定積分求導法則

\( -\frac{7}{2} \)。

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計算：\( a_2 = \frac{3}{1} \times 1 = 3 \)，\( a_3 = \frac{5}{3} \times 3 = 5 \)，\( a_4 = \frac{7}{5} \times 5 = 7 \)，\( a_5 = \frac{9}{7} \times 7 = 9 \)
(1) 正確，\( a_2=3 \)
(2) 錯誤，\( a_4=7 \)
(3) 錯誤，公比非常數
(4) \( a_n = 2n-1 \)，求和 \( \sum_{n=1}^{20} (2n-1) = 2\sum n - 20 = 2\times\frac{20\times21}{2}-20=420-20=400 \)，正確
(5) \( \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n-1}{n} = 2 \)，正確
答案：(1)(4)(5)

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1. 體積 \(V=\pi\int_{-1}^{1}[f(x)]^2dx=\pi\int_{-1}^{1}[9a^2x^4+6a(1-a)x^2+(1-a)^2]dx\)；
2. 計算得 \(V=\pi\left(\frac{18}{5}a^2+\frac{4}{3}a(1-a)+2(1-a)^2\right)=2\pi(\frac{4}{5}a^2+1)\)， \(-\frac{1}{2}\le a\le1\) 有關；
3. 化簡為二次函數，求 \(a\in[-\frac{1}{2},1]\) 最值，畫圖得 \(a=1\) 時 \(V\) 最大，值為 \(\frac{18\pi}{5}\)。答案：不相等，\(a=-\frac{1}{2}\) 時最大值 \(\frac{18\pi}{5}\)

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非選擇題評分原則

設第 \( n \) 秒時 \( A、B \) 的位置為 \( A_n、B_n \)，定義 \( c_n = \frac{A_n + B_n}{2} \)，分析如下：
#### 初始值與前幾項
- 第1秒：\( A_1=1 \)，\( B_1=4 \)，故 \( c_1 = \frac{1+4}{2} = \frac{5}{2} \)；
- 第2秒：\( A_2=\frac{3}{2} \)，\( B_2=\frac{8}{3} \)，故 \( c_2 = \frac{25}{12} \)；
- 第3秒：\( A_3=\frac{7}{4} \)，\( B_3=\frac{20}{9} \)，故 \( c_3 = \frac{143}{72} \)。

#### 選項分析
1. \( ○ \)：\( c_1 = \frac{5}{2} \)，正確；
2. \( × \)：計算差值 \( c_2 - c_1 = -\frac{5}{12} \)、\( c_3 - c_2 = -\frac{7}{72} \)，不滿足遞減，故 \( c_2 < c_1 \) 不成立； 3. \( × \)：差值序列 \( \{c_{n+1}-c_n\} \) 無等比關係，故不是等比數列； 4. \( ○ \)： - \( A_n \) 是首項1、公比\( \frac{1}{2} \)的等比數列和：\( A_n = 2\left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n\right) \)； - \( B_n \) 是首項4、公比\( \frac{1}{3} \)的等比數列和：\( B_n = 2\left(1 + \left(\frac{1}{3}\right)^n\right) \)； - 故 \( c_n = \frac{1}{2}(A_n + B_n) \)，且 \( \lim_{n \to \infty} c_n = \frac{1}{2}(2+2)=2 \)，正確； 5. \( × \)：由4知 \( \lim_{n \to \infty} c_n = 2 \)，故 \( c_{1000} < 2 \) 不成立。 故選 \( \boxed{1、4} \)。

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承前，由 \( G(0)=0 \) 得 \( c=0 \)，故 \( G(x) = -3x^4 + 16x^3 - 24x^2 + 12x \)（\( 0 \leq x \leq 2 \)）。

求導：
\[
G'(x) = -12x^3 + 48x^2 - 48x + 12 = -12(x^3 - 4x^2 + 4x - 1)
\]
令 \( G'(x)=0 \)，因式分解得 \( (x-1)(x^2-3x+1)=0 \)，解得 \( x=1 \) 或 \( x=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2} \)（後兩者不在區間 \( [0,2] \) 內，舍去）。

分析單調性：
- \( x \in [0,1) \) 時，\( G'(x) > 0 \)，\( G(x) \) 遞增；
- \( x \in (1,2] \) 時，\( G'(x) > 0 \)，\( G(x) \) 遞增。

計算端點與臨界點值：
\[
G(0)=0,\ G(1)=1
\]

故 \( G(x) \) 的最小值為 \( \boxed{0} \)。

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設 \( A(6n, 0) \)、\( B(0, 3) \)，直線 \( AB \) 的方程為 \( y = -\frac{1}{2n}x + 3 \)，\( T_n \) 是 \( \triangle OAB \) 內部（含邊界）的區域。

統計 \( T_n \) 內整數點的個數 \( a_n \)：
- 當 \( y=0 \) 時，\( x \) 可取 \( 0 \sim 6n \)，共 \( 6n+1 \) 個點；
- 當 \( y=1 \) 時，代入直線方程得 \( x \leq 4n \)，故 \( x \) 可取 \( 0 \sim 4n \)，共 \( 4n+1 \) 個點；
- 當 \( y=2 \) 時，代入得 \( x \leq 2n \)，故 \( x \) 可取 \( 0 \sim 2n \)，共 \( 2n+1 \) 個點；
- 當 \( y=3 \) 時，僅有 \( (0, 3) \)，共 \( 1 \) 個點。

因此：
\[
a_n = (6n+1) + (4n+1) + (2n+1) + 1 = 12n + 4
\]

求極限：
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{12n + 4}{n} = 12
\]

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已知條件：
1. \( \sqrt{1-h^2} \geq 0 \implies 0 \leq h \leq 1 \)；
2. \( \overrightarrow{OP_1} \cdot \overrightarrow{OP_2} = 2h^2 - 1 \geq 0 \)（夾角不超過 \( 90^\circ \)），故 \( h \geq \frac{1}{\sqrt{2}} \)。

由①②得 \( \boxed{\frac{1}{\sqrt{2}} \leq h \leq 1} \)。

設體積函數 \( V(h) \)，其導數為 \( V'(h) = \frac{2\sqrt{2}}{3}(1 - 3h^2) \)，令 \( V'(h)=0 \)，得 \( h = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \)（均不在區間 \( \left[\frac{1}{\sqrt{2}}, 1\right] \) 內，故無臨界點）。

因此體積最大值出現在區間端點 \( h = \frac{1}{\sqrt{2}} \) 處：
\[
V\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{2\sqrt{2}}{3} \times \left( \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{4} \right) = \frac{2\sqrt{2}}{3} \times \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{1}{3}
\]

故最大體積為 \( \boxed{\frac{1}{3}} \)。

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(1) ○：計算 \( \lim_{x \to 0} \left(\frac{x}{|x|}\right)^2 \)：
\[
\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x}{|x|}\right)^2 = 1^2 = 1, \quad \lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x}{|x|}\right)^2 = (-1)^2 = 1
\]
故極限存在。

(2) ○：分析 \( \lim_{x \to 0} \left(f(x) \cdot \frac{x}{|x|}\right) \)：
\[
\lim_{x \to 0^+} \left(f(x) \cdot \frac{x}{|x|}\right) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x \cdot g(x))
\]
\[
\lim_{x \to 0^-} \left(f(x) \cdot \frac{x}{|x|}\right) = \lim_{x \to 0^-} (-f(x)) = \lim_{x \to 0^-} (-x \cdot g(x))
\]
由 \( \lim_{x \to 0} (g(x) \cdot |x|) \) 存在，得兩側極限相等，故 \( \lim_{x \to 0} \left(f(x) \cdot \frac{x}{|x|}\right) \) 存在。

(3) ×：反例：令 \( f(x) = x^2 \)（滿足題設條件），則：
\[
\lim_{x \to 0} \left((f(x)+1) \cdot \frac{x}{|x|}\right) = \lim_{x \to 0} \left((x^2+1) \cdot \frac{x}{|x|}\right)
\]
右極限為 \( 1 \)，左極限為 \( -1 \)，故極限不存在。

(4) ×：反例：令 \( f(x) = \frac{x}{|x|} \cdot x \)（滿足題設條件），則：
\[
\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1, \quad \lim_{x \to 0^-} f(x) = -1
\]
兩側極限不相等，故 \( \lim_{x \to 0} f(x) \) 不存在。

(5) ○：分析 \( \lim_{x \to 0} (f(x))^2 \)：
\[
\lim_{x \to 0} (f(x))^2 = \lim_{x \to 0} \left(f(x) \cdot \frac{|x|}{x} \cdot f(x) \cdot \frac{x}{|x|}\right)
\]
由題設 \( \lim_{x \to 0} \left(f(x) \cdot \frac{|x|}{x}\right) \) 存在，且(2)中 \( \lim_{x \to 0} \left(f(x) \cdot \frac{x}{|x|}\right) \) 存在，故二者乘積的極限存在。

故選 \( \boxed{(1)(2)(5)} \)。

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(3)(4)。

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對\(xf(x)=3x^{4}-2x^{3}+x^{2}+\int_{1}^{x}f(t)dt\)兩邊求導。
根據乘積求導法則\((uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime\)，左邊求導得\(f(x)+xf'(x)\)。
右邊求導，\((3x^{4}-2x^{3}+x^{2})^\prime=12x^{3}-6x^{2}+2x\) ，\((\int_{1}^{x}f(t)dt)^\prime=f(x)\)。
所以\(f(x)+xf'(x)=12x^{3}-6x^{2}+2x + f(x)\)。
移項可得\(xf'(x)=12x^{3}-6x^{2}+2x\)，兩邊同時除以\(x\)（\(x\geq1\)），得到\(f'(x)=12x^{2}-6x + 2\)。

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