下列各方程式中，請選出有實數解的選項：
(1) \(|x|+|x-5|=1\) (2) \(|x|+|x-5|=6\) (3) \(|x|-|x-5|=1\) (4) \(|x|-|x-5|=6\) (5) \(|x|-|x-5|=-1\)。
答案
數線概念
108學測數學考科-08
在數線上，甲從點-8開始做等速運動，同時乙也從點10開始做等速運動，乙移動的速率是甲的\(a\)倍，且\(a \gt 1\)。試選出正確的選項。
(1)若甲朝向右移動而乙朝向左移動，則他們會相遇
(2)若甲朝向右移動且乙朝向右移動，則他們不會相遇
(3)若甲朝向右移動而乙朝向左移動，則乙先到達原點0
(4)若甲朝向右移動且乙朝向右移動，則他們之間的距離會越來越大
(5)若甲朝向右移動而乙朝向左移動，則他們在點-2相遇，則\(a=2\)。
答案
109學測數學考科-05
試問數線上有多少個整數點與點 \(\sqrt{101}\) 的距離小於 5，但與點 \(\sqrt{38}\) 的距離大於 3？
(1) 1 個 (2) 4 個 (3) 6 個 (4) 8 個 (5) 10 個。
答案
110學測數學考科_A
114學測數學A考科_16
坐標平面上，設 \(L_1\)、\(L_2\) 為通過點 \((3, 1)\) 且斜率分別為 \(m\)、\(-m\) 的兩條直線，其中 \(m\) 為一實數。另設 \(\Gamma\) 為圓心在原點的一個圓。已知 \(\Gamma\) 與 \(L_1\) 交於相異兩點 \(A\)、\(B\)，且知圓心到 \(L_1\) 的距離為 1，又 \(\Gamma\) 與 \(L_2\) 相切，則弦 \(\overline{AB}\) 的長度為 __________。（化為最簡分數）
答案
113學測數學A考科_16
坐標平面上，已知向量 \(\overset{\rightharpoonup}{v}\) 在向量 \((2, -3)\) 方向的正射影長比原長少1，而在向量 \((3, 2)\) 方向的正射影長比原長少2。若 \(\overset{\rightharpoonup}{v}\) 與兩向量 \((2, -3), (3, 2)\) 的夾角皆為銳角，則 \(\overset{\rightharpoonup}{v}\) 在向量 \((4, 7)\) 方向的正射影長為 __________。（化為最簡根式）
113學測數學A考科_20
18-20 題為題組20. 承 19. 題，已知點 \( P \) 在平面 \( E \) 上且 \( b = 0 \)。試求 \( c \) 的最大可能範圍，並求線段 \( \overset{\rightharpoonup}{OP} \) 的最小可能長度。
答案
105指考數學乙試題-03
坐標平面上有兩向量 \(\overset{\rightharpoonup}{u} = (5,10) \)，\(\overset{\rightharpoonup}{v} = (-4,2)\)。請問下列哪一個向量的長度最大？
(1) \(-3 \overset{\rightharpoonup}{u}\)
(2) \(6 \overset{\rightharpoonup}{v}\)
(3) \(-2 \overset{\rightharpoonup}{u} – 5 \overset{\rightharpoonup}{v}\)
(4) \(2 \overset{\rightharpoonup}{u} – 5 \overset{\rightharpoonup}{v}\)
(5) \(\overset{\rightharpoonup}{u} + 7 \overset{\rightharpoonup}{v}\)
答案
\(\overset{\rightharpoonup}{u} = (5,10)\)，長度 \(\sqrt{125}=5\sqrt{5}\)；\(\overset{\rightharpoonup}{v} = (-4,2)\)，長度 \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)。
(1) 長度 \(3\times 5\sqrt{5}=15\sqrt{5}\)
(2) 長度 \(6\times 2\sqrt{5}=12\sqrt{5}\)
(3) 向量 \((-10,-20) - (-20,10) = (10,-30)\)，長度 \(\sqrt{100+900}=\sqrt{1000}=10\sqrt{10} \approx 31.62\)
(4) 向量 \((10,20) - (-20,10) = (30,10)\)，長度 \(\sqrt{900+100}=\sqrt{1000}=10\sqrt{10} \approx 31.62\)
(5) 向量 \((5,10) + (-28,14) = (-23,24)\)，長度 \(\sqrt{529+576}=\sqrt{1105} \approx 33.24\)
最大為 (5)。
答案為 (5)。 報錯
ChatGPT DeepSeek
105指考數學乙試題-07
坐標平面上 \( O \) 為原點，\( P \) 點坐標為 (1,0)，直線 \( L \) 的方程式為 \( x-2y=-4 \)。請選出正確的選項。
(1) 在直線 \( L \) 上可以找到一點 \( A \)，滿足向量 \( \overset{\rightharpoonup}{OP} \) 與 \( \overset{\rightharpoonup}{OA} \) 平行
(2) 在直線 \( L \) 上可以找到一點 \( B \)，滿足向量 \( \overset{\rightharpoonup}{OP} \) 與 \( \overset{\rightharpoonup}{OB} \) 垂直
(3) 在直線 \( L \) 上可以找到一點 \( C \)，滿足向量 \( \overset{\rightharpoonup}{OC} \) 與 \( \overset{\rightharpoonup}{PC} \) 垂直
(4) 在直線 \( L \) 上可以找到一點 \( D \)，滿足 \( PD=2 \)
(5) 在直線 \( L \) 上可以找到一點 \( E \)，滿足 \( \Delta EOP \) 為等腰三角形
答案
\(L: x-2y=-4 \Rightarrow y=\frac{x+4}{2}\)。
(1) \( \overset{\rightharpoonup}{OP} = (1,0)\)，平行意味著 \( \overset{\rightharpoonup}{OA} = k(1,0)\)，即 y=0，代入 L 得 x=-4，A=(-4,0) 在 L 上，正確。
(2) 垂直則內積 0，設 B=(x,(x+4)/2)，\( \overset{\rightharpoonup}{OB} \cdot \overset{\rightharpoonup}{OP} = x = 0\)，得 B=(0,2) 在 L 上，正確。
(3) \( \overset{\rightharpoonup}{OC} \cdot \overset{\rightharpoonup}{PC} = 0\)，設 C=(t,(t+4)/2)，\( \overset{\rightharpoonup}{OC} = (t,(t+4)/2)\)，\( \overset{\rightharpoonup}{PC} = (t-1,(t+4)/2)\)，內積 \(t(t-1) + \frac{(t+4)^2}{4} = 0\)，化簡得 \(4t^2-4t + t^2+8t+16 = 5t^2+4t+16=0\)，判別式 16-320<0，無實數解，錯誤。
(4) 設 D=(t,(t+4)/2)，\(PD^2 = (t-1)^2 + ((t+4)/2)^2 = 4\)，化簡得 \(4(t^2-2t+1) + (t^2+8t+16) = 5t^2+20=0\)? 檢查：乘4：\(4(t-1)^2 + (t+4)^2 = 4(t^2-2t+1) + (t^2+8t+16) = 5t^2+0t+20 = 4\times 4=16\)? 我算錯。正確：\( (t-1)^2 + \frac{(t+4)^2}{4} = 4\)，乘以4：\(4(t^2-2t+1) + (t^2+8t+16) = 5t^2+0t+20 = 16\)，得 \(5t^2= -4\) 無解，錯誤。
(5) 等腰三角形 EOP：可能 EO=EP 或 EO=OP 或 EP=OP。OP=1。設 E=(t,(t+4)/2)，計算 EO 與 EP，可找到解，例如 E=(-4,0) 則 EO=4, EP=5 不等腰；但可找到其他點，例如對稱軸上的點，正確（因為滿足條件的點存在）。
答案為 (1)(2)(5)。 報錯
ChatGPT DeepSeek
106指考數學乙試題-稿A
平面向量 \(u\) 和向量 \(v\) 互相垂直，且 \(u – v = (4, -7)\)。若 \(u\) 的長度為6，則 \(v\) 的長度為 \(\sqrt{\underline{\qquad\qquad}}\)。
答案
