微積分基本定理

承14題，試求\(\int_{-3}^{1}f'(x)dx\) 的值。

問題13：若以方式二抽獎直到抽中為止，試依期望值定義，使用 \(\sum\) 符號表示所需抽獎次數的期望值，並求其值。

某質點在數線上移動，已知其位置坐標為\(s(t)=\int_{0}^{t}(-x^{2}+6x)dx\)，其中\(t\)表時間且\(0 \leq t \leq10\)。若此質點的速度在時段\(0 \leq t < a\)遞增，且在時段\(a < t \leq10\)遞減，試選出正確的\(a\)值。 (1)3 (2)4 (3)5 (4)6 (5)7

設\(F(x)\)、\(f(x)\)皆為實係數多項式函數。已知\(F'(x)=f(x)\)，試選出正確的選項。
(1)若\(a \geq0\)，則\(F(a)-F(0)=\int_{0}^{a} f(t)dt\)
(2)若\(F(x)\)除以\(x\)的商式為\(Q(x)\)，則\(Q(0)=f(0)\)
(3)若\(f(x)\)可被\(x + 1\)整除，則\(F(x)-F(0)\)可被\((x + 1)^{2}\)整除
(4)若對所有實數\(x\)，\(F(x) \geq\frac{x^{2}}{2}\)都成立，則對所有實數\(x\)，\(f(x) \geq x\)也都成立
(5)若對所有\(x\gt0\)，\(f(x) \geq x\)都成立，則對所有\(x\gt0\)，\(F(x) \geq\frac{x^{2}}{2}\)也都成立

(1)由微積分基本定理，若\(F'(x)=f(x)\)且\(f(x)\)在\([0,a]\)上連續，則\(F(a)-F(0)=\int_{0}^{a} f(t)dt\)，所以(1)正確。 (2) 若\(F(x)=xQ(x)\)，則\(F'(x)=Q(x)+xQ'(x)\)，\(f(x)=Q(x)+xQ'(x)\)，\(f(0)=Q(0)\)，所以(2)正確。 (3) 若\(f(x)=(x + 1)g(x)\)，\(F(x)=\int f(x)dx=\int(x + 1)g(x)dx\)，令\(u=x + 1\)，\(F(x)=\int ug(u - 1)du\)，\(F(x)-F(0)=\int_{0}^{x} f(t)dt\)，不一定能被\((x + 1)^{2}\)整除 ，所以(3)錯誤。 (4) 若\(F(x) \geq\frac{x^{2}}{2}\)，\(F'(x)=f(x)\)，對\(F(x)-\frac{x^{2}}{2} \geq0\)求導得\(f(x)-x\)，但不能直接得出\(f(x) \geq x\)對所有實數\(x\)都成立，例如\(F(x)=\frac{x^{2}}{2}+C(C\gt0)\)時，\(F(x) \geq\frac{x^{2}}{2}\)，但\(f(x)=x\)，所以(4)錯誤。 (5) 若\(f(x) \geq x\)對所有\(x\gt0\)成立，\(F(x)-F(0)=\int_{0}^{x} f(t)dt \geq \int_{0}^{x} tdt=\frac{x^{2}}{2}\)，所以\(F(x) \geq\frac{x^{2}}{2}+F(0)\)，當\(F(0) \geq0\)時，\(F(x) \geq\frac{x^{2}}{2}\)，所以(5)正確。答案為(1)(2)(5)。 報錯 ChatGPT    DeepSeek

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