一隻青蛙位於坐標平面的原點，每步隨機朝上、下、左、右跳一單位長，總共跳了四步。青蛙跳了四步後恰回到原點的機率為__________。（化成最簡分數）
[選填題]
答案
排列組合
105學測數學考科–13
甲、乙、丙、丁四位男生各騎一台機車約 \(A, B, C, D\) 四位女生一起出遊，他們約定讓四位女生依照 \(A, B, C, D\) 的順序抽鑰匙來決定搭乘哪位男生的機車。其中除了 \(B\) 認得甲的機車鑰匙，並且絕對不會選取之外，每個女生選取這些鑰匙的機會都均等。請選出正確的選項。
(1) A 抽到甲的鑰匙的機率大於 \(C\) 抽到甲的鑰匙的機率
(2) C 抽到甲的鑰匙的機率大於 \(D\) 抽到甲的鑰匙的機率
(3) A 抽到乙的鑰匙的機率大於 \(B\) 抽到乙的鑰匙的機率
(4) B 抽到丙的鑰匙的機率大於 \(C\) 抽到丙的鑰匙的機率
(5) C 抽到甲的鑰匙的機率大於 \(C\) 抽到乙的鑰匙的機率。
答案
計算各機率：
\( P(A抽甲)=\frac{1}{4} \)，\( P(C抽甲)=\frac{3}{4}\times1\times\frac{1}{2}=\frac{3}{8} \)，(1)錯誤。
\( P(D抽甲)=\frac{3}{8} \)，(2)錯誤。
\( P(A抽乙)=\frac{1}{4} \)，\( P(B抽乙)=\frac{1}{3} \)，(3)錯誤。
\( P(B抽丙)=\frac{1}{3} \)，\( P(C抽丙)=\frac{5}{24} \)，(4)正確。
\( P(C抽甲)=\frac{3}{8} \)，\( P(C抽乙)=\frac{5}{24} \)，(5)正確。故選(4)(5)。答案：(4)(5)
105學測數學考科–A
考慮每個元（或稱元素）只能是0或1的2×3階矩陣，且它的第一列與第二列不相同且各列的元素不能全為零，這樣的矩陣共有 __________ 個。
[選填題]
答案
107學測數學考科-03
某公司規定員工可在一星期（七天）當中選擇兩天休假。若甲、乙兩人隨機選擇休假日且兩人的選擇互不相關，試問一星期當中發生兩人在同一天休假的機率為何？
(1) \(\frac{1}{3}\)
(2) \(\frac{8}{21}\)
(3) \(\frac{3}{7}\)
(4) \(\frac{10}{21}\)
(5) \(\frac{11}{21}\)
答案
108學測數學考科-04
廚師購買了豬、雞、牛三種肉類食材以及白菜、豆腐、香菇三種素類食材。若廚師想用完這六種食材作三道菜，每道菜可以只用一種食材或用多種食材，但每種食材只能使用一次，且每道菜一定要有肉，試問食材的分配共有幾種方法？
(1) 3
(2) 6
(3) 9
(4) 18
(5) 27。
108學測數學考科-05
設正實數\(b\)滿足 \(\log(100)(\log b) + \log 100 + \log b = 7\)，試選出正確的選項。
(1) \(1 \leq b \leq \sqrt{10}\)
(2) \(\sqrt{10} \leq b \leq 10\)
(3) \(10 \leq b \leq 10\sqrt{10}\)
(4) \(10\sqrt{10} \leq b \leq 100\)
(5) \(100 \leq b \leq 100\sqrt{10}\)。
答案
108學測數學考科-09
從1, 2, 3, 4, 5, 6, 7這七個數字中隨機任取兩數。試選出正確的選項。
(1)其和大於10的機率為\(\frac{1}{7}\)
(2)其和小於5的機率為\(\frac{1}{7}\)
(3)其和為奇數的機率為\(\frac{4}{7}\)
(4)其差為偶數的機率為\(\frac{5}{7}\)
(5)其積為奇數的機率為\(\frac{2}{7}\)。
答案
109學測數學考科-08
有一個遊戲的規則如下：丟三顆公正骰子，若所得的點數恰滿足下列（A）或（B）兩個條件之一，可得到獎金100元；若兩個條件都滿足，則共得200元獎金；若兩個條件都不滿足，則無獎金。
（A）三個點數皆為奇數或者皆為偶數
（B）三個點數由小排到大為等差數列
若已知有兩顆骰子的點數分別為1,3，且所得獎金為100元，則未知的骰子點數可能為何？
(1) 2
(2) 3
(3) 4
(4) 5
(5) 6。
110學測數學考科_12
設 \( P(X) \) 表示事件 X 發生的機率，而 \( P(X|Y) \) 表示在事件 Y 發生的條件下，事件 X 發生的機率。今有 2 顆黑球、2 顆白球、3 顆紅球共 7 顆大小相同的球排成一列。設事件 A 為 2 顆黑球相鄰的事件，事件 B 為 2 顆黑球不相鄰的事件，而事件 C 為任 2 顆紅球都不相鄰的事件。試選出正確的選項。
(1) \( P(A) > P(B) \)
(2) \( P(C) = \frac{2}{7} \)
(3) \( 2P(C|A) + 5P(C|B) < 2 \)
(4) \( P(C|A) > 0.2 \)
(5) \( P(C|B) > 0.3 \)
答案
總排列數 7!。
(1)錯誤：P(A)= (6!×2!)/7! = 2/7, P(B)=1-2/7=5/7, 故 P(A)
(3)錯誤：由全機率公式 P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B) ⇒ (2/7)P(C|A)+(5/7)P(C|B)=2/7 ⇒ 2P(C|A)+5P(C|B)=2。
(4)錯誤：P(C|A)= n(C∩A)/n(A) = [3!×2!×C(5,3)×3!] / (6!×2!) = 1/5 = 0.2。
(5)正確：代入(3)式，2×(1/5)+5P(C|B)=2 ⇒ P(C|B)=8/25=0.32>0.3。(2)(5)
110學測數學考科_C
從 \( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \) 這九個數中任意取出三個相異的數，每數被取出的機率皆相等，則三數乘積是一完全平方數的機率為 \(\underline{\qquad\qquad}\)。（化成最簡分數）
[選填題]
答案