數的大小比較
109指考數學乙(補考)試題-3)
二、(3) 已知數列 \( \langle a_n \rangle \) 並不是每一項都是有理數，試求 \( x \) 的值及所對應的公比。
答案
108指考數學乙試題-01
設 \( a \)、\( b \) 為循環小數， \( a = 0.\overline{12} \)、\( b = 0.\overline{01} \)，則 \( a – b \) 的值是下列哪一個選項？
(1) 0.11
(2) 0.1111
(3) \(\frac{1}{9}\)
(4) \(\frac{10}{99}\)
(5) \(\frac{100}{999}\)
答案
108指考數學乙試題-04
已知正整數 \(a\) 與正整數 \(b\) 的乘積是11位數，而 \(a\) 除以 \(b\) 的商之整數部分是2位數，則 \(a\) 可能為幾位數？
(1) 5位數
(2) 6位數
(3) 7位數
(4) 8位數
(5) 9位數
答案
設 \(a\) 為 \(m\) 位數，\(b\) 為 \(n\) 位數，則 \(10^{m-1} \le a \lt 10^m\)，\(10^{n-1} \le b \lt 10^n\)。
乘積為 11 位數：\(10^{10} \le ab \lt 10^{11}\)。
商之整數部分為 2 位數：\(10 \le a/b \lt 100\)。
由 \(a/b \lt 100\) 得 \(a \lt 100b \lt 100 \cdot 10^n = 10^{n+2}\)，所以 \(m \le n+2\)。
由 \(a/b \ge 10\) 得 \(a \ge 10b \ge 10 \cdot 10^{n-1} = 10^n\)，所以 \(m \ge n\)。
由 \(ab \ge 10^{10}\) 得 \(m+n-1 \ge 10 \Rightarrow m+n \ge 11\)。
由 \(ab \lt 10^{11}\) 得 \(m+n-1 \lt 11 \Rightarrow m+n \lt 12\)。
所以 \(m+n = 11\)。
又 \(n \le m \le n+2\)，且 \(m+n=11\)，解得 \(m=5,6\) 對應 \(n=6,5\) 或 \(m=6,5\) 等，檢查得 \(m\) 可能為 5 或 6。
答案為 (1)(2)。 報錯
ChatGPT DeepSeek
112學測數學B試題-09
已知 \( a=6 \)、\( b=\frac{20}{3} \)、\( c=2\sqrt{10} \) 和 \( d \)，且 \( d \) 為有理數，將這四個數標註在數線上，即 \( A(a) \)、\( B(b) \)、\( C(c) \) 和 \( D(d) \)。試選出正確的選項。
(1) \( a+b+c+d \) 必為一個有理數
(2) \( abcd \) 必為一個無理數
(3) 點 \( D \) 有可能與點 \( C \) 的距離等於 \( 2\sqrt{10}+6 \)
(4) 點 \( A \) 和點 \( B \) 的中點位在點 \( C \) 的右邊
(5) 數線上和點 \( B \) 距離小於 8 的所有點中，正整數有 14 個，負整數有 1 個
答案
1. 分析選項(1)：
\( a \)、\( b \)、\( d \) 為有理數，\( c=2\sqrt{10} \) 為無理數，有理數 + 無理數 = 無理數，故 \( a+b+c+d \) 必為無理數，選項(1)錯誤。
2. 分析選項(2)：
若 \( d=0 \)（有理數），則 \( abcd = 6 \times \frac{20}{3} \times 2\sqrt{10} \times 0 = 0 \)（有理數），選項(2)錯誤。
3. 分析選項(3)：
點 \( D \) 與點 \( C \) 的距離為 \( |d - 2\sqrt{10}| \)，若 \( d = 2\sqrt{10} + (2\sqrt{10}+6) = 4\sqrt{10}+6 \)（但 \( d \) 需為有理數，而 \( 4\sqrt{10}+6 \) 是無理數）；若 \( d = 2\sqrt{10} - (2\sqrt{10}+6) = -6 \)（有理數），此時距離為 \( |-6 - 2\sqrt{10}| = 2\sqrt{10}+6 \)，符合條件，選項(3)正確。
4. 分析選項(4)：
點 \( A \) 和點 \( B \) 的中點為 \( \frac{6 + \frac{20}{3}}{2} = \frac{\frac{38}{3}}{2} = \frac{19}{3} \approx 6.33 \)，\( c=2\sqrt{10} \approx 6.32 \)，故中點 \( \frac{19}{3} > 2\sqrt{10} \)，位在點 \( C \) 右邊，選項(4)正確。
5. 分析選項(5)：
點 \( B = \frac{20}{3} \approx 6.67 \)，距離小於 8 的區間為 \( (\frac{20}{3} - 8, \frac{20}{3} + 8) = (-\frac{4}{3}, \frac{44}{3}) \)。正整數有 \( 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14 \)（共14個），負整數有 \( -1 \)（共1個），選項(5)正確。
综上，正確選項為(3)(4)(5)。 報錯
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