平面幾何圖形

對稱軸通過 (3, f(3)) 與 (-7, f(-7)) 的中點橫坐標：\(\frac{3 + (-7)}{2} = -2\)。
對稱軸為 \( x = -2 \)。
答案為 \( x = -2 \)。

• 試題內容
• 試題內容
• 選擇(填)題答案
• 非選擇題參考答案

求A點：解 \( \begin{cases} 5x+3y=5 \\ 2x+y=3 \end{cases} \)，得 \( x=4 \)，\( y=-5 \)，故 \( A(4,-5) \)
求B點：解 \( \begin{cases} 3x+2y=6-2a \\ 2x+y=3 \end{cases} \)，得 \( x=2a \)，\( y=3-4a \)，故 \( B(2a,3-4a) \)
三角形OAB面積 = \( \frac{1}{2} |x_A y_B - x_B y_A| = \frac{1}{2} |4(3-4a) - 2a(-5)| = \frac{1}{2} |12-16a+10a| = \frac{1}{2} |12-6a| = 3|2-a| = 3|a-2| \)
答案：(4)

• 試題內容
• 試題內容
• 選擇(填)題答案
• 非選擇題參考答案

已知三角形 \(ABC\) 中：
\[
\angle A = 91^\circ, \quad \angle C = 29^\circ, \quad \angle B = 60^\circ
\]
（因為 \(180^\circ - 91^\circ - 29^\circ = 60^\circ\)）

邊長：
\[
BC = a, \quad CA = b, \quad AB = c
\]
（即 \(a\) 對 \(\angle A\)，\(b\) 對 \(\angle B\)，\(c\) 對 \(\angle C\)）

---

**(1) \( a^2 > b^2 + c^2 \)**

由餘弦定理：
\[
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A
\]
\(\cos 91^\circ < 0\)，所以 \(-2bc\cos A > 0\)，因此
\[
a^2 > b^2 + c^2
\]
✅ 正確。

---

**(2) \( \frac{c}{a} > \sin 29^\circ \)**

正弦定理：
\[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R
\]
所以
\[
\frac{c}{a} = \frac{\sin C}{\sin A} = \frac{\sin 29^\circ}{\sin 91^\circ}
\]
\(\sin 91^\circ \approx \sin 90^\circ = 1\)，實際略大於 1（\(\sin 91^\circ \approx 0.99985\)），所以
\[
\frac{c}{a} \approx 0.99985^{-1} \times \sin 29^\circ \approx 1.00015 \times 0.4848 \approx 0.48487
\]
而 \(\sin 29^\circ \approx 0.4848\)，比較：
\[
\frac{c}{a} \approx 0.48487 > 0.4848
\]
✅ 正確（雖然很接近，但確實大於）。

---

**(3) \( \frac{b}{a} > \cos 29^\circ \)**

\[
\frac{b}{a} = \frac{\sin B}{\sin A} = \frac{\sin 60^\circ}{\sin 91^\circ} \approx \frac{0.866025}{0.99985} \approx 0.86615
\]
\(\cos 29^\circ \approx 0.87462\)，比較：
\[
0.86615 < 0.87462 \] ❌ 錯誤。 --- **(4) \( \frac{a^2 + b^2 - c^2}{ab} < \sqrt{3} \)** 由餘弦定理： \[ \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \] 所以 \[ \frac{a^2 + b^2 - c^2}{ab} = 2\cos C = 2\cos 29^\circ \approx 2 \times 0.87462 \approx 1.74924 \] \(\sqrt{3} \approx 1.732\)，比較： \[ 1.74924 > 1.732
\]
❌ 錯誤。

---

**(5) 外接圓半徑小於 \(c\)**

外接圓半徑 \(R = \frac{a}{2\sin A} \approx \frac{a}{2 \times 0.99985} \approx 0.500075 \times a\)
由正弦定理：
\[
c = 2R \sin C \implies R = \frac{c}{2\sin C} = \frac{c}{2 \times 0.4848} \approx \frac{c}{0.9696} \approx 1.0314 \times c
\]
等等，這裡要小心：題目給的 \(a,b,c\) 是邊長，\(R\) 是固定值。
用 \(a = 2R\sin A\)，\(c = 2R\sin C\)。
比較 \(R\) 與 \(c\)：
\[
c = 2R\sin C \implies \frac{R}{c} = \frac{1}{2\sin C} \approx \frac{1}{0.9696} \approx 1.0314
\]
所以 \(R \approx 1.0314 \times c > c\)，因此 \(R < c\) 不成立。 ❌ 錯誤。 --- **正確選項：** (1)、(2) \[ \boxed{12} \]

(1)(3)
(1) ✓：\( f(0) = 1 > 0 \)
(2) ✗：\( 1.2^{10} \approx 6.19 < 10 \)
(3) ✓：由中間值定理，在 \( 0 < x < 2 \) 區間有交點
(4) ✗：\( y = \log(1.2^x) = x \log 1.2 \) 是直線，與 \( y=1.2^x \) 不對稱於 \( y=x \)
(5) ✗：存在 \( b \) 使 \( \log_{1.2} b = 1.2^b \)（因兩反函數圖形在 \( y=x \) 上有交點）

試題內容
試題內容
選擇(填)題答案
非選擇題評分原則

設直線 \( L: y = k \)，與 \( L_1: 3x-4y=0 \)、\( L_2: 4x+3y=0 \) 的交點分別為 \( A、B \)：
- 代入 \( L_1 \) 得 \( A\left(\frac{4k}{3}, k\right) \)；
- 代入 \( L_2 \) 得 \( B\left(-\frac{3k}{4}, k\right) \)。

計算 \( \overline{AB} \) 的長度：
\[
\overline{AB} = \frac{4k}{3} - \left(-\frac{3k}{4}\right) = \frac{25k}{12}
\]
由 \( \overline{AB}=30 \)，得：
\[
\frac{25k}{12}=30 \implies k=\frac{72}{5}
\]

故 \( \triangle OAB \) 的面積為：
\[
\text{面積} = \frac{1}{2} \times \overline{AB} \times k = \frac{1}{2} \times 30 \times \frac{72}{5} = 216
\]

• 試題內容
• 試題內容
• 選擇(填)題答案
• 非選擇題參考答案