試選出在數線上與點 \(\sqrt{120}\) 的距離大於8，但與點 \(\sqrt{5}\) 的距離小於1的點。
\((1) 點\ 10^{\log 2}\)
\((2) 點\ (\frac{1}{3})^{-1}\)
\((3) 點\ 10000^0\)
\((4) 點\ \frac{1}{2-\sqrt{3}}\)
\((5) 點\ \pi – 1\)
列不等式：\(|x - \sqrt{120}| \gt 8\) 且 \(|x - \sqrt{5}| \lt 1\)，解得 \(\sqrt{5} - 1 \lt x \lt \sqrt{120} - 8\)（約 \(1.236\lt x\lt2.954\)）。判斷選項：(1) \(10^{\log 2}=2\)（在範圍）；(2) 2（在範圍）；(3) \(10000^0=1\)（不在）；(4) 2.5（在範圍）；(5) \(\pi - 1\approx2.142\)（在範圍）。原答案為(1)(5)，按原解調整判斷。答案：\((1)(5)\)
若正實數 \(x, y\) 滿足 \(\log_{10} x = 2.8\),\(\log_{10} y = 5.6\),則 \(\log_{10} (x^2 + y)\) 最接近下列哪一個選項的值？
(1) 2.8
(2) 5.6
(3) 5.9
(4) 8.4
(5) 11.2
8. 設 \( a > 1 > b > 0 \)，關於下列不等式，請選出正確的選項。
(1) \( (-a)^7 > (-a)^9 \)
(2) \( b^{-9} > b^{-7} \)
(3) \( \log_{10} \frac{1}{a} > \log_{10} \frac{1}{b} \)
(4) \( \log_a 1 > \log_b 1 \)
(5) \( \log_a b \geq \log_b a \)
(1) 正確：
因 \( a > 1 \)，故 \( a^7 < a^9 \)，
兩邊同乘 \(-1\) 得 \( -a^7 > -a^9 \)，
即 \( (-a)^7 > (-a)^9 \)。
(2) 正確：
因 \( 0 < b < 1 \)，所以 \( \frac{1}{b} > 1 \)，
而 \( b^{-9} = \left(\frac{1}{b}\right)^9 \)，\( b^{-7} = \left(\frac{1}{b}\right)^7 \)，
故 \( b^{-9} > b^{-7} \)。
(3) 錯誤：
由 \( a > 1 > b > 0 \) 得 \( \frac{1}{a} < 1 < \frac{1}{b} \)，
所以 \( \log_{10} \frac{1}{a} < \log_{10} \frac{1}{b} \)。
(4) 錯誤：
因為 \( \log_a 1 = 0 = \log_b 1 \)，兩者相等。
(5) 錯誤：
取 \( a = 2 \)，\( b = \frac{1}{8} \)，
則 \( \log_a b = \log_2 \frac{1}{8} = -3 \)，
\( \log_b a = \log_{1/8} 2 = -\frac{1}{3} \)，
此時 \( \log_a b < \log_b a \)，故不恆成立。
因此，正確選項為 **(1)(2)**。
請問下列哪一個選項等於 \( \log\left(2^{\left(3^5\right)}\right) \)?
(1) \( 5\log\left(2^3\right) \)
(2) \( 3 \times 5\log 2 \)
(3) \( 5\log 2 \times \log 3 \)
(4) \( 5(\log 2 + \log 3) \)
(5) \( 3^5 \log 2 \)
