〈機率的定義與計算〉彙整頁面 - 第 3 頁，總計 7 頁

107指考數學乙試題-07

保險公司把投保額盜險的住宅分為 $ A $、$ B $ 兩級，其所占比率分別為60%、40%。過去一年 $ A $、$ B $ 兩級住宅遭竊的比率分別為15%、5%。據此，公司推估未來一年 $ A $、$ B $ 兩級住宅被竊的機率分別為0.15、0.05。今A級住宅中的20%經過改善，重新推估這些改善過的住宅未來一年被竊的機率會降為0.03；而其他住宅被竊機率不變。根據以上資料，試選出正確的選項。
(1) 全體投保的住宅中，過去一年遭竊的比率為12%
(2) 過去一年遭竊的投保住宅中，A級所占的比率超過90%
(3) 推估未來一年，改善過的A級住宅的被竊機率為原來的 $\frac{1}{5}$
(4) 經改善後，推估未來一年被竊機率，全體投保的A級住宅會小於全體投保的B級住宅
(5) 經改善後，推估未來一年全體投保的住宅被竊機率小於0.11

[多選題]

答案

(1) 過去遭竊率 = 0.6×0.15 + 0.4×0.05 = 0.09 + 0.02 = 0.11 = 11%，錯誤。
(2) 過去遭竊中A級占比 = 0.09 / 0.11 ≈ 81.8% \< 90%，錯誤。
(3) 改善後機率 0.03，原來 0.15，比值 0.03/0.15=1/5，正確。
(4) 改善後A級全體被竊率 = 0.2×0.03 + 0.8×0.15 = 0.006 + 0.12 = 0.126，B級 0.05，0.126 \gt 0.05，錯誤。
(5) 全體被竊率 = 0.6×0.126 + 0.4×0.05 = 0.0756 + 0.02 = 0.0956 \< 0.11，正確。
答案為 (3)(5)。

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105指考數學乙試題-稿A

不透明袋中有三顆白球及三顆紅球。從袋中每次取出一球依序置於桌面，每次每顆球被取出的機率相同。全部取出後，前三顆球中有相鄰兩球同為白球的機率為 $\frac{\underline{\qquad\qquad}}{\underline{\qquad\qquad}}$。（請化為最簡分數）

[選填題]

答案

\[
p = \frac{6 + 18 + 18}{120} = \frac{42}{120} = \frac{7}{20}
\]

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105指考數學乙試題-非選擇一(1)

設隨機變數X表示投擲一不公正骰子出現的點數，$P(X=k)$表示隨機變數X取值為k的機率。已知X的機率分布如下表：（$x,y$為未知常數）又知X的期望值等於3。
(1) 試求$x,y$之值。

[非選擇題]

答案

由機率總和為1：$x + y + y + x + y + y = 2x + 4y = 1$。
由期望值為3：$1\cdot x + 2\cdot y + 3\cdot y + 4\cdot x + 5\cdot y + 6\cdot y = 5x + 16y = 3$。
解聯立方程：
$2x + 4y = 1$ ①
$5x + 16y = 3$ ②
①×4得 $8x + 16y = 4$ ③
③-②得 $3x = 1$ ⇒ $x = \frac{1}{3}$
代入①得 $2\cdot\frac{1}{3} + 4y = 1$ ⇒ $\frac{2}{3} + 4y = 1$ ⇒ $4y = \frac{1}{3}$ ⇒ $y = \frac{1}{12}$
答案為 $x = \frac{1}{3}, y = \frac{1}{12}$。

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105指考數學乙試題-非選擇一(2)

(2) 投擲此骰子兩次，試求點數和為3的機率。

[非選擇題]

答案

點數和為3的可能情況：(1,2)或(2,1)。
$P(1,2) = P(X=1)\times P(X=2) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{12} = \frac{1}{36}$
$P(2,1) = P(X=2)\times P(X=1) = \frac{1}{12} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{36}$
總機率 = $\frac{1}{36} + \frac{1}{36} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$
答案為 $\frac{1}{18}$。

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106指考數學乙試題-03

有一個不公正的骰子，投擲一次出現1點的機率與出現3點的機率之和是0.2，出現2點的機率與出現4點的機率之和是0.4，出現5點的機率與出現6點的機率之和是0.4。試選出正確的選項。
(1) 出現1點的機率是0.1
(2) 出現4點的機率大於出現3點的機率
(3) 出現偶數點的機率是0.5
(4) 出現奇數點的機率小於0.5
(5) 投擲點數的期望值至少是3

[單選題]

答案

設 $ P(1)=a, P(3)=b, P(2)=c, P(4)=d, P(5)=e, P(6)=f $。
已知：
$ a+b=0.2 $
$ c+d=0.4 $
$ e+f=0.4 $
且 $ a+b+c+d+e+f=1 $（已滿足）。
(1) 無法確定 a 是否為 0.1，錯誤。
(2) 無法比較 d 與 b 大小，錯誤。
(3) 偶數點機率 = $ c+d+f $，但已知 $ c+d=0.4 $，但 f 未知，不一定為 0.5，錯誤。
(4) 奇數點機率 = $ a+b+e = 0.2+e $，因 $ e \leq 0.4 $，所以 $ \leq 0.6 $，但無法確定是否 < 0.5，錯誤。
(5) 期望值 = $ 1a+2c+3b+4d+5e+6f $
= $ (a+b) + 2(c+d) + 3(b? ) $ 重組：
= $ a+3b + 2c+4d + 5e+6f $
= $ (a+b) + 2b + 2(c+d) + 2d + 5e+6f $
= $ 0.2 + 2b + 0.8 + 2d + 5e+6f $
= $ 1.0 + 2b+2d+5e+6f $
又 $ e+f=0.4 $，最小值當 $ b=d=0, e=0, f=0.4 $ 時，期望值 = $1.0 + 0 + 0 + 0 + 2.4 = 3.4 \gt 3$，所以至少是 3，正確。
答案為 (5)。

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106指考數學乙試題-非選擇二(2)

(2)試問 $ Y \leq 50 $ 的機率 $ P(Y \leq 50) $ 為何？

[非選擇題]

答案

總代幣數 $ 13+12=25 $ 枚。
取2枚的組合數 $ C(25,2) = 300 $。
$ Y \leq 50 $ 表示兩枚代幣金額和 ≤ 50。
可能情況：
- 兩枚都是10元（藍）：$ C(12,2)=66 $
- 一枚10元（藍）一枚20元（綠）：$ 12\times 9 = 108 $
- 兩枚都是20元（綠）：$ C(9,2)=36 $
- 一枚10元（藍）一枚50元（紅）：$ 12\times 4 = 48 $（和=60>50，不算）
- 其他組合都會超過50。
所以符合的組合數 = 66+108+36 = 210。
機率 $ = \frac{210}{300} = \frac{7}{10} $。
答案為 $ \frac{7}{10} $。

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110指考數學乙試題-03

某公司舉辦年終抽獎活動，每人從編號分別為1至6的六張牌中隨機抽取兩張。假設每張牌抽到的機會均相等，且規則如下：
（一）若這兩張牌的號碼之和是奇數，則可得獎金100元，此時抽獎結束；
（二）若號碼之和為偶數，就將這兩張牌丟掉，再從剩下的四張牌中隨機抽取兩張牌，且其號碼之和為奇數，則可得獎金50元，其他情形則沒有獎金，此時抽獎結束。
依上述規則，試求每人參加此抽獎活動的獎金期望值為多少元？
(1) 50
(2) 70
(3) 72
(4) 80
(5) 100

[單選題]

答案

\begin{align*}
&兩數和為奇數⇨一奇一偶；和為偶數⇨同奇/同偶。\\
\\
&計算各金額機率：\\
&① \ P(100元)=\frac{\mathrm{C}_3^1\mathrm{C}_3^1}{\mathrm{C}_6^2}=\frac{3×3}{15}=\frac{3}{5}；\\
&② \ P(50元)=\frac{\mathrm{C}_3^2}{\mathrm{C}_6^2}×\frac{\mathrm{C}_1^1\mathrm{C}_3^1}{\mathrm{C}_4^2}+\frac{\mathrm{C}_3^3}{\mathrm{C}_6^2}×\frac{\mathrm{C}_1^1\mathrm{C}_3^1}{\mathrm{C}_4^2}=\frac{3}{15}×\frac{3}{6}+\frac{3}{15}×\frac{3}{6}=\frac{1}{5}；\\
&③ \ P(0元)=1-\frac{3}{5}-\frac{1}{5}=\frac{1}{5}。\\
\\
&期望値E=100×\frac{3}{5}+50×\frac{1}{5}+0×\frac{1}{5}=70（元），故選(2)。
\end{align*}

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110指考數學乙試題-07

已知某人每次飛鏢射中的機率皆為 $\frac{1}{2}$，且每次射飛鏢的結果均互相獨立。試從下列選項中，選出發生機率為 $\frac{1}{2}$的事件。
(1) 連續射2次飛鏢，恰射中1次
(2) 連續射4次飛鏢，恰射中2次
(3) 連續射4次飛鏢，射中的總次數為奇數
(4) 連續射6次飛鏢，在第1次沒有射中的條件下，第2次有射中
(5) 連續射6次飛鏢，在前2次恰射中1次的條件下，後4次恰射中2次

[多選題]

答案

(1) $ C_2^1 (\frac{1}{2})^2 = 2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2} $，正確
(2) $ C_4^2 (\frac{1}{2})^4 = 6 \times \frac{1}{16} = \frac{3}{8} $，錯誤
(3) 奇數次：1次或3次，機率 $ C_4^1+C_4^3 = 4+4=8 $種，$ 8 \times \frac{1}{16} = \frac{1}{2} $，正確
(4) 條件機率，第2次射中機率 $ \frac{1}{2} $（獨立事件），正確
(5) 前2次恰中1次條件下，後4次恰中2次機率 = $ C_4^2 (\frac{1}{2})^4 = \frac{3}{8} $，錯誤
答案：(1)(3)(4)

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110指考數學乙試題-_C

已知一個不均勻銅板，投擲時出現正面的機率為 $\frac{1}{3}$，出現反面的機率為 $\frac{2}{3}$。今在坐標平面上有一顆棋子，依投擲此銅板的正反面結果，前進至下一個位置，規則如下：
（一）若擲出為正面，則從目前位置依著向量 $(-1,2)$ 的方向與長度，前進至下一個位置；
（二）若擲出為反面，則從目前位置依著向量 $(1,0)$ 的方向與長度，前進至下一個位置。
例如：棋子目前位置在坐標 $(2,4)$，若擲出反面，則棋子前進至坐標 $(3,4)$。
假設棋子以原點 $(0,0)$ 為起始點，依上述規則，連續投擲此銅板6次，且每次投擲均互相獨立，則經過6次移動後，棋子停在坐標 $(\underline{\qquad}, \underline{\qquad})$ 的機率最大。

[選填題]

答案

設正面次數為k，反面次數為6-k。最終位置：$ x = -k + (6-k) = 6-2k $，$ y = 2k $。
機率 $ P(k) = C_6^k (\frac{1}{3})^k (\frac{2}{3})^{6-k} $。比較相鄰機率：
$ \frac{P(k)}{P(k-1)} = \frac{C_6^k}{C_6^{k-1}} \cdot \frac{1/3}{2/3} = \frac{6-k+1}{k} \cdot \frac{1}{2} = \frac{7-k}{2k} $。
當 $ \frac{7-k}{2k} > 1 $ 時遞增，即 $ 7-k > 2k $，$ 7 > 3k $，$ k < 2.33 $。故k=0,1,2遞增，k=2後遞減。最大機率在k=2。
此時坐標 $ x=6-4=2 $，$ y=4 $。答案：(2,4)

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109指考數學乙(補考)試題-01

便利商店因週年慶而提供折扣優惠，只要消費滿99元就可從紙盒中隨機抽球來決定該筆消費的折扣數（每顆球被抽到的機率相等）。店家已在盒中放了9顆球，其中寫著6折和7折的各有1顆、9折2顆、95折5顆。令隨機變數 $ X $ 代表消費100元的顧客在折扣後需要付的金額（元），若店家想再加入一球使得 $ X $ 的期望值等於86元，則新加入的那顆球上面所寫的折扣數應為下列哪一個選項？
(1) 65折
(2) 75折
(3) 8折
(4) 85折
(5) 9折

[單選題]

答案

原期望值：$ \frac{1}{9}(60+70+2\times90+5\times95) = \frac{1}{9}(60+70+180+475) = \frac{785}{9} \approx 87.22 $
設新加入折扣為 $ d $ 折，付 $ d $ 元，則新期望值：$ \frac{785+d}{10} = 86 $
解得 $ 785+d = 860 $，$ d = 75 $
答案：(2)

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