〈根與係數〉彙整頁面

114-學測數學模考_北模_15

已知 \(a\) 為 \(x^2 – 4x + 1 = 0\) 的一根實數解，試求 \(2a^4 – 9a^3 + 9a^2 – 12a – 3 + \frac{4}{a^2 + 1}\) 的值為__________（化為最簡分數）

[選填題]

答案

由 \(a^2 = 4a - 1\)，降次得 \(a^4 = (4a - 1)^2 = 16a^2 - 8a + 1 = 16(4a - 1) - 8a + 1 = 56a - 15\)。代入原式：\(2(56a - 15) - 9a^3 + 9(4a - 1) - 12a - 3 + \frac{4}{4a} = a - 6 + \frac{1}{a} = \frac{a^2 + 1}{a} - 6 = \frac{4a}{a} - 6 = -2\)。答案：\(-2\) 報錯
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104學測數學考科-06

設 \(f(x)\) 是首項係數為 1 的實係數二次多項式。請選出正確的選項。
(1) 若 \(f(2) = 0\),則 \(x – 2\) 可整除 \(f(x)\)
(2) 若 \(f(2) = 0\),則 \(f(x)\) 為整係數多項式
(3) 若 \(f(\sqrt{2}) = 0\),則 \(f(-\sqrt{2}) = 0\)
(4) 若 \(f(2i) = 0\),則 \(f(-2i) = 0\)
(5) 若 \(f(2i) = 0\),則 \(f(x)\) 為整係數多項式

[多選]

答案

根據多項式的性質：
(1) 若 \(f(2) = 0\),則 \(x - 2\) 可整除 \(f(x)\),正確。
(2) 若 \(f(2) = 0\),則 \(f(x)\) 不一定為整係數多項式,錯誤。
(3) 若 \(f(\sqrt{2}) = 0\),則 \(f(-\sqrt{2}) = 0\),正確。
(4) 若 \(f(2i) = 0\),則 \(f(-2i) = 0\),正確。
(5) 若 \(f(2i) = 0\),則 \(f(x)\) 為整係數多項式,正確。
因此,正確答案是 (1)(3)(4)(5)。報錯
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