指數函數

坐標平面上,在函數圖形 \(y = 2^x\) 上,標示 \(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\) 四個點,其 \(x\) 坐標分別為 \(-1\)、\(0\)、\(1\)、\(2\)。請選出正確的選項。
(1) 點 \(B\) 落在直線 \(AC\) 下方
(2) 在直線 \(AB\)、直線 \(BC\)、直線 \(CD\) 中,以直線 \(CD\) 的斜率最大
(3) \(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\) 四個點,以點 \(B\) 最靠近 \(x\) 軸
(4) 直線 \(y = 2x\) 與 \(y = 2^x\) 的圖形有兩個交點
(5) 點 \(A\) 與點 \(C\) 對稱於 \(y\) 軸

某個手機程式，每次點擊螢幕上的數$a$後，螢幕上的數會變成 \( a^2 \)。當一開始時螢幕上的數b為正且連續點擊螢幕三次後，螢幕上的數接近 \( 81^3 \)，試問實數$b$最接近下列哪一個選項？
(1)$1.7$ (2)$3$ (3)$5.2$ (4)$9$ (5)$81$。

放射性物質的半衰期T定義為每經過時間T，該物質的質量會衰退成原來的一半。鉛製容器中有兩種放射性物質A、B，開始記錄時容器中物質A的質量為物質B的兩倍，而120小時後兩種物質的質量相同。已知物質A的半衰期為7.5小時，請問物質B的半衰期為幾小時？
(1)8小時 (2)10小時 (3)12小時 (4)15小時 (5)20小時。

在坐標平面上，\( \Gamma \) 是邊長為 4 的正方形，其中心位在點 (1, 1)，且各邊與坐標軸平行。已知函數 \( y = a \times 2^x \) 的圖形與 \( \Gamma \) 相交，其中 \( a \) 為實數，則 \( a \) 的最大可能範圍為 \(\underline{\qquad\qquad} \leq a \leq \underline{\qquad\qquad}\)。

一. 傳染病在發生初期時，由於大部分人未感染且無抗體，所以總感染人數大都以指數形式成長。在「初始感染人數為 \( P_0 \)，且每位已感染者平均一天會傳染給 \( r \) 位未感染者」的前提下，\( n \)天後感染到此疾病的總人數 \( P_n \) 可以表示為 \( P_n = P_0(1+r)^n \)，其中 \( P_0 \geq 1 \) 且 \( r \gt 0 \)。試回答下列問題：
(1) 已知 \( A = \frac{\log P_5 – \log P_2}{3} \), \( B = \frac{\log P_8 – \log P_5}{3} \)，試說明 \( A = B \)。

設指數函數 \(f(x)=1.2^x\)。試選出正確的選項？
(1) \(f(0)\gt0\)
(2) \(f(10)\gt10\)
(3) 坐標平面上，\(y=1.2^x\) 的圖形與直線 \(y=x\) 相交
(4) 坐標平面上，\(y=1.2^x\) 與 \(y=\log(1.2^x)\) 的圖形對稱於直線 \(y=x\)
(5) 對任意正實數 \(b,\log_{1.2}b \neq1.2^b\)

設\(x_{0}\)、\(y_{0}\)為正實數。若坐標平面上的點\((10x_{0},100y_{0})\)在函數\(y = 10^{x}\)的圖形上，則點\((x_{0},\log y_{0})\)會在直線\(y = ax + b\)的圖形上，其中\(a\)、\(b\)為實數。試問\(2a – b\)的值為何？
(1)\(4\)
(2)\(9\)
(3)\(15\)
(4)\(18\)
(5)\(22\)

放射性物質的半衰期T定義為「每經過時間T，該物質的質量會衰退成原來的一半」。鉛製容器中有A、B兩種放射性物質，其半衰期分別為 \( T_A \)、\( T_B \)。開始記錄時這兩種物質的質量相等，112天後測量發現物質B的質量為物質A的質量的四分之一。根據上述，試問 \( T_A \)、\( T_B \) 滿足下列哪一個關係式？
(1) \(-2 + \frac{112}{T_A} = \frac{112}{T_B}\)
(2) \(2 + \frac{112}{T_A} = \frac{112}{T_B}\)
(3) \(-2 + \log_2 \frac{112}{T_A} = \log_2 \frac{112}{T_B}\)
(4) \(2 + \log_2 \frac{112}{T_A} = \log_2 \frac{112}{T_B}\)
(5) \(2 \log_2 \frac{112}{T_A} = \log_2 \frac{112}{T_B}\)