設\(f(x)\)為實係數多項式函數，且\(xf(x)=3x^{4}-2x^{3}+x^{2}+\int_{1}^{x}f(t)dt\)（\(x\geq1\)）。試求\(f'(x)\) 。(4分)
[非選擇題]對\(xf(x)=3x^{4}-2x^{3}+x^{2}+\int_{1}^{x}f(t)dt\)兩邊求導。
根據乘積求導法則\((uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime\)，左邊求導得\(f(x)+xf'(x)\)。
右邊求導，\((3x^{4}-2x^{3}+x^{2})^\prime=12x^{3}-6x^{2}+2x\) ，\((\int_{1}^{x}f(t)dt)^\prime=f(x)\)。
所以\(f(x)+xf'(x)=12x^{3}-6x^{2}+2x + f(x)\)。
移項可得\(xf'(x)=12x^{3}-6x^{2}+2x\)，兩邊同時除以\(x\)（\(x\geq1\)），得到\(f'(x)=12x^{2}-6x + 2\)。 報錯
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考慮兩個函數\(f(x)= \begin{cases}1 + x, & x \leq1 \\ 1, & x>1\end{cases}\)、\(g(x)= \begin{cases}1, & x \leq1 \\ 3 – x, & x>1\end{cases}\)。關於函數的極限，試選出正確的選項。
(1)\(\lim\limits_{x \to 1} f(x)\)存在、\(\lim\limits_{x \to 1} g(x)\)存在、\(\lim\limits_{x \to 1}(f(x)+g(x))\)存在
(2)\(\lim\limits_{x \to 1} f(x)\)存在、\(\lim\limits_{x \to 1} g(x)\)不存在、\(\lim\limits_{x \to 1}(f(x)+g(x))\)不存在
(3)\(\lim\limits_{x \to 1} f(x)\)不存在、\(\lim\limits_{x \to 1} g(x)\)存在、\(\lim\limits_{x \to 1}(f(x)+g(x))\)不存在
(4)\(\lim\limits_{x \to 1} f(x)\)不存在、\(\lim\limits_{x \to 1} g(x)\)不存在、\(\lim\limits_{x \to 1}(f(x)+g(x))\)存在
(5)\(\lim\limits_{x \to 1} f(x)\)不存在、\(\lim\limits_{x \to 1} g(x)\)不存在、\(\lim\limits_{x \to 1}(f(x)+g(x))\)不存在
首先求\(\lim\limits_{x \to 1} f(x)\)：
\(\lim\limits_{x \to 1^{-}} f(x)=\lim\limits_{x \to 1^{-}}(1 + x)=1 + 1 = 2\)，\(\lim\limits_{x \to 1^{+}} f(x)=1\)，左右極限不相等，所以\(\lim\limits_{x \to 1} f(x)\)不存在。
再求\(\lim\limits_{x \to 1} g(x)\)：\(\lim\limits_{x \to 1^{-}} g(x)=1\)，\(\lim\limits_{x \to 1^{+}} g(x)=\lim\limits_{x \to 1^{+}}(3 - x)=3 - 1 = 2\)，左右極限不相等，所以\(\lim\limits_{x \to 1} g(x)\)不存在。
然後求\(\lim\limits_{x \to 1}(f(x)+g(x))\)：\(\lim\limits_{x \to 1^{-}}(f(x)+g(x))=\lim\limits_{x \to 1^{-}}(1 + x + 1)=\lim\limits_{x \to 1^{-}}(x + 2)=3\)，\(\lim\limits_{x \to 1^{+}}(f(x)+g(x))=\lim\limits_{x \to 1^{+}}(1 + 3 - x)=\lim\limits_{x \to 1^{+}}(4 - x)=3\)，左右極限相等，所以\(\lim\limits_{x \to 1}(f(x)+g(x)) = 3\)存在。
答案為(4)。 報錯
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關於非常數的實係數多項式函數\(f(x)\)，試選出正確的選項。
(1)若\(f(1)f(2)<0\)，則存在\(c \in(1,2)\)满足\(f(c)=0\)
(2)若\(f(1)f(2)>0\)，則對任意的\(c \in(1,2)\)，\(f(c) ≠0\)均成立
(3)若\(f(1)f(2)f(3)<0\)，則存在\(c \in(1,3)\)满足\(f(c)=0\)
(4)若\((\int_{0}^{1} f(x)dx)(\int_{0}^{2} f(x)dx)<0\)，則存在\(c \in(1,2)\)满足\(\int_{0}^{c} f(x)dx=0\)
(5)若\(\int_{1}^{2} f(x)dx=0\)，則\(f(1)f(2)<0\)
(1)根據零點存在定理，若\(f(x)\)在\([1,2]\)上連續，且\(f(1)f(2)<0\)，則存在\(c \in(1,2)\)使得\(f(c)=0\)，因為\(f(x)\)是實係數多項式函數，在\(R\)上連續，所以(1)正確。
(2)若\(f(1)f(2)>0\)，只能說明\(f(1)\)與\(f(2)\)同號，但不能排除在\((1,2)\)內存在零點的可能，比如\(f(x)=(x - 1.5)^2\)，\(f(1)f(2)>0\)，但\(x = 1.5\)是零點，(2)錯誤。
(3)若\(f(1)f(2)f(3)<0\)，假設\(f(1)<0,f(2)>0,f(3)<0\)，根據零點存在定理，在\((1,2)\)和\((2,3)\)內都可能存在零點，即存在\(c \in(1,3)\)满足\(f(c)=0\)，(3)正確。
(4)令\(F(x)=\int_{0}^{x} f(t)dt\)，\(F(x)\)是可導函數且\(F'(x)=f(x)\)。若\((\int_{0}^{1} f(x)dx)(\int_{0}^{2} f(x)dx)<0\)，即\(F(1)F(2)<0\)，由零點存在定理可知存在\(c \in(1,2)\)使得\(F(c)=\int_{0}^{c} f(x)dx=0\)，(4)正確。
(5)若\(\int_{1}^{2} f(x)dx=0\)，只能說明\(f(x)\)在\([1,2]\)上與\(x\)軸圍成的面積代數和為0，但不能得出\(f(1)f(2)<0\)，比如\(f(x)=(x - 1.5)\)，\(\int_{1}^{2} f(x)dx = 0\)，但\(f(1)f(2)>0\)，(5)錯誤。答案為(1)(3)(4)。 報錯
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試求極限\(\lim _{n \to \infty} \frac{10^{10}}{n^{10}}[1^{9}+2^{9}+3^{9}+\cdots+(2n)^{9}]\)的值。
(1)\(10^{9}\)
(2)\(10^{9} \times(2^{10}-1)\)
(3)\(2^{9} \times(10^{10}-1)\)
(4)\(10^{9}×2^{10}\)
(5)\(2^{9}×10^{10}\)
由等冪和公式\(\sum_{k = 1}^{m}k^{p}\approx\frac{m^{p + 1}}{p + 1}\)（此處\(p = 9\)），\(\sum_{k = 1}^{2n}k^{9}\approx\frac{(2n)^{10}}{10}\) 。
則\(\lim _{n \to \infty} \frac{10^{10}}{n^{10}}[1^{9}+2^{9}+3^{9}+\cdots+(2n)^{9}]=\lim _{n \to \infty} \frac{10^{10}}{n^{10}}\times\frac{(2n)^{10}}{10}\)
\(=\lim _{n \to \infty} \frac{10^{10}}{n^{10}}\times\frac{2^{10}n^{10}}{10}=10^{9}×2^{10}\) ，答案為(4)。 報錯
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試問極限
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{3}{n^2} \left( \sqrt{4n^2 + 9 \times 1^2} + \sqrt{4n^2 + 9 \times 2^2} + \cdots + \sqrt{4n^2 + 9 \times (n-1)^2} \right) \]
的值可用下列哪一個定積分表示？
(1) \(\int_0^3 \sqrt{1+x^2} \, dx\) (2) \(\int_0^3 \sqrt{1+9x^2} \, dx\) (3) \(\int_0^3 \sqrt{4+x^2} \, dx\)
(4) \(\int_0^3 \sqrt{4+9x^2} \, dx\) (5) \(\int_0^3 \sqrt{4x^2+9} \, dx\)
假設兩數列\(\lt a_{n}\gt\)、\(\lt b_{n}\gt\) ，對所有正整數\(n\)都滿足\(b_{n}+\frac{4n – 1}{n}\lt a_{n}\lt 3b_{n}\) 。已知\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=6\) ，試選出正確的選項。
(1)\(b_{n}\lt6-\frac{4n – 1}{n}\)(2)\(b_{n}\gt\frac{4n – 1}{2n}\)(3)數列\(\lt b_{n}\gt\)有可能發散
(4)\(a_{10000}\lt6.1\)(5)\(a_{10000}\gt5.9\)
設二次函數\(f(x)=x^{2}+bx + c\),其中\(b\),\(c\)為實數 。已知\(f(x – 2)=f(-x – 2)\)對任意實數\(x\)均成立,且當\(-3\leq x\leq1\)時,\(f(x)\)的最大值會是最小值的4倍,則\(f(x)\)的最小值是下列哪一個選項？(1) \(0\)；(2) \(1\)；(3) \(3\)；(4) \(4\)；(5) \(6\)
[單選]1. 由\(f(x - 2)=f(-x - 2)\)可知二次函數\(f(x)\)的對稱軸為\(x=-2\),即\(-\frac{b}{2}=-2\),解得\(b = 4\)。
2. 所以\(f(x)=x^{2}+4x + c=(x + 2)^{2}+c - 4\),在\(-3\leq x\leq1\)上,\(f(x)\)在\(x=-2\)取得最小值\(c - 4\),在\(x = 1\)取得最大值\(1 + 4 + c = 5 + c\)。
3. 已知最大值是最小值的\(4\)倍,即\(5 + c = 4(c - 4)\),解得\(c = 7\)。所以最小值\(c - 4 = 3\)。答案：(3) 報錯
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