平面幾何圖形

計算 \(f(x)\) 與圓的交點，利用積分求面積，得面積為 \(\frac{1}{6}\)。### 圓的方程與取弧
圓 \(\Omega: x^2+\left(y-\frac{3}{2}\right)^2=2\)，取下半圓弧：
\[ y = \frac{3}{2} - \sqrt{2-x^2} \]
### 面積計算
所求面積：
\[
\begin{align*}
2\int_{0}^{1}\left[\left(\frac{3}{2}-\sqrt{2-x^2}\right)-\frac{1}{2}x^2\right]dx
&= 2\left(\frac{3}{2}-\int_{0}^{1}\sqrt{2-x^2}dx-\int_{0}^{1}\frac{1}{2}x^2dx\right) \\
&= 2\left(\frac{3}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{6}\right) \\
&= \frac{5}{3}-\frac{\pi}{2}
\end{align*}
\]
（備註：\(\int_{0}^{1}\sqrt{2-x^2}dx=\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}\)，\(\int_{0}^{1}\frac{1}{2}x^2dx=\frac{1}{6}\)）答案為 \(\frac{1}{6}\)。

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已知點\(\left(-\frac{5}{3}, \frac{2\sqrt{5}}{3}\right)\)到原點距離平方為\(\left(-\frac{5}{3}\right)^2 + \left(\frac{2\sqrt{5}}{3}\right)^2 = 5\)，故長軸長為\(2\sqrt{5}\)。答案：\(\boxed{2\sqrt{5}}\)

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(1) 由題意知，長軸方程式的斜率為 \(\frac{\frac{2\sqrt{5}}{3}}{-\frac{5}{3}} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}\)
所以短軸斜率 \(= \frac{5}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{2}\)（長、短軸互相垂直）
故方程式為 \(y = \frac{\sqrt{5}}{2}x\)（過原點）。
求短軸長：
將\(y = \frac{\sqrt{5}}{2}x\)代入橢圓方程\(40x^2 + 4\sqrt{5}xy + 41y^2 = 180\)：得兩交點即為短軸上頂點
計算兩點距離得到短軸長度4

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設圓的半徑為 \(r\),\(P(r,0)\),直線方程為 \(y=\frac{1}{2}(x - r)\),即 \(x - 2y - r = 0\)。由圓心到直線的距離公式 \(d=\frac{\vert - r\vert}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}}\),再根據垂徑定理,\((\frac{PQ}{2})^{2}+d^{2}=r^{2}\),即 \((\frac{1}{2})^{2}+\frac{r^{2}}{5}=r^{2}\),解得 \(r=\frac{\sqrt{5}}{4}\)。

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令\(y = 0\) ，則\((x - 1)^{2}+(0 - 1)^{2}=101\) ，即\((x - 1)^{2}=100\) ，解得\(x - 1=\pm10\) ，\(x = 11\)或\(x=-9\) ；令\(x = 0\) ，則\((0 - 1)^{2}+(y - 1)^{2}=101\) ，即\((y - 1)^{2}=100\) ，解得\(y - 1=\pm10\) ，\(y = 11\)或\(y=-9\) ，所以(1)正確。
圓的標準方程為\((x - a)^{2}+(y - b)^{2}=r^{2}\)，此圓圓心為\((1,1)\) ，半徑\(r=\sqrt{101}\) ，\(\Gamma\)上\(x\)坐標最大的點是\((1+\sqrt{101},1)\) ，(2)錯誤。
圓心\((1,1)\)到原點距離為\(\sqrt{(1 - 0)^{2}+(1 - 0)^{2}}=\sqrt{2}\) ，圓上點與原點距離最大值為圓心到原點距離加上半徑，即\(\sqrt{2}+\sqrt{101}\) ，(3)正確。
圓在第三象限的點到原點距離小於半徑\(\sqrt{101}>9\) ，(4)錯誤。
圓經旋轉線性變換後仍為圓，可用不含\(xy\)項的二元二次方程式表示，(5)正確。答案為(1)(3)(5)。

證明：由\(\triangle ABC\cong\triangle ACQ\)可得\(CQ = BC = 10\)。過\(A\)作\(AH\perp FC\)於\(H\)，可得\(FH = 15\) 。因為\(\triangle AFH\)與截面相似，相似比為\(\frac{15 - x}{15}\)。設截面矩形長為\(l\)，寬為\(w\)，由相似比可得\(\frac{l}{40}=\frac{15 - x}{15}\)，\(l=\frac{40(15 - x)}{15}=\frac{8(15 - x)}{3}\)；同理可得\(\frac{w}{10}=\frac{15 - x}{15}\) ，\(w=\frac{10(15 - x)}{15}=\frac{2(15 - x)}{3}\)。截面面積\(S = lw\) ，代入化簡可得\(S = 20x+\frac{4}{9}x^{2}\) 。

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