機率分布
114分科測驗數學甲試卷-14
問題14：假設花費金額不設限直到得到公仔為止，試分別求出兩種抽獎方式得到一個公仔所需付金額的期望值，並比較大小。
答案
1. 方式一：設金額 \(Y_1\)，\(Y_1=225\)（至少一次抽中）機率 \(1-\left(\frac{3}{5}\right)^2=\frac{16}{25}\)，\(Y_1=300\) 機率 \(\frac{9}{25}\)，\(E(Y_1)=225\times\frac{16}{25}+300\times\frac{9}{25}=252\)；
2. 方式二：金額 \(Y_2=100X\)，\(E(Y_2)=100\times\frac{5}{2}=250\)；
3. 故 \(E(Y_1)>E(Y_2)\)。答案：方式一期望252元，方式二期望250元，方式一期望大於方式二 報錯
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107指考數學甲試題–B
假設某棒球隊在任一局發生失誤的機率都等於\(P\)（其中\(0\lt p\lt1\)），且各局之間發生失誤與否互相獨立。令隨機變數\(X\)代表一場比賽\(9\)局中出現失誤的局數，且令\(p_{k}\)代表\(9\)局中恰有\(k\)局出現失誤的機率\(P(X = k)\)。已知\(p_{4}+p_{5}=\frac{45}{8}p_{6}\)，則該球隊在一場\(9\)局的比賽中出現失誤局數的期望值為\(\frac{(\quad)}{(\quad)}\)。(化成最簡分數)
答案
由二項分布概率公式\(P(X = k)=C_{9}^{k}p^{k}(1 - p)^{9 - k}\)。
已知\(p_{4}+p_{5}=\frac{45}{8}p_{6}\)，即\(C_{9}^{4}p^{4}(1 - p)^{5}+C_{9}^{5}p^{5}(1 - p)^{4}=\frac{45}{8}C_{9}^{6}p^{6}(1 - p)^{3}\)。
\(C_{9}^{4}=\frac{9!}{4!(9 - 4)!}=\frac{9\times8\times7\times6}{4\times3\times2\times1}=126\)，\(C_{9}^{5}=\frac{9!}{5!(9 - 5)!}=126\)，\(C_{9}^{6}=\frac{9!}{6!(9 - 6)!}=84\)。
代入可得\(126p^{4}(1 - p)^{5}+126p^{5}(1 - p)^{4}=\frac{45}{8}\times84p^{6}(1 - p)^{3}\)。
兩邊同時除以\(6p^{4}(1 - p)^{3}\)得：\(21(1 - p)^{2}+21p(1 - p)=\frac{45}{8}\times14p^{2}\)。
\(21 - 42p + 21p^{2}+21p - 21p^{2}=\frac{315}{4}p^{2}\)
\(21 - 21p=\frac{315}{4}p^{2}\)
\(315p^{2}+84p - 84 = 0\)
\(15p^{2}+4p - 4 = 0\)
\((3p - 2)(5p + 2)=0\)
解得\(p=\frac{2}{3}\)或\(p=-\frac{2}{5}\)（舍去，因為\(0\lt p\lt1\)）。
二項分布的期望值\(E(X)=np\)，\(n = 9\)，\(p=\frac{2}{3}\)，所以\(E(X)=9\times\frac{2}{3}=6\)，故答案為\(\frac{6}{1}\)。 報錯
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