排列組合
112學測數學A考科-04
將數字1、2、3、⋯⋯、9等9個數字排成九位數（數字不得重複），使得前5位從左至右遞增，且後5位從左至右遞減。試問共有幾個滿足條件的九位數？
$(1) \quad \frac{81}{414!} \quad $
(2) $\quad \frac{81}{513!} \quad$
(3) $\quad \frac{91}{514!} \quad $
(4) $\quad \frac{81}{51} \quad $
(5) $\quad \frac{91}{51}$
答案
114學測數學A考科_03
某校舉辦音樂會，包含鋼琴表演5個、小提琴表演4個、歌唱表演3個等三類表演共12個不同曲目。該校想將同類表演排在一起，且歌唱必須排在鋼琴之後或是小提琴之後。試問這場音樂會可能的曲目排列方式共有幾種？
(1) \(5!\times4!\times3!\)
(2) \(2\times5!\times4!\times3!\)
(3) \(3\times5!\times4!\times3!\)
(4) \(4\times5!\times4!\times3!\)
(5) \(6\times5!\times4!\times3!\)
答案
113學測數學A考科_05
將1到50這50個正整數平分成甲乙兩組，每組各25個數，使得甲組的中位數比乙組的中位數小1。試問共有幾種分法？
(1) \(C_{25}^{50}\)
(2) \(C_{24}^{48}\)
(3) \(C_{12}^{24}\)
(4) \((C_{12}^{24})^2\)
(5) \(C_{24}^{48} \cdot C_{12}^{24}\)
答案
107指考數學乙試題-稿C
有100元、200元、300元、400元的紅包袋各一個，由甲、乙、丙三人依序各抽取1個紅包袋，抽取後不放回。若每個紅包袋被抽取的機會都相等，則甲、乙、丙三人紅包金額總和的期望值為 __________ 元。
[選填題]
答案
105指考數學乙試題-02
考慮有理數 \(\frac{n}{m}\)，其中 \( m \)、\( n \) 為正整數且 \( 1 \leq mn \leq 8 \)。則這樣的數值（例如 \(\frac{1}{2} \)與 \(\frac{2}{4} \)同值，只算一個）共有幾個？
(1) 14個
(2) 15個
(3) 16個
(4) 17個
(5) 18個
答案
列出所有 \(m, n\) 正整數且 \(mn \leq 8\)，化為最簡分數後去重複：
\(m=1\)：\(n=1,\dots,8\) → 1,2,3,4,5,6,7,8
\(m=2\)：\(n=1,\dots,4\) → 1/2, 1, 3/2, 2 (去重複後得 1/2, 3/2)
\(m=3\)：\(n=1,2\) → 1/3, 2/3
\(m=4\)：\(n=1,2\) → 1/4, 1/2(重複), 2/4=1/2(重複) → 得 1/4
\(m=5\)：\(n=1\) → 1/5
\(m=6\)：\(n=1\) → 1/6
\(m=7\)：\(n=1\) → 1/7
\(m=8\)：\(n=1\) → 1/8
總共：8 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 17 個。
答案為 (4)。
105指考數學乙試題-05
甲先生、乙先生、丙先生、丁先生四位男士以及A小姐、B小姐、C小姐、D小姐四位女士想要混搭兩部計程車，每車載有四名乘客。已知：
（一）甲先生與A小姐同車
（二）乙先生與B小姐同車
（三）C小姐與D小姐不同車
請選出正確的選項。
(1) A小姐與D小姐必不同車
(2) 甲先生與B小姐必不同車
(3) 乙先生與丙先生必同車
(4) 如果乙先生與丁先生同車，則丙先生與B小姐必同車
(5) 如果D小姐與乙先生同車，則C小姐與A小姐必同車
答案
用推理：設兩車為車1、車2。
由(1)甲A同車，(2)乙B同車，(3)C,D不同車。
(1) A與D不一定不同車，可能同車，錯誤。
(2) 甲與B：若甲與B同車，則該車有甲,A,B，另一車有乙,B? 矛盾，因為B只能在一車，所以甲與B必不同車，正確。
(3) 乙與丙不一定同車，錯誤。
(4) 若乙與丁同車，則該車有乙,B,丁，另一車有甲,A,C/D。若丙在乙車則4人滿；若丙在甲車，則甲車有甲,A,丙,C/D，則B車有乙,B,丁,? 必須是C或D，但C,D不同車，所以若B車有C，則甲車有D；若B車有D，則甲車有C。此時丙在甲車，與B小姐不同車。所以(4)不一定成立，錯誤。
(5) 若D與乙同車，則乙車有乙,B,D，另一車有甲,A,C（因C,D不同車）。所以C與A同車，正確。
答案為 (2)(5)。
105指考數學乙試題-稿A
不透明袋中有三顆白球及三顆紅球。從袋中每次取出一球依序置於桌面，每次每顆球被取出的機率相同。全部取出後，前三顆球中有相鄰兩球同為白球的機率為 \(\frac{\underline{\qquad\qquad}}{\underline{\qquad\qquad}}\)。（請化為最簡分數）
[選填題]106指考數學乙試題-稿B
不等式 \( x+y \leq 47 \) 的所有非負整數解中，滿足 \( x \geq y \) 的解共有 __________ 組。
[選填題]
答案
106指考數學乙試題-非選擇二(2)
(2)試問 \( Y \leq 50 \) 的機率 \( P(Y \leq 50) \) 為何？
[非選擇題]
答案
總代幣數 \( 13+12=25 \) 枚。
取2枚的組合數 \( C(25,2) = 300 \)。
\( Y \leq 50 \) 表示兩枚代幣金額和 ≤ 50。
可能情況：
- 兩枚都是10元（藍）：\( C(12,2)=66 \)
- 一枚10元（藍）一枚20元（綠）：\( 12\times 9 = 108 \)
- 兩枚都是20元（綠）：\( C(9,2)=36 \)
- 一枚10元（藍）一枚50元（紅）：\( 12\times 4 = 48 \)（和=60>50，不算）
- 其他組合都會超過50。
所以符合的組合數 = 66+108+36 = 210。
機率 \( = \frac{210}{300} = \frac{7}{10} \)。
答案為 \( \frac{7}{10} \)。