指數運算

(1) ○：\( y = \log_2 x \) 是遞增函數，故直線 \( L \) 的斜率為正（大於0）。
(2) ×：\( R \) 是 \( P、Q \) 中點，故 \( \frac{b+d}{2} = 0 \implies b = -d \)。
若 \( bd = -1 \)，則 \( -d^2 = -1 \implies d = \pm1 \)（取正），此時僅 \( P\left(\frac{1}{2}, -1\right)、Q(2, 1) \) 滿足，其他點坐標不成立。
(3) ○：由 \( \log_2 a = b \)、\( \log_2 c = d \) 且 \( b + d = 0 \)，得：
\[
\log_2 a + \log_2 c = 0 \implies \log_2(ac) = 0 \implies ac = 2^0 = 1
\]
(4) ×：\( y = \log_2 x \) 過 \( (1,0) \) 且圖形凹口向上（非向下）；若 \( L \) 的 \( y \)-截距大於 \( -1 \)，則 \( PR \neq RQ \)。
(5) ○：同(4)，直線 \( L \) 的 \( x \)-截距大於1。

故選 \( \boxed{(1)(3)(5)} \)。

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已知\(F_{n}=2^{(2^{n})}+1\)，則\(\frac{F_{13}}{F_{12}}=\frac{2^{2^{13}} + 1}{2^{2^{12}}+1}\)。
因為\(2^{2^{13}}=2^{2^{12}\times2}=(2^{2^{12}})^2\)，當\(x\)很大時，\(\frac{2^{2^{13}} + 1}{2^{2^{12}}+1}\approx\frac{2^{2^{13}}}{2^{2^{12}}}=2^{2^{13}-2^{12}}=2^{2^{12}(2 - 1)}=2^{2^{12}}\)。
設\(N = 2^{2^{12}}\)，對其取常用對數\(\log N=\log(2^{2^{12}})=2^{12}\log 2\)。
\(2^{12}=4096\)，\(\log N = 4096\times0.3010\approx1233\)。
根據數的位數公式，若\(\log N = n + d\)（\(n\)為整數，\(0\leq d<1\)），則\(N\)的位數是\(n + 1\)，所以\(2^{2^{12}}\)的位數約為\(1233 + 1 = 1234\)，最接近1200。 答案為(5)。

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已知\(A(a,\log _{2}a)\)，\(B(b,\log _{2}b)\)，根據斜率公式\(k=\frac{\log _{2}b-\log _{2}a}{b - a}=2\)，即\(\log _{2}\frac{b}{a}=2(b - a)\)。
由距離公式\(\sqrt{(b - a)^{2}+(\log _{2}b-\log _{2}a)^{2}}=\sqrt{5}\)，把\(\log _{2}\frac{b}{a}=2(b - a)\)代入得\(\sqrt{(b - a)^{2}+4(b - a)^{2}}=\sqrt{5}\)。
即\(\sqrt{5(b - a)^{2}}=\sqrt{5}\)，\((b - a)^{2}=1\)，又\(a\lt b\)，所以\(b - a = 1\)，即\(b=a + 1\)。
將\(b=a + 1\)代入\(\log _{2}\frac{b}{a}=2(b - a)\)，得\(\log _{2}\frac{a + 1}{a}=2\)，即\(\frac{a + 1}{a}=4\)，解得\(a=\frac{1}{3}\)，\(b=\frac{4}{3}\)。
所以\((a, b)=(\frac{1}{3},\frac{4}{3})\) 。

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(2)

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(2)(4)(5)。

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