〈平面幾何圖形〉彙整頁面 - 第 5 頁，總計 7 頁

107指考數學甲試題–C

設$AB$，$CD$為圓上的相異四點。已知圓的半徑為$\frac{7}{2}$，$\overline{AB}=5$，兩線段$\overline{AC}$與$\overline{BD}$互相垂直，如圖所示(此為示意圖，非依實際比例)。則$\overline{CD}$的長度为$\sqrt{(\quad)}$。(化成最簡根式)

[選填題]

答案

設圓的圓心為$O$，半徑$r = \frac{7}{2}$。
作$OM\perp AB$於$M$，根據垂徑定理，$AM=\frac{AB}{2}=\frac{5}{2}$。
在$Rt\triangle OMA$中，由勾股定理可得$OM=\sqrt{r^{2}-AM^{2}}=\sqrt{(\frac{7}{2})^{2}-(\frac{5}{2})^{2}}=\sqrt{\frac{49 - 25}{4}}=\sqrt{6}$。
因為$AC\perp BD$，設$AC$與$BD$相交於點$P$，根據圓的性質，$OM^{2}+ON^{2}=OP^{2}$（$ON$為$O$到$CD$的距離）。
又因為圓的對稱性，可推出$AB^{2}+CD^{2}=4r^{2}$（這是圓中兩垂直弦的一個性質，可通過勾股定理多次推導得出）。
將$r = \frac{7}{2}$，$AB = 5$代入可得$25+CD^{2}=4\times(\frac{7}{2})^{2}$
$25+CD^{2}=4\times\frac{49}{4}$
$CD^{2}=49 - 25 = 24$
所以$CD=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$，故答案為$24$。

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108指考數學甲試題-03

在一座尖塔的正南方地面某點A，測得塔頂的仰角為14°；又在此尖塔正東方地面某點B，測得塔頂的仰角為18°30’，且A、B兩點距離為65公尺。已知當在線段$\overline{AB}$上移動時，在C點測得塔頂的仰角為最大，則C點到塔底的距離最接近下列哪一個選項？（$\cot14^{\circ}≈4.01$，$\cot18^{\circ}30’≈2.99$ ）
(1)27公尺
(2)29公尺
(3)31公尺
(4)33公尺
(5)35公尺

[單選題]

答案

設塔高為$h$，塔底為$O$點。在$Rt\triangle AOC$中，$\cot14^{\circ}=\frac{AO}{h}$，所以$AO = h\cot14^{\circ}$；在$Rt\triangle BOC$中，$\cot18^{\circ}30'=\frac{BO}{h}$，所以$BO = h\cot18^{\circ}30'$。
在$\triangle AOB$中，$\angle AOB = 90^{\circ}$，根據勾股定理$AB^{2}=AO^{2}+BO^{2}$，已知$AB = 65$，則$65^{2}=h^{2}\cot^{2}14^{\circ}+h^{2}\cot^{2}18^{\circ}30'$。
$h^{2}=\frac{65^{2}}{\cot^{2}14^{\circ}+\cot^{2}18^{\circ}30'}=\frac{65^{2}}{4.01^{2}+2.99^{2}}=\frac{4225}{16.0801 + 8.9401}=\frac{4225}{25.0202}$。
當在線段$\overline{AB}$上的$C$點測得塔頂仰角最大時，此時$OC\perp AB$。
由三角形面積公式可得$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}AO\cdot BO=\frac{1}{2}AB\cdot OC$，即$OC=\frac{AO\cdot BO}{AB}$。
$AO\cdot BO = h^{2}\cot14^{\circ}\cot18^{\circ}30'$，所以$OC=\frac{h^{2}\cot14^{\circ}\cot18^{\circ}30'}{AB}$。
把$h^{2}=\frac{4225}{25.0202}$，$\cot14^{\circ}≈4.01$，$\cot18^{\circ}30'≈2.99$，$AB = 65$代入可得：
$OC=\frac{\frac{4225}{25.0202}\times4.01\times2.99}{65}$
$=\frac{4225\times4.01\times2.99}{25.0202\times65}$
$=\frac{4225\times11.9899}{1626.313}$
$\approx\frac{4225\times12}{1626.313}=\frac{50700}{1626.313}\approx31$（公尺）。
答案為(3)。

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108指考數學甲試題-08

坐標平面上以原點$o$為圓心的單位圓上三相異點$A$、$B$、$C$滿足$2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}+4\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$，其中$A$點的坐標為$(1, 0)$。試選出正確的選項。
(1)向量$2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}$的長度為4
(2)內積$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}<0$
(3)$\angle BOC$，$\angle AOC$，$\angle AOB$中，以$\angle BOC$的度數為最小
(4)$\overline{AB}>\frac{3}{2}$
(5)$3\sin\angle AOB = 4\sin\angle AOC$

[多選題]

答案

(1)(5)

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108指考數學甲試題–C

設$z$為複數。在複數平面上，一個正六邊形依順時針方向的連續三個頂點為$z$、$0$、$z + 5 – 2\sqrt{3}i$（其中$i=\sqrt{-1}$），則$z$的實部為（化成最簡分數）。

[選填題]

答案

$ z $ 的實部為 $ \boxed{-\frac{7}{2}} $。

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109指考數學甲(補考)試題–C

等腰三角形$ABC$中，令$\theta=\angle BAC$。若$\overline{AB}^{2}=\overline{AC}^{2}=\overline{BC}=\sin\theta$，（求三角形面積，答案部分原表述不清，按照正確思路解題）

[選填題]

答案

$\dfrac{8}{25}$

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110指考數學甲試題–A

從6、8、10、12中任取三個相異數字，作為三角形的三邊長，且設此三角形的最大內角為$\theta$。在所有可能構成的三角形中，$\cos\theta$的最小值為 (化成最簡分數)

[選填]

答案

從6、8、10、12中任取三個相異數字構成三角形，根據大邊對大角，要使$\cos\theta$最小，則最大邊所對的角最大。
由餘弦定理$\cos\theta=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$（$c$為最大邊）。
分別討論：
若取6、8、10，$\cos\theta=\frac{6^{2}+8^{2}-10^{2}}{2\times6\times8}=0$；
若取6、8、12，$\cos\theta=\frac{6^{2}+8^{2}-12^{2}}{2\times6\times8}=-\frac{11}{24}$；
若取6、10、12，$\cos\theta=\frac{6^{2}+10^{2}-12^{2}}{2\times6\times10}=-\frac{5}{15}=-\frac{1}{3}$；
若取8、10、12，$\cos\theta=\frac{8^{2}+10^{2}-12^{2}}{2\times8\times10}=\frac{64 + 100 - 144}{160}=\frac{1}{8}$。
所以$\cos\theta$的最小值為$-\frac{11}{24}$ 。

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110指考數學甲試題–C

考慮一梯形$ABCD$，其中$\overline{AB}$與$\overline{DC}$平行。已知點$E$、$F$分別在對角線$\overline{AC}$、$\overline{BD}$上，且$\overline{AB}=\frac{2}{5}\overline{DC}$、$\overline{AE}=\frac{3}{2}\overline{EC}$、$\overline{BF}=\frac{2}{3}\overline{FD}$。若將向量$\overrightarrow{FE}$表示成$\alpha\overrightarrow{AC}+\beta\overrightarrow{AD}$，則實數$\alpha=$___________，$\beta=$__________（化成最簡分數）

[選填]

答案

連線段AF
$
\begin{align*}
\overrightarrow{FE} &= \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AF} \\
&= \frac{3}{5}\overrightarrow{AC} - \left( \frac{3}{5}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{5}\overrightarrow{AD} \right) \\
&= \frac{3}{5}\overrightarrow{AC} - \frac{3}{5} \times \frac{2}{5}\overrightarrow{DC} - \frac{2}{5}\overrightarrow{AD} \\
&= \frac{3}{5}\overrightarrow{AC} - \frac{6}{25} \left( \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} \right) - \frac{2}{5}\overrightarrow{AD} \\
&= \frac{3}{5}\overrightarrow{AC} - \frac{6}{25}\overrightarrow{AC} + \frac{6}{25}\overrightarrow{AD} - \frac{2}{5}\overrightarrow{AD} \\
&= \frac{9}{25}\overrightarrow{AC} - \frac{4}{25}\overrightarrow{AD}
\end{align*}
$
故$\alpha = \frac{9}{25}$，$\beta = -\frac{4}{25}$。

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112分科測驗數學甲考科試題-09

已知平面上直角 $\triangle ABC$ 的三邊長 $AB = \sqrt{7}$ 、 $AC = \sqrt{3}$ 、 $BC = 2$ 。若分別以 $AB$ 與 $AC$ 為底邊在 $\triangle ABC$ 的外部作頂角等於 120° 的等腰三角形 $\triangle MAB$ 與 $\triangle MAC$，則 $MN^2 = \begin{pmatrix} 9-1 \\ 9-2 \end{pmatrix}$。（化為最簡分數）

[選填]

答案

$令\angle A=\theta,\cos\angle MAN=\cos(60^{\circ}+\theta)\\
\cos(60^{\circ}+\theta)=\cos60^\circ\cos\theta-\sin60^\circ\sin\theta=\cdots=-\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}\\
\Delta MAN中,\overline{MN}^2=1^2+(\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}})^2-2\cdot1\cdot\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}=\frac{13}{3}$

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112分科測驗數學甲考科試題-12

設$a,b$為實數，並設$O$為坐標平面的原點。已知二次函數$f(x)=ax^2$的圖形與圓$\Omega:x²+y²−3y+b=0$皆通過點$P(1,\frac{1}{2})$ ，並令點$C$為$\Omega$的圓心。根據上述，試回答下列問題。
[12-14為題組]12. 試求向量CO與CP夾角的餘弦值。（非選擇題，2分）

[非選擇]

答案

將$P(1, \frac{1}{2})$代入$f(x) = ax^2$，得$a = \frac{1}{2}$。代入圓$\Omega$：$1^2 + (\frac{1}{2})^2 - 3 \cdot \frac{1}{2} + b = 0$，解得$b = \frac{1}{4}$。圓$\Omega$方程為$x^2 + (y - \frac{3}{2})^2 = 2$，圓心$C(0, \frac{3}{2})$。向量$\overrightarrow{CO} = (0, -\frac{3}{2})$，$\overrightarrow{CP} = (1, -1)$。餘弦值：$\frac{\overrightarrow{CO} \cdot \overrightarrow{CP}}{|\overrightarrow{CO}| |\overrightarrow{CP}|} = \frac{0 \cdot 1 + (-\frac{3}{2}) \cdot (-1)}{\frac{3}{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$答案：$\boxed{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}$

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112分科測驗數學甲考科試題-13

[12-14為題組]
試證明$y=f(x)$圖形與$\Omega$在$P$點有共同的切線。（非選擇題，4分）

[非選擇]

答案

已知 $ y = f(x) = \frac{1}{2}x^2 $，求導得 $ f'(x) = x $。
因此 $ y = f(x) $ 在點 $ P\left(1,\frac{1}{2}\right) $ 處的切線斜率：
$ m_1 = f'(1) = 1 $。

又 $ P $ 在圓 $ \Omega $ 上，圓在 $ P $ 點的切線與半徑 $ \overrightarrow{CP} $ 垂直。
由 $ \overrightarrow{CP} $ 的斜率為 $ \frac{\frac{1}{2}}{-1} = -1 $，得圓在 $ P $ 點的切線斜率：
$ m_2 = 1 $。

因 $ m_1 = m_2 $ 且切線均過 $ P $，故 $ y = f(x) $ 與 $ \Omega $ 在 $ P $ 點有共同切線。

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