排列組合

將 2 翻譯、3 工程師、3 助理共 8 人分派至「研發」與「測試」兩部門（各 4 人），且每部門至少有 1 名翻譯與 1 名工程師。

因翻譯僅 2 人，故兩部門**各分 1 名**。

研發部門的合法組合只有兩種：

1. **1 翻譯＋1 工程師＋2 助理**
　→ \( \binom{2}{1} \times \binom{3}{1} \times \binom{3}{2} = 2 \times 3 \times 3 = 18 \)

2. **1 翻譯＋2 工程師＋1 助理**
　→ \( \binom{2}{1} \times \binom{3}{2} \times \binom{3}{1} = 2 \times 3 \times 3 = 18 \)

總計：\( 18 + 18 = 36 \)

**答：36 種**

https://www.ceec.edu.tw/files/file_pool/1/0p051541901400830673/04-114%e5%ad%b8%e6%b8%ac%e6%95%b8%e5%ad%b8b%e7%ad%94%e6%a1%88.pdf

76 分成公差0,15,30,45四類來討論

設等差數列公差為 \(d\),\(b = a + d\),\(c = a + 2d\)。因為 \(1\leqslant a\lt b\lt c\leqslant20\),\(c=a + 2d\leqslant20\),\(a\geqslant1\),\(d\geqslant1\)。當 \(d = 1\) 時,\(a\) 最小為 \(1\),\(c=a + 2\leqslant20\),\(a\) 最大為 \(18\),有 \(18\) 種；當 \(d = 2\) 時,\(a\) 最小為 \(1\),\(c=a + 4\leqslant20\),\(a\) 最大為 \(16\),有 \(16\) 種；\(\cdots\)；當 \(d = 9\) 時,\(a\) 最小為 \(1\),\(c=a + 18\leqslant20\),\(a\) 最大為 \(2\),有 \(2\) 種。總取法為 \(2 + 4+\cdots+18=\frac{9\times(2 + 18)}{2}=90\) 種。即 \(\underline{○14 - 1}=90\),\(\underline{○14 - 2}=0\)。

https://www.ceec.edu.tw/files/file_pool/1/0n045357541158913049/04-112%e5%ad%b8%e6%b8%ac%e6%95%b8%e5%ad%b8b%e9%81%b8%e6%93%87%28%e5%a1%ab%29%e9%a1%8c%e7%ad%94%e6%a1%88.pdf

$\begin{align*}
&分類計算含0的5位數（數字為0、1、2）：\\
&- 5個0：\underline{00000}，共4次；\\
&- 4個0：\\
&\quad ① x\underline{0000}（或\underline{0000}x）：x取1/2，共3×2×2=12次；\\
&\quad ② 0x\underline{000}（或\underline{000}x0）：x取1/2，共2×2×2=8次；\\
&\quad ③ 00x00：x取1/2，共2×2×1=4次；\\
&- 3個0：\\
&\quad ① \underline{000}xx（或xx\underline{000}、x\underline{000}x）：x取1/2，共2×2^2×3=24次；\\
&\quad ② 00x0x（及對稱形式）：x取1/2，共1×2^2×6=24次；\\
&- 2個0：\\
&\quad 00xxx（及對稱形式）：x取1/2，共1×2^3×4=32次；\\
\\
&總數：4+12+8+4+24+24+32=108，即a(5)=108。
\end{align*}$

https://www.ceec.edu.tw/files/file_pool/1/0n045357541158913049/04-112%e5%ad%b8%e6%b8%ac%e6%95%b8%e5%ad%b8b%e9%81%b8%e6%93%87%28%e5%a1%ab%29%e9%a1%8c%e7%ad%94%e6%a1%88.pdf

$\begin{align*}
&計算「有3號且任三個不相鄰」的選法：\\
&固定選3號，需選另外2個不與3相鄰的號（從1、5-8中選），共7種。\\
\\
&任三個不相鄰的總選法：\mathrm{C}_6^3=20種，\\
&故「不包含3號且任三個不相鄰」的選法：20-7=13種，選(2)。
\end{align*}$

https://www.ceec.edu.tw/files/file_pool/1/0m053363176747148935/04-111%e5%ad%b8%e6%b8%ac%e6%95%b8%e5%ad%b8b%e9%81%b8%e6%93%87%28%e5%a1%ab%29%e9%a1%8c%e7%ad%94%e6%a1%88.pdf

設藍、綠、黃球數分別為 \(a, b, c\)，則
\[
a + b + c = 10
\]

1. 兩球皆藍的機率：
\[
\frac{C^a_2}{C^{10}_2} = \frac{a(a-1)/2}{45} = \frac{a(a-1)}{90} = \frac{1}{15}
\]
\[
a(a-1) = 6 \quad \Rightarrow \quad a^2 - a - 6 = 0
\]
\[
(a-3)(a+2) = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 3 \quad (\text{取正})
\]

2. 兩球皆綠的機率：
\[
\frac{C^b_2}{45} = \frac{b(b-1)/2}{45} = \frac{b(b-1)}{90} = \frac{2}{9}
\]
\[
b(b-1) = 20 \quad \Rightarrow \quad b^2 - b - 20 = 0
\]
\[
(b-5)(b+4) = 0 \quad \Rightarrow \quad b = 5
\]

3. 因此
\[
c = 10 - a - b = 10 - 3 - 5 = 2
\]

4. 兩球同色的機率：
\[
P_{\text{同}} = \frac{C^3_2 + C^5_2 + C^2_2}{45}
= \frac{3 + 10 + 1}{45} = \frac{14}{45}
\]

5. 兩球異色的機率：
\[
P_{\text{異}} = 1 - \frac{14}{45} = \frac{31}{45}
\]

**答案：** \(\boxed{\frac{31}{45}}\)

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$\begin{align*}
&總排列數：6!=720種。\\
\\
&不合情形（無交集）：\\
&① 男女各一側：3!×3!×2=72種（3男、3女分側，兩側可交換）；\\
&② AB相鄰：將AB視為整體，共4個相鄰位置，AB排列有2種，其餘4人排列有4!種，\\
&\quad 故n(AB相鄰)=4×2×4!=192種；\\
\\
&符合條件的排列數：720-72-192=456種。
\end{align*}$

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