設\(x_{0}\)、\(y_{0}\)為正實數。若坐標平面上的點\((10x_{0},100y_{0})\)在函數\(y = 10^{x}\)的圖形上，則點\((x_{0},\log y_{0})\)會在直線\(y = ax + b\)的圖形上，其中\(a\)、\(b\)為實數。試問\(2a – b\)的值為何？
(1)\(4\)
(2)\(9\)
(3)\(15\)
(4)\(18\)
(5)\(22\)
答案
指數與對數
112分科測驗數學甲考科試題-02
放射性物質的半衰期T定義為「每經過時間T，該物質的質量會衰退成原來的一半」。鉛製容器中有A、B兩種放射性物質，其半衰期分別為 \( T_A \)、\( T_B \)。開始記錄時這兩種物質的質量相等，112天後測量發現物質B的質量為物質A的質量的四分之一。根據上述，試問 \( T_A \)、\( T_B \) 滿足下列哪一個關係式？
(1) \(-2 + \frac{112}{T_A} = \frac{112}{T_B}\)
(2) \(2 + \frac{112}{T_A} = \frac{112}{T_B}\)
(3) \(-2 + \log_2 \frac{112}{T_A} = \log_2 \frac{112}{T_B}\)
(4) \(2 + \log_2 \frac{112}{T_A} = \log_2 \frac{112}{T_B}\)
(5) \(2 \log_2 \frac{112}{T_A} = \log_2 \frac{112}{T_B}\)
答案
設初始質量為 \(M\)，112天後A的質量為 \(M \cdot 2^{-\frac{112}{T_A}}\)，B的質量為 \(M \cdot 2^{-\frac{112}{T_B}}\)。根據題意，\(M \cdot 2^{-\frac{112}{T_B}} = \frac{1}{4} M \cdot 2^{-\frac{112}{T_A}}\)，即 \(2^{-\frac{112}{T_B}} = 2^{-2} \cdot 2^{-\frac{112}{T_A}}\)。取對數得 \(-\frac{112}{T_B} = -2 - \frac{112}{T_A}\)，整理得 \(2 + \frac{112}{T_A} = \frac{112}{T_B}\)。答案為(2)。 報錯
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111分科數學甲試題-01
設\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(a_{3}\)，\(a_{4}\)是首項為10、公比是10的等比數列。令\(b = \sum_{n = 1}^{3}\log_{a_{n}}a_{n + 1}\) ，試選出\(b\)的範圍。(1)\(2 < b\leqslant3\)(2)\(3 < b\leqslant4\)(3)\(4 < b\leqslant5\)(4)\(5 < b\leqslant6\)(5)\(6 < b\leqslant7\)
[單選]
答案
由等比數列通項公式\(a_{n}=a_{1}q^{n - 1}\)（此處\(a_{1}=10\)，\(q = 10\)）可得\(a_{n}=10^{n}\)。
則\(b=\log_{a_{1}}a_{2}+\log_{a_{2}}a_{3}+\log_{a_{3}}a_{4}=\log_{10}10^{2}+\log_{10^{2}}10^{3}+\log_{10^{3}}10^{4}\)。
根據換底公式\(\log_{m}n=\frac{\log_{k}n}{\log_{k}m}\)，可化簡為\(b = 2+\frac{3}{2}+\frac{4}{3}=\frac{12 + 9 + 8}{6}=\frac{29}{6}\approx4.83\) ，所以\(4 < b\leqslant5\) ，答案為(3)。 報錯
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03-113分科測驗數學甲試題11
設 實數 \( a_{1},a_{2},\cdots,a_{9} \) 是 公差為 \( 2 \) 的 等 差 數列 ,其中 \( a_{1}\neq0\) 且 \( a_{3}>0\)。若 \(\log_{2}a_{3},\log_{2}b,\log_{2}a_{9}\) 三數依序也成等差數列 ,其中 \( b \) 為 \( a_{4},a_{5},a_{6},a_{7},a_{8} \) 其中一數,則 \(a_9 =\)__________ 。
[選填]
答案
已知\(\{a_n\}\)是公差\(d = 2\)的等差數列，則\(a_n = a_1 + 2(n - 1)\)。由\(\log_2 a_3, \log_2 b, \log_2 a_9\)成等差數列，得\(2\log_2 b = \log_2 a_3 + \log_2 a_9\)，即\(b^2 = a_3 a_9\)。計算\(a_3 = a_1 + 4\)，\(a_9 = a_1 + 16\)，代入\(b^2 = (a_1 + 4)(a_1 + 16)\)。因b為\(a_4, a_5, a_6, a_7, a_8\)之一，逐一驗證：若\(b = a_4 = a_1 + 6\)，則\((a_1 + 6)^2 = (a_1 + 4)(a_1 + 16)\)，展開得：\(a_1^2 + 12a_1 + 36 = a_1^2 + 20a_1 + 64 \implies -8a_1 = 28 \implies a_1 = -\frac{7}{2}\)
此時\(a_3 = -\frac{7}{2} + 4 = \frac{1}{2} > 0\)，符合條件。因此，\(a_9 = a_1 + 16 = -\frac{7}{2} + 16 = \frac{25}{2}\)。最終答案：\(\boxed{\dfrac{25}{2}}\) 報錯
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04 – 114學測數學b試題03
已知實數 \( a,b \) 滿足 \( \frac{1}{2} \lt a \lt 1 \) 及 \( 1 \lt b \lt 2 \)。試問下列哪個選項的值最小？
(1) 0
(2) \( \log a \)
(3) \( \log(a^2) \)
(4) \( \log b \)
(5) \( \frac{1}{\log b} \)
答案
1. 分析選項(2)：
因 \( \frac{1}{2} < a < 1 \)，對數函數 \( y = \log x \)（以10或自然對數為底，底數>1）在\( (0,1) \)上為負，故 \( \log a < 0 \)。
2. 分析選項(3)：
\( \log(a^2) = 2\log a \)，因 \( \log a < 0 \)，故 \( 2\log a < \log a \)（負數乘以2更小）。
3. 分析選項(4)：
因 \( 1 < b < 2 \)，故 \( \log b > 0 \)。
4. 分析選項(5)：
因 \( \log b > 0 \)，故 \( \frac{1}{\log b} > 0 \)。
5. 比較選項(2)與(3)：
令 \( a = \frac{\sqrt{2}}{2} \)（滿足 \( \frac{1}{2} < a < 1 \)），則 \( \log a = \log \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2}\log 2 - \log 2 = -\frac{1}{2}\log 2 \)，\( \log(a^2) = 2 \times (-\frac{1}{2}\log 2) = -\log 2 \)。
因 \( -\log 2 < -\frac{1}{2}\log 2 \)，故 \( \log(a^2) < \log a \)。
综上，選項(3)的值最小。" 報錯
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https://www.ceec.edu.tw/files/file_pool/1/0p051541901400830673/04-114%e5%ad%b8%e6%b8%ac%e6%95%b8%e5%ad%b8b%e7%ad%94%e6%a1%88.pdf
04 – 114學測數學b試題18
地球受到太陽照射過來的紫外線強度以\(UVI\)數值表示, 一單位\(UVI\)的照射強度相當於每平方公尺\(100\)焦耳的能量。已知\(UVI\)數值與所在高度呈指數關係： 高度每上升\(300\)公尺,其\(UVI\)數值增加上升前的\(4\%\)。在地平面上接收到太陽發出每平方公尺\(400\)焦耳的紫外線,則到了離地平面\(4500\)公尺高的山上,接收到紫外線的\(UVI\)數值為下列哪一個選項？(1) \(4(1 + 0.04×15)\)；(2) \(4(1 + 0.04^{15})\)；(3) \(4(1 + 0.04)^{15}\)；(4) \(4×100(1 + 0.04)^{15}\)；(5) \(4×100(1 + 0.04^{45})\)
[單選]
答案
113學測數學B試題-02
已知\(a\),\(b\),\(c\)為實數,且滿足\(1\lt a\lt10\)、\(b = \log a\)、\(c = \log b\),試選出正確的選項。(1) \(c\lt0\lt b\lt1\)；(2) \(0\lt c\lt1\lt b\)；(3) \(0\lt c\lt b\lt1\)；(4) \(1\lt c\lt b\)；(5) \(c\lt b\lt0\)
[單選]
答案
04 – 113學測數學b試題18
題組說明18-20
地球受到太陽照射過來的紫外線強度以 UVI 數值表示，一單位 UVI 的照射強度相當於每平方公尺 100 焦耳的能量。根據上述，試回答下列問題。
單選題 18.已知 UVI 數值與所在高度呈指數關係：高度每上升 300 公尺，其 UVI 數值增加上升前的 4%。在地平面上接收到太陽發出每平方公尺 400 焦耳的紫外線，則到了離地平面 4500 公尺高的山上，接收到紫外線的 UVI 數值為下列哪一個選項？
(1) \( 4(1+0.04 \times 15) \)
(2) \( 4(1+0.04^{15}) \)
(3) \( 4(1+0.04)^{15} \)
(4) \( 4 \times 100 (1+0.04)^{15} \)
(5) \( 4 \times 100 (1+0.04^{45}) \)
題組說明18-20
非選擇題,19,”已知某日某地的日照時數（日出到日落）恰為 12 小時，且該地當天日出後 \( x \) 小時 (\( 0 \leq x \leq 12 \)) 的 UVI 數值，可用函數 \( f(x) = a \sin(bx) \) 來表示，其中 \( a, b > 0 \)。假設日照時 UVI 數值為正，非日照時 UVI 數值為 0（即 \( f(0) = f(12) = 0 \)），且當天日出後 2 小時的 UVI 數值為 4。試求 \( a, b \) 之值。
題組說明18-20
非選擇題,20,承 19 題，今某人要在該日 UVI 數值介於 \( 4\sqrt{2} \) 和 \( 4\sqrt{3} \) 之間（含）時做日光浴。將他可以做日光浴的時間設為日出後 \( t \) 小時，試求 \( t \) 的最大可能範圍。
答案
(3)
地面 UVI = \( \frac{400}{100} = 4 \)
高度倍率 = \( (1+0.04)^{4500/300} = (1.04)^{15} \)
∴ 山上 UVI = \( 4 \times (1.04)^{15} \)
\( a = 8 \), \( b = \frac{\pi}{12} \)
由 \( f(12) = a \sin(12b) = 0 \) 得 \( 12b = \pi \Rightarrow b = \frac{\pi}{12} \)
由 \( f(2) = a \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{a}{2} = 4 \Rightarrow a = 8 \)
\( 3 \leq t \leq 4 \) 與 \( 8 \leq t \leq 9 \)
\( 4\sqrt{2} \leq 8 \sin\left(\frac{\pi}{12}t\right) \leq 4\sqrt{3} \)
⇒ \( \frac{\sqrt{2}}{2} \leq \sin\left(\frac{\pi}{12}t\right) \leq \frac{\sqrt{3}}{2} \)
⇒ \( \frac{\pi}{4} \leq \frac{\pi}{12}t \leq \frac{\pi}{3} \) 或 \( \frac{2\pi}{3} \leq \frac{\pi}{12}t \leq \frac{3\pi}{4} \)
⇒ \( 3 \leq t \leq 4 \) 或 \( 8 \leq t \leq 9 \) 報錯
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