
(2)\(b>0\)
(3)\(c>0\)
(4)方程式\(f(x)=0\)恰有三實根
(5)\(y = f(x)\)圖形的反曲點的\(y\)坐標為正

[多選題]
答案

(1) 觀察函數圖像，當\(x\)趨向正無窮時，\(y\)也趨向正無窮，對於三次函數\(y = ax^{3}+bx^{2}+cx + d\)（\(a\neq0\)），當\(a>0\)時才有此性質，所以\(a>0\)，(1)正確。
(2) 對\(f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx + 2\)求導得\(f'(x)=3ax^{2}+2bx + c\)，其對稱軸為\(x = -\frac{b}{3a}\)。由圖像可知，函數的對稱軸在\(y\)軸左側，即\(-\frac{b}{3a}<0\)，又因為\(a>0\)，所以\(b>0\)，(2)正確。
(3) 由\(f(x)\)的圖像可知，在\(x = 0\)處，函數的切線斜率為負。\(f'(x)=3ax^{2}+2bx + c\)，\(f'(0)=c\)，所以\(c<0\)，(3)錯誤。 (4) 從給定區間\(-2\leq x\leq1\)的圖像能看出，函數\(y = f(x)\)的圖像與\(x\)軸有三個交點，這表明方程式\(f(x)=0\)恰有三個實根，(4)正確。 (5) 先對\(f'(x)=3ax^{2}+2bx + c\)求導得\(f''(x)=6ax + 2b\)，令\(f''(x)=0\)，可得反曲點的\(x\)坐標為\(x = -\frac{b}{3a}\)。將\(x = -\frac{b}{3a}\)代入\(f(x)\)得\(y = f(-\frac{b}{3a})=a(-\frac{b}{3a})^{3}+b(-\frac{b}{3a})^{2}+c(-\frac{b}{3a}) + 2\)，化簡可得\(y = 2-\frac{b^{3}}{27a^{2}}-\frac{bc}{3a}\)，其值不一定為正，(5)錯誤。 答案為(1)(2)(4)。 報錯
ChatGPT    DeepSeek

加入最愛清單 加最愛
Posted in

108指考數學甲試題-1)

設\(f(x)\)為實係數多項式函數，且\(xf(x)=3x^{4}-2x^{3}+x^{2}+\int_{1}^{x}f(t)dt\)（\(x\geq1\)）。試求\(f(1)\) 。(2分)

[非選擇題]
答案

令\(x = 1\)，代入\(xf(x)=3x^{4}-2x^{3}+x^{2}+\int_{1}^{x}f(t)dt\)可得：
\(1\times f(1)=3\times1^{4}-2\times1^{3}+1^{2}+\int_{1}^{1}f(t)dt\)。
因為\(\int_{1}^{1}f(t)dt = 0\)，所以\(f(1)=3 - 2 + 1=2\)。 報錯
ChatGPT    DeepSeek

加入最愛清單 加最愛
Posted in

108指考數學甲試題-2)

設\(f(x)\)為實係數多項式函數，且\(xf(x)=3x^{4}-2x^{3}+x^{2}+\int_{1}^{x}f(t)dt\)（\(x\geq1\)）。試求\(f'(x)\) 。(4分)

[非選擇題]
答案

對\(xf(x)=3x^{4}-2x^{3}+x^{2}+\int_{1}^{x}f(t)dt\)兩邊求導。
根據乘積求導法則\((uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime\)，左邊求導得\(f(x)+xf'(x)\)。
右邊求導，\((3x^{4}-2x^{3}+x^{2})^\prime=12x^{3}-6x^{2}+2x\) ，\((\int_{1}^{x}f(t)dt)^\prime=f(x)\)。
所以\(f(x)+xf'(x)=12x^{3}-6x^{2}+2x + f(x)\)。
移項可得\(xf'(x)=12x^{3}-6x^{2}+2x\)，兩邊同時除以\(x\)（\(x\geq1\)），得到\(f'(x)=12x^{2}-6x + 2\)。 報錯
ChatGPT    DeepSeek

加入最愛清單 加最愛
Posted in

108指考數學甲試題-3)

設\(f(x)\)為實係數多項式函數，且\(xf(x)=3x^{4}-2x^{3}+x^{2}+\int_{1}^{x}f(t)dt\)（\(x\geq1\)）。試求\(f(x)\) 。(2分)

[非選擇題]
答案

由(2)知\(f'(x)=12x^{2}-6x + 2\)，對\(f'(x)\)積分求\(f(x)\)。
\(f(x)=\int(12x^{2}-6x + 2)dx = 4x^{3}-3x^{2}+2x + C\)。
由(1)知\(f(1)=2\)，把\(x = 1\)代入\(f(x)=4x^{3}-3x^{2}+2x + C\)得\(4 - 3 + 2 + C = 2\)，解得\(C=-1\)。
所以\(f(x)=4x^{3}-3x^{2}+2x - 1\)。 報錯
ChatGPT    DeepSeek

加入最愛清單 加最愛
Posted in

109指考數學甲試題-03

若\(f(x)\)是一個三次多項式，且\(f(1)=1\)，\(f(2)=3\)，\(f(3)=5\)，\(f(4)=7\)，則\(f(0)\)的值為？
(1)\(-1\)
(2)\(0\)
(3)\(1\)
(4)\(2\)
(5)\(3\)

[單選題]
答案
設\(f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx + d\)，由已知可得\(\begin{cases}a + b + c + d = 1\\8a+4b + 2c + d = 3\\27a+9b + 3c + d = 5\\64a+16b + 4c + d = 7\end{cases}\)。 用下面的方程依次減去上面的方程來消元： \(\begin{cases}7a + 3b + c = 2\\19a+5b + c = 2\\37a+7b + c = 2\end{cases}\)，再用後面的方程減去前面的方程： \(\begin{cases}12a+2b = 0\\18a+2b = 0\end{cases}\)，兩式相減得\(6a = 0\)，則\(a = 0\)。 把\(a = 0\)代入\(12a+2b = 0\)得\(b = 0\)，把\(a = 0\)，\(b = 0\)代入\(7a + 3b + c = 2\)得\(c = 2\)，把\(a = 0\)，\(b = 0\)，\(c = 2\)代入\(a + b + c + d = 1\)得\(d=-1\)。 所以\(f(x)=2x - 1\)，則\(f(0)=-1\)，答案為(1)。 報錯 ChatGPT    DeepSeek
Posted in

109指考數學甲試題-2)

坐標平面上，由\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)四點所決定的「貝茲曲線」（\(Bezier curve\)）指的是次數不超過3的多項式函數，其圖形通過\(A\)，\(D\)兩點，且在點\(A\)的切線通過點\(B\)，在點\(D\)的切線通過點\(C\)。令\(y = f(x)\)是由\(A(0,0)\)、\(B(1,4)\)、\(C(3,2)\)、\(D(4,0)\)四點所決定的「貝茲曲線」，試證明多項式\(f(x)\)可以被\(x^{2}-4x\)所整除。(2分)

[非選擇題]
答案
因為\(f(x)\)是次數不超過3的多項式，且\(f(x)\)圖形通過\(A(0,0)\)和\(D(4,0)\)，所以\(f(0)=0\)，\(f(4)=0\)。 即\(x = 0\)和\(x = 4\)是\(f(x)\)的兩個根，根據多項式因式分解的性質，若\(x_1\)，\(x_2\)是多項式\(f(x)\)的根，則\((x - x_1)(x - x_2)\)是\(f(x)\)的一個因式。 所以\(x(x - 4)=x^{2}-4x\)是\(f(x)\)的一個因式，即多項式\(f(x)\)可以被\(x^{2}-4x\)所整除。 報錯 ChatGPT    DeepSeek
Posted in

109指考數學甲試題-3)

坐標平面上，由\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)四點所決定的「貝茲曲線」（\(Bezier curve\)）指的是次數不超過3的多項式函數，其圖形通過\(A\)，\(D\)兩點，且在點\(A\)的切線通過點\(B\)，在點\(D\)的切線通過點\(C\)。令\(y = f(x)\)是由\(A(0,0)\)、\(B(1,4)\)、\(C(3,2)\)、\(D(4,0)\)四點所決定的「貝茲曲線」，試求\(f(x)\) 。(4分)

[非選擇題]
答案
由(2)知\(f(x)=x(x - 4)(mx + n)\)。 \(f(x)\)在\(x = 0\)處切線斜率可由在點\(A\)的切線通過點\(B(1,4)\)求得，\(f(x)\)在\(x = 0\)處切線斜率\(k_{AB}=\frac{4 - 0}{1 - 0}=4\)。 對\(f(x)=x(x - 4)(mx + n)=mx^{3}+(n - 4m)x^{2}-4nx\)求導得\(f'(x)=3mx^{2}+2(n - 4m)x - 4n\)，\(f'(0)=-4n\)，由\(f'(0)=4\)得\(n=-1\)。 又\(f(x)\)在\(x = 4\)處切線斜率\(a=-2\)（由(1)知），\(f'(4)=3m\times4^{2}+2(n - 4m)\times4 - 4n=-2\)，把\(n = -1\)代入得：\(48m+8(n - 4m)-4n=-2\)，即\(48m + 8(-1 - 4m)+4=-2\)， \(48m-8 - 32m + 4=-2\)，\(16m=2\)，解得\(m=\frac{1}{8}\)。 所以\(f(x)=\frac{1}{8}x(x - 4)(x - 2)=\frac{1}{8}(x^{3}-6x^{2}+8x)\)。 報錯 ChatGPT    DeepSeek
Posted in

110指考數學甲試題-2)

坐標平面上，以\(\Gamma\)表示多項式函數\(y=x^{3}-4x^{2}+5x\)的圖形，且以\(L\)表示直線\(y = mx\)，其中\(m\)為實數。承(1)，試求\(\Gamma\)與\(L\)所圍有界區域面積的值。(4分)

[非選擇]
答案

由(1)知交點\(x\)坐標為\(0\)，\(1\)，\(3\)。
\(\Gamma\)與\(L\)所圍有界區域面積\(S=\int_{0}^{1}[(x^{3}-4x^{2}+5x)-2x]dx+\int_{1}^{3}[2x-(x^{3}-4x^{2}+5x)]dx\) 。
先計算\(\int_{0}^{1}(x^{3}-4x^{2}+3x)dx=\left[\frac{1}{4}x^{4}-\frac{4}{3}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{4}-\frac{4}{3}+\frac{3}{2}=\frac{3 - 16 + 18}{12}=\frac{5}{12}\) 。
再計算\(\int_{1}^{3}(-x^{3}+4x^{2}-3x)dx=\left[-\frac{1}{4}x^{4}+\frac{4}{3}x^{3}-\frac{3}{2}x^{2}\right]_{1}^{3}=(-\frac{81}{4}+36-\frac{27}{2})-(-\frac{1}{4}+\frac{4}{3}-\frac{3}{2})\)
\(=(-\frac{81 + 144 - 54}{4})-(-\frac{3 + 16 - 18}{12})=\frac{9}{4}+\frac{5}{12}=\frac{27 + 5}{12}=\frac{32}{12}=\frac{8}{3}\) 。
所以\(S=\frac{5}{12}+\frac{8}{3}=\frac{5 + 32}{12}=\frac{37}{12}\) 。 報錯
ChatGPT    DeepSeek

加入最愛清單 加最愛
Posted in

111分科數學甲試題-04

設多項式\(f(x)=x^{3}+2x^{2}-2x + k\) ，\(g(x)=x^{2}+ax + 1\) ，其中\(k\)，\(a\)為實數。已知\(g(x)\)整除\(f(x)\) ，且方程式\(g(x)=0\)有虛根。試選出為方程式\(f(x)=0\)的根之選項。(1)\(-3\)(2)\(0\)(3)\(1\)(4)\(\frac{1+\sqrt{-3}}{2}\)(5)\(\frac{3+\sqrt{-5}}{2}\)

[多選]
答案

因為\(g(x)\)整除\(f(x)\)，設\(f(x)=(x + m)(x^{2}+ax + 1)=x^{3}+(a + m)x^{2}+(am + 1)x + m\) 。
對比\(f(x)=x^{3}+2x^{2}-2x + k\)的係數可得：\(a + m = 2\)，\(am + 1=-2\) ，解聯立方程得\(m = 3\)，\(a=-1\) 。
所以\(f(x)=(x + 3)(x^{2}-x + 1)\) ，對於一元二次方程\(x^{2}-x + 1 = 0\)，由求根公式\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)（此處\(a = 1\)，\(b=-1\)，\(c = 1\)）可得根為\(x=\frac{1\pm\sqrt{1 - 4}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{-3}}{2}\) ，所以\(f(x)=0\)的根為\(-3\)，\(\frac{1+\sqrt{-3}}{2}\) ，答案為(1)(4)。 報錯
ChatGPT    DeepSeek

加入最愛清單 加最愛
我要來個錯題通知
Powered by