最簡分數

將 \(\sqrt{23 + 8\sqrt{7}}\) 化簡為 \(\sqrt{(4 + \sqrt{7})^2} = 4 + \sqrt{7}\)，故 \(a = 5\)（因 \(4 + \sqrt{7} \approx 6.645\)，整數部分5），\(b = 4 + \sqrt{7} - 5 = \sqrt{7} - 1\)。代入得 \(a + 3b = 5 + 3(\sqrt{7} - 1) = 2 + 3\sqrt{7}\)？修正：原簡解得 \(a=6\)，\(b=\sqrt{7}-6\)，\(a+3b=6+3\sqrt{7}-18=3\sqrt{7}-12\)？實際正解：\(\sqrt{23+8\sqrt{7}}=4+\sqrt{7}\approx6.645\)，故 \(a=6\)，\(b=4+\sqrt{7}-6=\sqrt{7}-2\)，\(a+3b=6+3\sqrt{7}-6=3\sqrt{7}\)，\(\frac{3}{3\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{7}}{7}\)。答案：\((5)\)

• 一站直達

由 \(a^2 = 4a - 1\)，降次得 \(a^4 = (4a - 1)^2 = 16a^2 - 8a + 1 = 16(4a - 1) - 8a + 1 = 56a - 15\)。代入原式：\(2(56a - 15) - 9a^3 + 9(4a - 1) - 12a - 3 + \frac{4}{4a} = a - 6 + \frac{1}{a} = \frac{a^2 + 1}{a} - 6 = \frac{4a}{a} - 6 = -2\)。答案：\(-2\)

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