數線上有原點O及三點 \( A(-2) \)、\( B(10) \)、\( C(x) \)，其中x為實數。
已知線段 \( BC \)、\( AC \)、\( OB \) 長度大小關係為 \( BC < AC < OB \)，
則x的最大範圍為 \( \underline{\qquad} < x < \underline{\qquad} \)
答案
數線概念
114分科測驗數學乙考科試卷-04
空間中有一個邊長為1的正立方體，點O為其中一個頂點，其餘7個頂點為A、B、C、D、E、F、G。已知\(\overline{OA}=\overline{AB}=\overline{BC}=\overline{CD}=\overline{DE}=\overline{EF}=\overline{FG}=1\)且\(\overline{OG}>1\)，試選出距離點O最遠的頂點？
(1) C
(2) D
(3) E
(4) F
(5) G
答案
各頂點到 \( O \) 的距離
- \( O = (0,0,0) \)
- \( A = (1,0,0) \), 距離 \( 1 \)
- \( B = (1,1,0) \), 距離 \( \sqrt{2} \approx 1.414 \)
- \( C = (0,1,0) \), 距離 \( 1 \)
- \( D = (0,1,1) \), 距離 \( \sqrt{2} \)
- \( E = (0,0,1) \), 距離 \( 1 \)
- \( F = (1,0,1) \), 距離 \( \sqrt{2} \)
- \( G = (1,1,1) \), 距離 \( \sqrt{3} \approx 1.732 \)
顯然 \( G \) 最遠。
最遠是 \( G \)，所以選 (5)。
**最終答案：**
\[
\boxed{5}
\]
108指考數學甲試題–B
在坐標平面上，\(A(a, r)\)、\(B(b, s)\)為函數圖形\(y=\log _{2}x\)上之兩點，其中\(a\lt b\)。已知\(A\)、\(B\)連線的斜率等於2，且線段\(\overline{AB}\)的長度為\(\sqrt{5}\)，則\((a, b)=\)( _____， _____) （化成最簡分數）。
[選填題]
答案
已知\(A(a,\log _{2}a)\)，\(B(b,\log _{2}b)\)，根據斜率公式\(k=\frac{\log _{2}b-\log _{2}a}{b - a}=2\)，即\(\log _{2}\frac{b}{a}=2(b - a)\)。
由距離公式\(\sqrt{(b - a)^{2}+(\log _{2}b-\log _{2}a)^{2}}=\sqrt{5}\)，把\(\log _{2}\frac{b}{a}=2(b - a)\)代入得\(\sqrt{(b - a)^{2}+4(b - a)^{2}}=\sqrt{5}\)。
即\(\sqrt{5(b - a)^{2}}=\sqrt{5}\)，\((b - a)^{2}=1\)，又\(a\lt b\)，所以\(b - a = 1\)，即\(b=a + 1\)。
將\(b=a + 1\)代入\(\log _{2}\frac{b}{a}=2(b - a)\)，得\(\log _{2}\frac{a + 1}{a}=2\)，即\(\frac{a + 1}{a}=4\)，解得\(a=\frac{1}{3}\)，\(b=\frac{4}{3}\)。
所以\((a, b)=(\frac{1}{3},\frac{4}{3})\) 。
113分科測驗數學甲試題10
坐 標 平 面 上,設 \( \Gamma \) 為 以 原 點 為 圓 心 的 圓,\( P \) 為 \( \Gamma \) 與 \( x \) 軸的 其中一 個 交 點。 已 知 通過 \( P \) 點且斜率為 \(\frac{1}{2}\) 的 直線交 \( \Gamma \) 於另 一 點 \( Q\),且 \( PQ = 1\),則 \( \Gamma \) 的半徑 為__________ 。
[選填]
答案
114學測數學B試題01
設數線上有一點\(P\)滿足\(P\)到\(1\)的距離加上\(P\)到\(4\)的距離等於\(4\)。試問這樣的\(P\)有幾個？
(1) \(0\)個；
(2) \(1\)個；
(3) \(2\)個；
(4) \(3\)個；
(5) 無限多個
答案
設點\(P\)表示的數為\(x\),則\(\vert x - 1\vert + \vert x - 4\vert = 4\)。當\(x \leq 1\)時,\(1 - x + 4 - x = 4\),解得\(x = \frac{1}{2}\)；當\(1 < x < 4\)時,\(x - 1 + 4 - x = 3 \neq 4\),無解；當\(x \geq 4\)時,\(x - 1 + x - 4 = 4\),解得\(x = \frac{9}{2}\)。所以這樣的\(P\)有\(2\)個。答案：(3)
https://www.ceec.edu.tw/files/file_pool/1/0n045358876595832120/03-112%e5%ad%b8%e6%b8%ac%e6%95%b8%e5%ad%b8a%e9%81%b8%e6%93%87%28%e5%a1%ab%29%e9%a1%8c%e7%ad%94%e6%a1%88.pdf
112學測數學B試題-09
已知 \( a=6 \)、\( b=\frac{20}{3} \)、\( c=2\sqrt{10} \) 和 \( d \)，且 \( d \) 為有理數，將這四個數標註在數線上，即 \( A(a) \)、\( B(b) \)、\( C(c) \) 和 \( D(d) \)。試選出正確的選項。
(1) \( a+b+c+d \) 必為一個有理數
(2) \( abcd \) 必為一個無理數
(3) 點 \( D \) 有可能與點 \( C \) 的距離等於 \( 2\sqrt{10}+6 \)
(4) 點 \( A \) 和點 \( B \) 的中點位在點 \( C \) 的右邊
(5) 數線上和點 \( B \) 距離小於 8 的所有點中，正整數有 14 個，負整數有 1 個
答案
1. 分析選項(1)：
\( a \)、\( b \)、\( d \) 為有理數，\( c=2\sqrt{10} \) 為無理數，有理數 + 無理數 = 無理數，故 \( a+b+c+d \) 必為無理數，選項(1)錯誤。
2. 分析選項(2)：
若 \( d=0 \)（有理數），則 \( abcd = 6 \times \frac{20}{3} \times 2\sqrt{10} \times 0 = 0 \)（有理數），選項(2)錯誤。
3. 分析選項(3)：
點 \( D \) 與點 \( C \) 的距離為 \( |d - 2\sqrt{10}| \)，若 \( d = 2\sqrt{10} + (2\sqrt{10}+6) = 4\sqrt{10}+6 \)（但 \( d \) 需為有理數，而 \( 4\sqrt{10}+6 \) 是無理數）；若 \( d = 2\sqrt{10} - (2\sqrt{10}+6) = -6 \)（有理數），此時距離為 \( |-6 - 2\sqrt{10}| = 2\sqrt{10}+6 \)，符合條件，選項(3)正確。
4. 分析選項(4)：
點 \( A \) 和點 \( B \) 的中點為 \( \frac{6 + \frac{20}{3}}{2} = \frac{\frac{38}{3}}{2} = \frac{19}{3} \approx 6.33 \)，\( c=2\sqrt{10} \approx 6.32 \)，故中點 \( \frac{19}{3} > 2\sqrt{10} \)，位在點 \( C \) 右邊，選項(4)正確。
5. 分析選項(5)：
點 \( B = \frac{20}{3} \approx 6.67 \)，距離小於 8 的區間為 \( (\frac{20}{3} - 8, \frac{20}{3} + 8) = (-\frac{4}{3}, \frac{44}{3}) \)。正整數有 \( 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14 \)（共14個），負整數有 \( -1 \)（共1個），選項(5)正確。
综上，正確選項為(3)(4)(5)。
https://www.ceec.edu.tw/files/file_pool/1/0n045357541158913049/04-112%e5%ad%b8%e6%b8%ac%e6%95%b8%e5%ad%b8b%e9%81%b8%e6%93%87%28%e5%a1%ab%29%e9%a1%8c%e7%ad%94%e6%a1%88.pdf
112學測數學B試題-11
坐標平面上有一圓，其圓心為 \( A(a,b) \)，且此圓與兩坐標軸皆相切，另有一點 \( P(c,c) \) 其中 \( a > c > 0 \)，且已知 \( \overline{PA} = a + c \)，試選出正確的選項。
(1) \( a = b \)
(2) 點 \( P \) 位於直線 \( x + y = 0 \) 上
(3) 點 \( P \) 在此圓內
(4) \( \frac{a + c}{b – c} = \sqrt{2} \)
(5) \( \frac{a}{c} = 2 + 3\sqrt{2} \)
答案
1. 分析選項(1)：
圓與兩坐標軸相切，圓心到x軸和y軸的距離相等且等於半徑，故 \( |a| = |b| = r \)。因 \( a > 0 \)，且圓與軸相切的位置可推得 \( b = a \)（若 \( b = -a \) 則圓在第四象限，與 \( a > c > 0 \) 及 \( P(c,c) \) 位置不符），故 \( a = b \)，選項(1)正確。
2. 分析選項(2)：
點 \( P(c,c) \) 滿足 \( x = y \)，即位於直線 \( x - y = 0 \) 上，而非 \( x + y = 0 \)，選項(2)錯誤。
3. 分析選項(3)：
圓的方程為 \( (x - a)^2 + (y - a)^2 = a^2 \)。點 \( P(c,c) \) 到圓心 \( A(a,a) \) 的距離 \( \overline{PA} = \sqrt{(a - c)^2 + (a - c)^2} = \sqrt{2}(a - c) \)，已知 \( \overline{PA} = a + c \)，故 \( \sqrt{2}(a - c) = a + c \)，解得 \( a = (3 + 2\sqrt{2})c \)。
點 \( P \) 到圓心的距離平方為 \( 2(a - c)^2 \)，圓半徑平方為 \( a^2 \)。
計算 \( 2(a - c)^2 - a^2 = 2a^2 - 4ac + 2c^2 - a^2 = a^2 - 4ac + 2c^2 \)，代入 \( a = (3 + 2\sqrt{2})c \)：
\( (3 + 2\sqrt{2})^2c^2 - 4(3 + 2\sqrt{2})c^2 + 2c^2 = (17 + 12\sqrt{2})c^2 - (12 + 8\sqrt{2})c^2 + 2c^2 = (7 + 4\sqrt{2})c^2 > 0 \)，故點 \( P \) 在圓外，選項(3)錯誤。
4. 分析選項(4)：
由 \( a = b \)，且 \( \sqrt{2}(a - c) = a + c \)，則 \( b - c = a - c \)，\( \frac{a + c}{b - c} = \frac{a + c}{a - c} = \frac{\sqrt{2}(a - c)}{a - c} = \sqrt{2} \)，選項(4)正確。
5. 分析選項(5)：
由 \( \sqrt{2}(a - c) = a + c \)，移項得 \( a(\sqrt{2} - 1) = c(\sqrt{2} + 1) \)，\( \frac{a}{c} = \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} = (\sqrt{2} + 1)^2 = 3 + 2\sqrt{2} \)，而非 \( 2 + 3\sqrt{2} \)，選項(5)錯誤。
综上，正確選項為(1)(4)。
https://www.ceec.edu.tw/files/file_pool/1/0n045357541158913049/04-112%e5%ad%b8%e6%b8%ac%e6%95%b8%e5%ad%b8b%e9%81%b8%e6%93%87%28%e5%a1%ab%29%e9%a1%8c%e7%ad%94%e6%a1%88.pdf
112學測數學B試題-19
18-20 題為題組
試求\(P\)與\(B_3\)這兩點的坐標。（非選擇題,\(6\)分）
答案
$\begin{align*}
&求直線L與M的交點P：\\
&\begin{cases} x+3y=0 \\ 2x-3y+9=0 \end{cases} \implies P(-3,1)。\\
\\
&由\overrightarrow{PB_1}=\frac{1}{2}\overrightarrow{PB_3}，設B_3(x,y)，已知B_1(3,2)，得：\\
&(3,2)-(-3,1)=\frac{1}{2}\left[(x,y)-(-3,1)\right] \\
&\implies (6,1)=\frac{1}{2}(x+3,y-1) \implies (x,y)=(3,5)。\\
\\
&故B_3坐標為(3,5)。
\end{align*}$
https://www.ceec.edu.tw/files/file_pool/1/0n045357541158913049/04-112%e5%ad%b8%e6%b8%ac%e6%95%b8%e5%ad%b8b%e9%81%b8%e6%93%87%28%e5%a1%ab%29%e9%a1%8c%e7%ad%94%e6%a1%88.pdf