指數與對數

因點\((10x_{0},100y_{0})\)在\(y = 10^{x}\)上，所以\(100y_{0}=10^{10x_{0}}\)，即\(y_{0}=10^{10x_{0}-2}\)，\(\log y_{0}=10x_{0}-2\)。
又因點\((x_{0},\log y_{0})\)在\(y = ax + b\)上，所以\(10x_{0}-2=ax_{0}+b\)，可得\(a = 10\)，\(b=-2\) 。
故\(2a - b=2\times10-(-2)=22\) ，答案為(5)。

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設初始質量為 \(M\)，112天後A的質量為 \(M \cdot 2^{-\frac{112}{T_A}}\)，B的質量為 \(M \cdot 2^{-\frac{112}{T_B}}\)。根據題意，\(M \cdot 2^{-\frac{112}{T_B}} = \frac{1}{4} M \cdot 2^{-\frac{112}{T_A}}\)，即 \(2^{-\frac{112}{T_B}} = 2^{-2} \cdot 2^{-\frac{112}{T_A}}\)。取對數得 \(-\frac{112}{T_B} = -2 - \frac{112}{T_A}\)，整理得 \(2 + \frac{112}{T_A} = \frac{112}{T_B}\)。答案為(2)。

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由等比數列通項公式\(a_{n}=a_{1}q^{n - 1}\)（此處\(a_{1}=10\)，\(q = 10\)）可得\(a_{n}=10^{n}\)。
則\(b=\log_{a_{1}}a_{2}+\log_{a_{2}}a_{3}+\log_{a_{3}}a_{4}=\log_{10}10^{2}+\log_{10^{2}}10^{3}+\log_{10^{3}}10^{4}\)。
根據換底公式\(\log_{m}n=\frac{\log_{k}n}{\log_{k}m}\)，可化簡為\(b = 2+\frac{3}{2}+\frac{4}{3}=\frac{12 + 9 + 8}{6}=\frac{29}{6}\approx4.83\) ，所以\(4 < b\leqslant5\) ，答案為(3)。

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已知\(\{a_n\}\)是公差\(d = 2\)的等差數列，則\(a_n = a_1 + 2(n - 1)\)。由\(\log_2 a_3, \log_2 b, \log_2 a_9\)成等差數列，得\(2\log_2 b = \log_2 a_3 + \log_2 a_9\)，即\(b^2 = a_3 a_9\)。計算\(a_3 = a_1 + 4\)，\(a_9 = a_1 + 16\)，代入\(b^2 = (a_1 + 4)(a_1 + 16)\)。因b為\(a_4, a_5, a_6, a_7, a_8\)之一，逐一驗證：若\(b = a_4 = a_1 + 6\)，則\((a_1 + 6)^2 = (a_1 + 4)(a_1 + 16)\)，展開得：\(a_1^2 + 12a_1 + 36 = a_1^2 + 20a_1 + 64 \implies -8a_1 = 28 \implies a_1 = -\frac{7}{2}\)
此時\(a_3 = -\frac{7}{2} + 4 = \frac{1}{2} > 0\)，符合條件。因此，\(a_9 = a_1 + 16 = -\frac{7}{2} + 16 = \frac{25}{2}\)。最終答案：\(\boxed{\dfrac{25}{2}}\)

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