設 \(f(x) = x^4 – 5x^3 + x^2 + ax + b\) 為實係數多項式,且知 \(f(i) = 0\)（其中 \(i^2 = -1\)）。請問下列哪些選項是多項式方程式 \(f(x) = 0\) 的根？
(1) \(-i\)
(2) 0
(3) 1
(4) \(-5\)
(5) 5
答案
方程求解
101學測數學考科-11
若實數 \(a, b, c, d\) 使得聯立方程組 \(\begin{cases} ax + 8y = c \\x – 4y = 3 \end{cases}\) 有解,且聯立方程組 \(\begin{cases} -3x + by = d\\ x – 4y = 3 \end{cases}\) 無解,則下列哪些選項一定正確？
(1) \(a \neq -2\)
(2) \(c = -6\)
(3) \(b = 12\)
(4) \(d \neq -9\)
(5) 聯立方程組 \(\begin{cases} ax + 8y = c \\ -3x + by = d \end{cases}\) 無解
答案
106學測數學考科–D
\( a_1, a_2, \cdots, a_n \) 為等差數列且 k 為實數，若方程組 \[ \begin{cases} a_1 x – a_2 y + 2a_3 z = k+1 \\ a_4 x – a_5 y + 2a_6 z = -k-5 \\ a_7 x – a_8 y + 2a_9 z = k+9 \end{cases} \] 有解，則 \( k = \underline{\qquad} \)。
答案
設公差為d。將第二式減第一式，得 \(d x - d y + 2d z = -2k -6 \Rightarrow x - y + 2z = \frac{-2k-6}{d}\)。將第三式減第二式，得 \(d x - d y + 2d z = 2k + 14 \Rightarrow x - y + 2z = \frac{2k+14}{d}\)。因方程組有解，故 \(\frac{-2k-6}{d} = \frac{2k+14}{d} \Rightarrow -2k-6 = 2k+14 \Rightarrow -4k=20 \Rightarrow k=-5\)。答案：-5 報錯
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105學測數學考科–D
方程組 \(\begin{cases} x + 2y + 3z = 0 \\ 2x + y + 3z = 6 \\ x – y = 6 \\ x – 2y – z = 8 \end{cases}\) 經高斯消去法計算後，其增廣矩陣可化簡為 \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)，則 \(a = \bigcirc, b = \bigcirc, c = \bigcirc, d = \bigcirc\)。
答案
107學測數學考科-09
已知多項式 \( f(x) \) 除以 \( x^2 – 1 \) 之餘式為 \( 2x + 1 \)，試選出正確的選項：
(1) \( f(0) = 1 \)
(2) \( f(1) = 3 \)
(3) \( f(x) \) 可能為一次式
(4) \( f(x) \) 可能為 \( 4x^4 + 2x^2 – 3 \)
(5) \( f(x) \) 可能為 \( 4x^4 + 2x^3 – 3 \)。
答案
設 \( f(x) = (x^2-1)Q(x) + (2x+1) \)。
(1) \( f(0) = -Q(0)+1 \) 不一定為1。
(2) \( f(1) = 0 + 3 = 3 \) ✓。
(3) 若 \( Q(x)=0 \)，則 \( f(x)=2x+1 \) 為一次式 ✓。
(4) 計算 \( (4x^4+2x^2-3) - (2x+1) = 4x^4+2x^2-2x-4 \)，除以 \( x^2-1 \) 不整除 ✗。
(5) 計算 \( (4x^4+2x^3-3) - (2x+1) = 4x^4+2x^3-2x-4 \)，可被 \( x^2-1 \) 整除 ✓。
故選(2)(3)(5)。答案：(2)(3)(5) 報錯
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107學測數學考科-F
設 \( a, b, c, d, e, x, y, z \) 皆為實數，考慮矩陣相乘：\(\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -3 & 5 & 7 \\ -4 & 6 & e \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & x & 7 \\ 0 & y & 7 \\ -11 & z & 23 \end{bmatrix}\)，則 \( y = \) __________。（化成最簡分數）
答案
由第三列：\( 1\cdot(-3)+2\cdot(-4)=-11 \) ✓；\( 1\cdot5+2\cdot6=17=z \)；\( 1\cdot7+2\cdot e=23 \Rightarrow e=8 \)。由第二列：\( -3c-4d=0 \)，\( 5c+6d=y \)，\( 7c+8d=7 \)。解聯立得 \( c=7 \)，\( d=-\frac{21}{4} \)，代入得 \( y=5\cdot7+6\cdot\left(-\frac{21}{4}\right)=35-\frac{126}{4}=\frac{140-126}{4}=\frac{14}{4}=\frac{7}{2} \)。答案：\( \frac{7}{2} \) 報錯
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108學測數學考科-12
設 \(f_1(x)\)、\(f_2(x)\) 為實係數三次多項式，\(g(x)\) 為實係數二次多項式。已知 \(f_1(x)\)、\(f_2(x)\) 除以 \(g(x)\) 的餘式分別為 \(r_1(x)\)、\(r_2(x)\)，試選出正確的選項。
(1) \(-f_1(x)\) 除以 \(g(x)\) 的餘式為 \(-r_1(x)\)
(2) \(f_1(x)+f_2(x)\) 除以 \(g(x)\) 的餘式為 \(r_1(x)+r_2(x)\)
(3) \(f_1(x)f_2(x)\) 除以 \(g(x)\) 的餘式為 \(r_1(x)r_2(x)\)
(4) \(f_1(x)\) 除以 \(-3g(x)\) 的餘式為 \(\frac{-1}{3}r_1(x)\)
(5) \(f_1(x)r_2(x)-f_2(x)r_1(x)\) 可被 \(g(x)\) 整除。
答案
設\(f_i(x) = g(x)q_i(x) + r_i(x)\)，次數\(\deg(r_i) \lt 2\)。
(1) \(-f_1 = g(-q_1) + (-r_1)\)，餘式為\(-r_1\)。
(2) \(f_1+f_2 = g(q_1+q_2) + (r_1+r_2)\)，餘式為\(r_1+r_2\)。
(3) \(r_1 r_2\)可能為二次，不一定是餘式。
(4) 除式變為\(-3g\)，餘式仍為\(r_1\)。
(5) \(f_1 r_2 - f_2 r_1 = g(q_1 r_2 - q_2 r_1)\)，可被\(g\)整除。
故選(1)(2)(5)。答案：(1)(2)(5) 報錯
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108學測數學考科-A
設 \(x\)，\(y\) 為實數，且滿足 \(\begin{bmatrix} 3 & -1 & 3 \\ 2 & 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ -6 \end{bmatrix}\)，則 \(x+3y = \) __________。
答案
108學測數學考科-D
某次選舉中進行甲、乙、丙三項公投案，每項公投案一張選票，投票人可選擇領或不領。投票結束後請點選投票所的選票，發現甲案有765人領票，乙案有537人領票，丙案有648人領票，同時領甲、乙、丙三案公投票的有224人，並且每個人都至少領了兩張公投票。根據以上資訊，可知同時領甲、乙兩案但沒有領丙案公投票者共有 __________ 人。
答案
